กฎของ Liebig ได้รับการขยายไปสู่ประชากร ชีวภาพ (และมักใช้ในการสร้างแบบจำลองระบบนิเวศ ) ตัวอย่างเช่น การเจริญเติบโตของสิ่งมีชีวิต เช่น พืช อาจขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายอย่าง เช่นแสงแดดหรือธาตุอาหารแร่ธาตุ (เช่นไนเตรตหรือฟอสเฟต ) ความพร้อมใช้งานของสิ่งเหล่านี้อาจแตกต่างกันไป ทำให้ในเวลาใดเวลาหนึ่ง ปัจจัยหนึ่งอาจเป็นตัวจำกัดมากกว่าปัจจัยอื่น กฎของ Liebig ระบุว่าการเจริญเติบโตจะเกิดขึ้นในอัตราที่อนุญาตโดยปัจจัยที่จำกัดมากที่สุดเท่านั้น^{[ 2 ]}

ตัวอย่างเช่น ในสมการด้านล่าง การเติบโตของประชากร${\displaystyle O}$เป็นฟังก์ชันของค่าต่ำสุดของ พจน์ Michaelis-Menten สาม พจน์ที่แสดงถึงข้อจำกัดโดยปัจจัยต่างๆ${\displaystyle I}$,${\displaystyle N}$และ${\displaystyle P}$.

${\displaystyle {\frac {dO}{dt}}=O\left(\min \left({\frac {\mu _{I}I}{k_{I}+I}},{\frac {\mu _{N}N}{k_{N}+N}},{\frac {\mu _{P}P}{k_{P}+P}}\right)-m\right)}$

ที่ไหน${\displaystyle O}$คือความเข้มข้นของชีวมวลหรือความหนาแน่นของประชากร ${\displaystyle \{\mu _{I},\mu _{N},\mu _{P}\}}$คืออัตราการเติบโตจำเพาะที่ตอบสนองต่อความเข้มข้นของสารอาหารจำกัดสามชนิดที่แตกต่างกัน ซึ่งแสดงโดย${\displaystyle I}$,${\displaystyle N}$, และ${\displaystyle P}$ตามลำดับ; ${\displaystyle \{k_{I},k_{N},k_{P}\}}$คือค่าคงที่ครึ่งอิ่มตัวสำหรับสารอาหารทั้งสามชนิด${\displaystyle I}$,${\displaystyle N}$, และ${\displaystyle P}$ตามลำดับ—ค่าคงที่เหล่านี้แสดงถึงความเข้มข้นของสารอาหารที่อัตราการเจริญเติบโตเป็นครึ่งหนึ่งของอัตราสูงสุด ${\displaystyle \{I,N,P\}}$คือความเข้มข้นของปัจจัยทางโภชนาการทั้งสามชนิด และ ${\displaystyle m}$คืออัตราการตายหรือค่าคงที่ของการเสื่อมสลาย

การใช้สมการนี้มีข้อจำกัดเฉพาะสถานการณ์ที่มี สภาวะ สมดุล คงที่ และปฏิสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยต่างๆ ถูกควบคุมอย่างเข้มงวด

ในโภชนาการของมนุษย์กฎของปริมาณขั้นต่ำถูกใช้โดยWilliam Cumming Roseเพื่อกำหนดกรดอะมิโนที่จำเป็นในปี 1931 เขาได้ตีพิมพ์งานวิจัยเรื่อง "การทดลองการให้อาหารด้วยส่วนผสมของกรดอะมิโนที่ผ่านการกลั่นอย่างละเอียด" ^{[ 3 ]}ความรู้เกี่ยวกับกรดอะมิโนที่จำเป็นทำให้ผู้ทานมังสวิรัติสามารถเพิ่มคุณค่าทางโภชนาการของโปรตีน ได้ โดยการผสมผสานโปรตีนจากแหล่งพืชต่างๆ ผู้ปฏิบัติรายหนึ่งคือNevin S. Scrimshawซึ่งต่อสู้กับภาวะขาดโปรตีนในอินเดียและกัวเตมาลาFrances Moore Lappéได้ตีพิมพ์หนังสือDiet for a Small Planetในปี 1971 ซึ่งทำให้การผสมผสานโปรตีนโดยใช้ธัญพืช พืชตระกูลถั่ว และผลิตภัณฑ์นมเป็นที่นิยม

