ในทางคณิตศาสตร์สมมติฐานของรีมันน์คือข้อสันนิษฐานที่ว่าฟังก์ชันซีตาของรีมันน์จะมีค่าเป็นศูนย์เฉพาะที่จำนวนเต็มคู่ ลบ และจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริง เป็น ⁠ เท่านั้น1/2หลายคนถือว่านี่เป็นปัญหาที่ยังแก้ไม่ตก ที่สำคัญที่สุด ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ [ ¹ ] ^{ปัญหา}นี้มีความสำคัญอย่างมากในทฤษฎีจำนวนเพราะมันบ่งชี้ถึงผลลัพธ์เกี่ยวกับการกระจายของจำนวนเฉพาะ ปัญหานี้^ได้รับการเสนอโดยBernhard Riemann [ ^{2 ] ซึ่งเป็นที่มาของชื่อปัญหานี้ จากการสำรวจในปี 2026 พบ ว่า}มีหลักฐานเชิงตัวเลขมากมายสำหรับสมมติฐานนี้ แต่ยังไม่มีหลักฐานพิสูจน์^{[ 3 ]}

สมมติฐานของรีมันน์และส่วนขยายบางส่วนของสมมติฐานนี้ รวมถึงข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคและข้อสันนิษฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝด ประกอบกันเป็นปัญหาที่แปดของฮิลเบิร์ตในรายการปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกจำนวนยี่สิบสามข้อ ของ เดวิด ฮิลเบิร์ตนอกจากนี้ยังเป็นหนึ่งในปัญหาที่ได้รับรางวัลมิลเลนเนียมของสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ซึ่งเสนอเงิน รางวัล 1 ล้าน ดอลลาร์สหรัฐสำหรับผู้ที่สามารถหาคำตอบของปัญหาใดปัญหาหนึ่งในรายการนี้ได้ ชื่อนี้ยังถูกใช้สำหรับสิ่งที่คล้ายคลึงกันอย่างใกล้ชิด ซึ่งบางส่วนได้รับการพิสูจน์แล้ว เช่นสมมติฐานของรีมันน์สำหรับเส้นโค้งบนฟิลด์จำกัดซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยอังเดร เวล

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นฟังก์ชันที่ตัวแปรอาร์กิวเมนต์อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ก็ได้ที่ไม่ใช่ 1 และค่าของฟังก์ชันก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน ฟังก์ชันนี้มีค่าเป็นศูนย์ที่จำนวนคู่ลบ นั่นคือเมื่อn เป็นหนึ่งใน จำนวนคู่ลบ n เหล่านี้เรียกว่าค่า ศูนย์ที่ไม่สำคัญ ฟังก์ชันซีตายังมีค่าเป็นศูนย์สำหรับค่าอื่นๆ ของn ซึ่งเรียกว่าค่าศูนย์ที่ไม่สำคัญสมมติฐานของรีมันน์เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของค่าศูนย์ที่ไม่สำคัญเหล่านี้ และกล่าวว่า: ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta (s)=0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle -2,-4,-6,\dots }$${\displaystyle s}$

ส่วนจริงของศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ทุกตัวคือ.${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

ดังนั้น สมมติฐานนี้ระบุว่าศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ศูนย์ทั้งหมดจะอยู่บนเส้น วิกฤตซึ่งประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนโดยที่เป็นจำนวนจริงและเป็นหน่วยจินตนาการ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$${\displaystyle t}$${\displaystyle i}$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ถูกกำหนดสำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงมากกว่า 1 โดยอนุกรมอนันต์ที่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์${\displaystyle s}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์พิจารณาอนุกรมนี้ในช่วงทศวรรษ 1730 สำหรับค่าจริงของโดยเชื่อมโยงกับวิธีแก้ปัญหาบาเซิล ของเขา เขายังพิสูจน์ด้วยว่ามันเท่ากับผลคูณของออยเลอร์${\displaystyle s}$

