ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันZเป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการศึกษาฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ตามเส้นวิกฤตที่อาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่งส่วนสอง เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชัน Z ของรีมันน์-ซีเกล ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์-ซีเกล ฟังก์ชันฮาร์ดีฟังก์ชัน Z ของฮาร์ดี และฟังก์ชันซีตาของฮาร์ดีสามารถนิยามได้ในรูปของฟังก์ชันทีตาของรีมันน์-ซีเกลและฟังก์ชันซีตาของรีมันน์โดย

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

จากสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ จะได้ว่าฟังก์ชัน Z เป็นฟังก์ชันจริงสำหรับค่าจริงของtเป็นฟังก์ชันคู่และ เป็น ฟังก์ชันวิเคราะห์จริงสำหรับค่าจริง จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันเธตาของรีมันน์-ซีเกลและฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ต่างก็เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในแถบวิกฤต ซึ่งส่วนจินตนาการของtอยู่ระหว่าง −1/2 และ 1/2 จึงสรุปได้ว่าฟังก์ชัน Z เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในแถบวิกฤตเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น ค่าศูนย์จริงของZ ( t ) คือค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาตามแนวเส้นวิกฤต และค่าศูนย์เชิงซ้อนในแถบวิกฤตของฟังก์ชัน Z จะสอดคล้องกับค่าศูนย์นอกเส้นวิกฤตของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ในแถบวิกฤตของมัน

การคำนวณค่าของZ ( t ) สำหรับt ที่เป็นจำนวนจริง และด้วยเหตุนี้ การคำนวณฟังก์ชันซีตาตามเส้นวิกฤต จึงทำได้อย่างรวดเร็วยิ่งขึ้นด้วยสูตรของรีมันน์-ซีเกลสูตรนี้บอกเราว่า

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}$

โดยที่พจน์ความคลาดเคลื่อนR ( t ) มีการแสดงออกเชิงอะซิมโทติกที่ซับซ้อนในรูปของฟังก์ชัน

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}$

และอนุพันธ์ของมันถ้า และแล้ว${\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}$${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }$${\displaystyle p=u^{2}-N}$

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}$

โดยจุดไข่ปลาแสดงว่าเราอาจจะกล่าวถึงคำศัพท์ที่สูงขึ้นและซับซ้อนขึ้นต่อไป

อนุกรมที่มีประสิทธิภาพอื่นๆ สำหรับ Z(t) เป็นที่รู้จัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งอนุกรมหลายชุดที่ใช้ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ถ้า

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du}$

ตัวอย่างที่ดีเป็นพิเศษก็คือ

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}$

จากทฤษฎีบทเส้นวิกฤตจะได้ว่าความหนาแน่นของศูนย์จริงของฟังก์ชัน Z คือ

${\displaystyle {\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}}$

สำหรับค่าคงที่c > 5/12 บางค่า ^{[ 1 ]}ดังนั้น จำนวนศูนย์ในช่วงที่มีขนาดที่กำหนดจะเพิ่มขึ้นอย่างช้าๆ หากสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง ศูนย์ทั้งหมดในแถบวิกฤตจะเป็นศูนย์จริง และค่าคงที่cจะเป็นหนึ่ง นอกจากนี้ยังตั้งสมมติฐานว่าศูนย์ทั้งหมดเหล่านี้เป็นศูนย์แบบง่าย

เนื่องจากค่าศูนย์ของฟังก์ชัน Z ทำให้ฟังก์ชันนี้แสดงพฤติกรรมแบบแกว่งไปมา นอกจากนี้ยังค่อยๆ เพิ่มขึ้นทั้งในค่าเฉลี่ยและค่าสูงสุด ตัวอย่างเช่น แม้จะไม่มีสมมติฐานของรีมันน์ เราก็มีทฤษฎีโอเมก้าที่ว่า

${\displaystyle Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right),}$

โดยสัญลักษณ์ดังกล่าวหมายความว่าการหารด้วยฟังก์ชันภายใน Ω นั้นไม่ได้มีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ  t เพิ่ม ขึ้น ${\displaystyle Z(t)}$

การเติบโตเฉลี่ยของฟังก์ชัน Z ก็ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางเช่นกัน เราสามารถหา ค่า เฉลี่ยรากกำลังสอง (ย่อว่า RMS) ได้จาก

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

ซึ่งบอกเราว่า ขนาด RMSของZ ( t ) เติบโตตาม ${\displaystyle {\sqrt {\log t}}}$

สามารถปรับปรุงการประมาณการนี้ให้ดีขึ้นได้

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})}$

ถ้าเราเพิ่มเลขชี้กำลัง เราจะได้ค่าเฉลี่ยซึ่งขึ้นอยู่กับค่าสูงสุดของ  Z มากขึ้น สำหรับเลขชี้กำลังสี่ เราจะได้

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}dt\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}}$

จากนั้นเราอาจสรุปได้ว่า รากที่สี่ของค่าเฉลี่ยกำลังสี่เพิ่มขึ้นเป็น${\displaystyle {\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t.}$

มีการศึกษาเกี่ยวกับเลขยกกำลังคู่ที่สูงกว่าอย่างกว้างขวาง แต่ความรู้เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันนั้นยังมีน้อย มีการคาดเดา และเป็นผลสืบเนื่องมาจากสมมติฐานของรีมันน์ว่า

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\,dt=o(T^{\varepsilon })}$

สำหรับทุกค่า ε ที่เป็นบวก ในที่นี้ สัญลักษณ์ "o" เล็ก ๆ หมายความว่า ด้านซ้ายหารด้วยด้านขวาจะลู่เข้าสู่ศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง "o" เล็ก ๆ คือการปฏิเสธของ Ω ข้อสันนิษฐานนี้เรียกว่า สมมติฐาน ของลินเดลอฟและอ่อนกว่าสมมติฐานของรีมันน์ โดยปกติจะกล่าวในรูปแบบที่สำคัญเทียบเท่ากัน ซึ่งก็คือ

${\displaystyle Z(t)=o(t^{\varepsilon });}$

ไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบใดก็ตาม มันบอกเราว่าอัตราการเติบโตของค่าสูงสุดนั้นไม่ควรสูงเกินไป ขอบเขตที่ทราบดีที่สุดเกี่ยวกับอัตราการเติบโตนี้ไม่ได้เข้มงวดมากนัก ซึ่งบอกเราว่าขอบเขตใดๆ ก็เหมาะสม การพบว่าฟังก์ชัน Z เติบโตเร็วใกล้เคียงกับนี้ถือเป็นเรื่องน่าประหลาดใจอย่างยิ่ง ลิตเติลวูดได้พิสูจน์แล้วว่าภายใต้สมมติฐานของรีมันน์ ${\displaystyle \epsilon >{\frac {89}{570}}\approx 0.156}$

${\displaystyle Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right),}$

และนี่ดูเหมือนจะเป็นไปได้มากกว่ามาก

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. “ฟังก์ชันของรีมันน์–ซีเกล” . แมทเวิลด์ .
• Wolfram Research – ฟังก์ชัน Riemann-Siegel Z (รวมถึงการสร้างกราฟและการประเมินค่าฟังก์ชัน)