กฎของปริมาณขั้นต่ำได้รับการทดสอบที่มหาวิทยาลัยเซาท์เทิร์นแคลิฟอร์เนียในปี 1947 ^{[ 4 ]} "การสร้างโมเลกุลโปรตีนเป็นการทำงานของเนื้อเยื่อที่ประสานกัน และจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อกรดอะมิโนทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในการสร้างมีอยู่พร้อมกัน" นอกจากนี้ยังสรุปได้ว่า "'ส่วนผสมของกรดอะมิโนที่ไม่สมบูรณ์' จะไม่ถูกเก็บสะสมในร่างกาย แต่จะถูกเผาผลาญต่อไปอย่างถาวร" โรเบิร์ต บรูซ เมอร์ริฟิลด์เป็นผู้ช่วยห้องปฏิบัติการในการทดลอง เมื่อเขาเขียนอัตชีวประวัติของเขาในปี 1993 เขาได้เล่าถึงการค้นพบนี้:

เราแสดงให้เห็นว่าไม่มีการเจริญเติบโตสุทธิเกิดขึ้นเมื่อกรดอะมิโนจำเป็นหนึ่งชนิดถูกตัดออกจากอาหาร และก็ไม่เกิดขึ้นเช่นกันหากกรดอะมิโนนั้นถูกป้อนหลังจากให้อาหารหลักที่มีอาหารขาดสารอาหารไปแล้วหลายชั่วโมง^{[ 5 ]}

แพลงก์ตอนพืชในสภาพแวดล้อมทางทะเลถูกจำกัดด้วยธาตุอาหารจุลภาคและมหภาคต่างๆ ธาตุอาหารเหล่านี้ทำให้แพลงก์ตอนพืชสามารถเจริญเติบโตและสืบพันธุ์ได้ ธาตุอาหารมหภาคที่สำคัญที่สุดสำหรับแพลงก์ตอนพืช ได้แก่ ไนโตรเจนและฟอสฟอรัส^{[ 6 ]} ธาตุเหล่านี้ถือเป็นธาตุอาหารมหภาค เนื่องจากแพลงก์ตอนพืชต้องการปริมาณที่ค่อนข้างมากในการทำงานและเจริญเติบโต ธาตุอาหารจุลภาคที่พบได้ทั่วไปสำหรับแพลงก์ตอนพืช ได้แก่ สังกะสี โคบอลต์ และเหล็ก^{[ 6 ]}ธาตุเหล่านี้ถือเป็นธาตุอาหารจุลภาค เนื่องจากแพลงก์ตอนพืชต้องการปริมาณที่น้อยกว่าเมื่อเทียบกับธาตุอาหารมหภาค อย่างไรก็ตาม ธาตุอาหารจุลภาคเหล่านี้มีความสำคัญไม่แพ้ธาตุอาหารมหภาค และทั้งสองอย่างอาจเป็นปัจจัยจำกัดได้^{[ 7 ]}

สารอาหารที่จำกัดสำหรับแพลงก์ตอนพืชแต่ละชนิดอาจขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย รวมถึงช่วงเวลาของปีและความใกล้ชิดกับชายฝั่ง ตัวอย่างเช่น มีการแสดงให้เห็นว่าในเขตน้ำขึ้นชายฝั่ง ซึ่งมีธาตุอาหารหลัก เช่น ฟอสฟอรัสและไนโตรเจนอุดมสมบูรณ์เนื่องจากรูปแบบการไหลเวียนของมหาสมุทรและการไหลบ่าของน้ำจากบนบก ธาตุเหล็กอาจเป็นปัจจัยจำกัด^{[ 6 ]}นอกจากนี้ ในสภาพแวดล้อมในมหาสมุทรเปิด ซึ่งมีสารอาหารน้อยมาก ธาตุอาหารหลัก เช่น ฟอสฟอรัสและไนโตรเจนอาจเป็นปัจจัยจำกัด โดยทั่วไป สารอาหารที่จำกัดจะขึ้นอยู่กับกลยุทธ์วงจรชีวิตของแต่ละชนิด^{[ 7 ]}