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots }$

โดยที่ผลคูณอนันต์ ขยายไป ทั่วจำนวนเฉพาะทั้งหมด^{[ 4 ]}${\displaystyle p}$

สมมติฐานของรีมันน์กล่าวถึงศูนย์ที่อยู่นอกบริเวณการลู่เข้าของอนุกรมนี้และผลคูณของออยเลอร์ เพื่อให้เข้าใจสมมติฐานนี้ จำเป็นต้องขยายฟังก์ชันในเชิงวิเคราะห์เพื่อให้ได้รูปแบบที่ใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดเนื่องจากฟังก์ชันซีตาเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกทางเลือกทั้งหมดในการดำเนินการขยายเชิงวิเคราะห์นี้จะนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน โดยทฤษฎีบทเอกลักษณ์ขั้นตอนแรกในการขยายนี้สังเกตว่าอนุกรมสำหรับฟังก์ชันซีตาและฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์เป็นไปตามความสัมพันธ์ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,}$

ภายในบริเวณการลู่เข้าของอนุกรมทั้งสอง แต่ฟังก์ชันอีตาทางด้านขวาจะลู่เข้าไม่เฉพาะเมื่อส่วนจริงของมีค่ามากกว่าหนึ่งเท่านั้น แต่โดยทั่วไปแล้วจะลู่เข้าเมื่อใดก็ตามที่มีส่วนจริงเป็นบวก ดังนั้น ฟังก์ชันซีตาจึงสามารถนิยามใหม่ได้เป็น โดยขยายจากไปยังโดเมนที่ใหญ่กว่ายกเว้นจุดที่มีค่าเป็นศูนย์ จุดเหล่านี้คือจุดโดยที่สามารถเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ฟังก์ชันซีตาสามารถขยายไปยังค่าเหล่านี้ได้เช่นกันโดยการหาลิมิต (ดูบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ ) ซึ่งให้ค่าจำกัดสำหรับทุกค่าของ ที่มีส่วนจริงเป็นบวก ยกเว้นขั้ว เดี่ยวที่${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \eta (s)/(1-2/2^{s})}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$${\displaystyle 1-2/2^{s}}$${\displaystyle s=1+2\pi in/\log 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s=1}$

ในแถบนี้ ส่วนขยายของฟังก์ชันซีตาจะสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

จากนั้นเราสามารถกำหนดสำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ที่เหลือทั้งหมด( และ) โดยการใช้สมการนี้ภายนอกแถบ และให้เท่ากับด้านขวาของสมการเมื่อใดก็ตามที่มีส่วนจริงที่ไม่เป็นบวก (และ) ${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\leq 0}$${\displaystyle s\neq 0}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\neq 0}$

ถ้าเป็นจำนวนเต็มคู่ลบ แล้วเพราะตัวประกอบ หายไป นี่คือ ศูนย์ที่ไม่สำคัญของฟังก์ชันซีตา(ถ้าเป็นจำนวนเต็มคู่บวก ข้อโต้แย้งนี้ใช้ไม่ได้ เพราะศูนย์ของ ฟังก์ชัน ไซน์จะถูกหักล้างด้วยขั้วของฟังก์ชันแกมมาเนื่องจากฟังก์ชันแกมมารับอาร์กิวเมนต์เป็นจำนวนเต็มลบ) ${\displaystyle s}$${\displaystyle \zeta (s)=0}$${\displaystyle \sin(\pi s/2)}$${\displaystyle s}$

ค่าζ (0) = −1/2ไม่ได้ถูกกำหนดโดยสมการเชิงฟังก์ชัน แต่เป็นค่าลิมิตของเมื่อเข้าใกล้ศูนย์ สมการเชิงฟังก์ชันยังบ่งชี้ว่าฟังก์ชันซีตาไม่มีศูนย์ที่มีส่วนจริงเป็นลบ ยกเว้นศูนย์ที่ไม่สำคัญ ดังนั้นศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ไม่สำคัญทั้งหมดจึงอยู่ในแถบวิกฤตซึ่งมีส่วนจริงอยู่ระหว่าง 0 และ 1${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$

