เมทริกซ์วิลสันคือเมทริกซ์ต่อไปนี้ที่มีจำนวนเต็มเป็นองค์ประกอบ: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle 4\times 4}$

${\displaystyle W={\begin{bmatrix}5&7&6&5\\7&10&8&7\\6&8&10&9\\5&7&9&10\end{bmatrix}}}$

นี่คือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้น ต่อไปนี้ ที่พิจารณาในบทความของ J. Morris ที่ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2489: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{(S1)}}\quad {\begin{aligned}5x+7y+6z+5u&=23\\7x+10y+8z+7u&=32\\6x+8y+10z+9u&=33\\5x+7y+9z+10u&=31\end{aligned}}}$

มอร์ริสระบุว่าชุดสมการนี้มาจาก TS Wilson แต่ไม่มีรายละเอียดเกี่ยวกับ Wilson มอร์ริสใช้ระบบสมการนี้เพื่ออธิบายแนวคิดของระบบสมการที่มีเงื่อนไขไม่ดี เมทริกซ์นี้ถูกใช้เป็นตัวอย่างและเพื่อการทดสอบในเอกสารวิจัยและหนังสือหลายเล่มตลอดหลายปีที่ผ่านมา จอห์น ทอดด์เรียก เมทริกซ์นี้ ว่า “เมทริกซ์ W ที่มีชื่อเสียงของ TS Wilson” ^{[ 1 ]}${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

1. ${\displaystyle W}$เป็น เมทริก ซ์สมมาตร
2. ${\displaystyle W}$เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน
3. ตัวกำหนดของคือ.${\displaystyle W}$${\displaystyle 1}$
4. ส่วนกลับของคือ${\displaystyle W}$${\displaystyle W^{-1}={\begin{bmatrix}68&-41&-17&10\\-41&25&10&-6\\-17&10&5&-3\\10&-6&-3&2\end{bmatrix}}}$
5. พหุนามลักษณะเฉพาะของคือ.${\displaystyle W}$${\displaystyle \lambda ^{4}-35\lambda ^{3}+146\lambda ^{2}-100\lambda +1}$
6. ค่าไอเกนของคือ.${\displaystyle W}$${\displaystyle \quad 0.01015004839789187,\quad 0.8431071498550294,\quad 3.858057455944953,\quad 30.28868534580213}$
7. เนื่องจากสมมาตรค่าสภาพมาตรฐานของคือ.${\displaystyle W}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \kappa _{2}(W)={\frac {max(\lambda )}{min(\lambda )}}={\frac {30.28868534580213}{0.01015004839789187}}=2984.09270167549}$
8. คำตอบของระบบสมการคือ.${\displaystyle (S1)}$${\displaystyle x=y=z=u=1}$
9. การแยกตัวประกอบโคลสกี้ของคือโดยที่${\displaystyle W}$${\displaystyle W=R^{T}R}$${\displaystyle R={\begin{bmatrix}{\sqrt {5}}&{\frac {7}{\sqrt {5}}}&{\frac {6}{\sqrt {5}}}&{\sqrt {5}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}&-{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}&{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$
10. ${\displaystyle W}$มีการแยกตัวประกอบโดยที่.${\displaystyle W=LDL^{T}}$${\displaystyle L={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\{\frac {7}{5}}&1&0&0\\{\frac {6}{5}}&-2&1&0\\1&0&{\frac {3}{2}}&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$
11. ${\displaystyle W}$มีการแยกตัวประกอบโดยมีเมทริกซ์จำนวนเต็ม^{[ 7 ]}${\displaystyle W=Z^{T}Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}2&3&2&2\\1&1&2&1\\0&0&1&2\\0&0&1&1\end{bmatrix}}}$

การพิจารณาเลขสภาพของเมทริกซ์วิลสันได้ก่อให้เกิดปัญหาการวิจัยที่น่าสนใจหลายประการที่เกี่ยวข้องกับเลขสภาพของเมทริกซ์ในกลุ่มเมทริกซ์พิเศษบางกลุ่มที่มีคุณสมบัติพิเศษบางส่วนหรือทั้งหมดของเมทริกซ์วิลสัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มเมทริกซ์พิเศษต่อไปนี้ได้รับการศึกษา: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle S=}$เซตของเมทริกซ์สมมาตรที่ไม่เอกฐาน ซึ่งมีค่าเป็นจำนวนเต็มระหว่าง 1 ถึง 10${\displaystyle 4\times 4}$
2. ${\displaystyle P=}$เซตของเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอนที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มระหว่าง 1 ถึง 10${\displaystyle 4\times 4}$

จากการคำนวณค่าสภาพของเมทริกซ์ในชุดข้อมูลข้างต้นอย่างละเอียดถี่ถ้วน ได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

1. ในบรรดาองค์ประกอบของเมทริกซ์ ค่าสภาพสูงสุดคือและค่าสูงสุดนี้ได้มาจากเมทริกซ์${\displaystyle S}$${\displaystyle 7.6119\times 10^{4}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&7&10&10\\7&10&10&9\\10&10&10&1\\10&9&1&10\end{bmatrix}}}$
2. ในบรรดาองค์ประกอบของเมทริกซ์ ค่าสภาพสูงสุดคือและค่าสูงสุดนี้ได้มาจากเมทริกซ์${\displaystyle P}$${\displaystyle 3.5529\times 10^{4}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&1&1&5\\1&10&1&9\\1&1&10&1\\5&9&1&10\end{bmatrix}}}$