เมื่อไม่นานมานี้ กฎของ Liebig เริ่มถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการจัดการทรัพยากรธรรมชาติโดยสรุปว่าการเติบโตในตลาดที่พึ่งพา ปัจจัยการผลิต จากทรัพยากรธรรมชาติถูกจำกัดโดยปัจจัยการผลิตที่มีอยู่อย่างจำกัดที่สุด เนื่องจากทุนทางธรรมชาติที่การเติบโตขึ้นอยู่กับนั้นมีปริมาณจำกัดเนื่องจาก ธรรมชาติของโลก มี จำกัด กฎของ Liebig จึงกระตุ้นให้นักวิทยาศาสตร์และผู้จัดการทรัพยากรธรรมชาติคำนวณความขาดแคลนของทรัพยากรที่จำเป็น เพื่อให้สามารถใช้ทรัพยากร ในแนวทางที่ยั่งยืนตลอดหลายชั่วอายุคน ได้

ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์นีโอคลาสสิกพยายามหักล้างปัญหาการขาดแคลนทรัพยากรโดยการประยุกต์ใช้กฎแห่งการทดแทนและนวัตกรรมทางเทคโนโลยีกฎแห่งการทดแทนระบุว่า เมื่อทรัพยากรหนึ่งหมดไป—และราคาสูงขึ้นเนื่องจากไม่มีส่วนเกิน—ตลาดใหม่ที่ใช้ทรัพยากรทางเลือกอื่นจะปรากฏขึ้นในราคาที่เหมาะสมเพื่อตอบสนองความต้องการ นวัตกรรมทางเทคโนโลยีหมายความว่ามนุษย์สามารถใช้เทคโนโลยีเพื่อเติมเต็มช่องว่างในสถานการณ์ที่ทรัพยากรไม่สามารถทดแทนกันได้อย่างสมบูรณ์

ทฤษฎีตามตลาดขึ้นอยู่กับการกำหนดราคาที่เหมาะสม หากทรัพยากร เช่น อากาศสะอาดและน้ำสะอาด ไม่ได้รับการพิจารณา จะเกิด " ความล้มเหลวของตลาด " ความล้มเหลวเหล่านี้อาจได้รับการแก้ไขด้วยภาษีและเงินอุดหนุนแบบ Pigovianเช่นภาษีคาร์บอนแม้ว่าทฤษฎีของกฎแห่งการทดแทนจะเป็นกฎทั่วไปที่มีประโยชน์ แต่ทรัพยากรบางอย่างอาจมีความสำคัญมากจนไม่มีสิ่งใดมาทดแทนได้ ตัวอย่างเช่นไอแซค อสิมอฟกล่าวว่า "เราอาจสามารถทดแทนพลังงานนิวเคลียร์ด้วยพลังงานถ่านหิน และพลาสติกด้วยไม้ ... แต่สำหรับฟอสฟอรัสไม่มีสิ่งใดมาทดแทนหรือทดแทนได้" ^{[ 8 ]}

ในกรณีที่ไม่มีสารทดแทน เช่น ฟอสฟอรัส การรีไซเคิลจะเป็นสิ่งจำเป็น ซึ่งอาจต้องอาศัยการวางแผนระยะยาวอย่างรอบคอบและการแทรกแซงจากภาครัฐ ส่วนหนึ่งเพื่อสร้างภาษีแบบ Pigovian เพื่อให้เกิดการจัดสรรทรัพยากรอย่างมีประสิทธิภาพในตลาด และอีกส่วนหนึ่งเพื่อแก้ไขความล้มเหลวของตลาดอื่นๆ เช่น การคิดลดมูลค่าตามเวลาที่มากเกินไป