• 
  ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ตามแนวเส้นวิกฤตที่มีRe( s ) = 1/2ค่าจริงแสดงบนแกนแนวนอนและค่าจินตนาการแสดงบนแกนแนวตั้งRe( ζ (1/2 + it )) , Im( ζ (1/2 + it ))ถูกพล็อตโดยที่tอยู่ในช่วงระหว่าง -30 ถึง 30 ^{[ 5 ]}
• ภาพเคลื่อนไหว 3 มิติแสดงแถบวิกฤต (สีน้ำเงิน ซึ่งส่วนจริงอยู่ระหว่าง 0 และ 1) เส้นวิกฤต (สีแดง สำหรับส่วนจริงเท่ากับ0.5) และศูนย์ (เส้นไขว้ระหว่างสีแดงและสีส้ม): [ x , y , z ] = [Re( ζ ( r + it )), Im( ζ ( r + it )), t ] โดยมีและ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 0.1\leq r\leq 0.9}$${\displaystyle 1\leq t\leq 51}$
• 
  ส่วนจริง (สีแดง) และส่วนจินตนาการ (สีน้ำเงิน) ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ตามแนวเส้นวิกฤตในระนาบเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ 0 จุดศูนย์ ที่ไม่เป็นศูนย์จุดแรกซึ่งเท่ากับศูนย์ เกิดขึ้นเมื่อเส้นโค้งทั้งสองสัมผัสกับแกน x ในแนวนอน สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตนาการเท่ากับ0 และ0${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pm 14.135}$${\displaystyle \pm 21.022}$${\displaystyle \pm 25.011}$

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufschung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Vercuten vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Unterschung entbehrlich schien. ... มีความเป็นไปได้มากที่รากทั้งหมดจะมีจริง แน่นอนว่าใครๆ ก็อยากได้ข้อพิสูจน์ที่เข้มงวดที่นี่ หลังจากความพยายามอันไร้ประโยชน์ชั่วขณะหนึ่ง ฉันได้หยุดการค้นหาสิ่งนี้ไว้ชั่วคราว เนื่องจากดูเหมือนว่าจะไม่มีประโยชน์สำหรับวัตถุประสงค์เร่งด่วนของการสืบสวนของฉัน

เมื่อรีมันน์เสียชีวิต มีบันทึกข้อความหนึ่งถูกพบในเอกสารของเขา ซึ่งระบุว่า "คุณสมบัติเหล่านี้ของζ ( s ) (ฟังก์ชันที่กล่าวถึง) ได้มาจากการอนุมานจากนิพจน์ของมัน ซึ่งอย่างไรก็ตาม ผมไม่สามารถทำให้มันง่ายขึ้นได้มากพอที่จะตีพิมพ์" จนถึงทุกวันนี้เราก็ยังไม่รู้เลยว่านิพจน์นั้นคืออะไร ส่วนคุณสมบัติที่เขาได้กล่าวถึงอย่างคร่าวๆ นั้น ผ่านไปกว่าสามสิบปี ผมจึงสามารถพิสูจน์ได้ทั้งหมด ยกเว้นเพียงข้อเดียว [สมมติฐานของรีมันน์เอง]

แรงจูงใจดั้งเดิมของรีมันน์ในการศึกษาฟังก์ชันซีตาและค่าศูนย์ของมัน มาจากการที่มันปรากฏในสูตรที่เขาใช้ในการหาจำนวนเฉพาะ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนที่กำหนดซึ่งเขาตีพิมพ์ในบทความปี 1859 เรื่อง " เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าขนาดที่กำหนด " สูตรของเขาเขียนขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\frac {\pi (x^{1/2})}{2}}+{\frac {\pi (x^{1/3})}{3}}+{\frac {\pi (x^{1/4})}{4}}+{\frac {\pi (x^{1/5})}{5}}+{\frac {\pi (x^{1/6})}{6}}+\cdots }$

ซึ่งนับจำนวนเฉพาะและกำลังของจำนวนเฉพาะจนถึง โดยนับกำลังของจำนวนเฉพาะเป็น จำนวนเฉพาะสามารถกู้คืนได้จากฟังก์ชันนี้โดยใช้สูตรการผกผันของโมเบียส : ${\displaystyle x}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันโมเบียสอยู่ที่ไหนสูตรของรีมันน์คือ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}}$,

โดยผลรวมนั้นครอบคลุมค่าศูนย์ที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตา และโดยที่เป็นเวอร์ชันที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อยของซึ่งแทนที่ค่า ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่องด้วยค่าเฉลี่ยของขีดจำกัดบนและล่าง: ${\displaystyle \Pi _{0}}$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

ผลรวมในสูตรของรีมันน์ไม่ได้ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ แต่สามารถประเมินได้โดยการหาค่าศูนย์ตามลำดับของค่าสัมบูรณ์ของส่วนจินตภาพ ฟังก์ชันที่ปรากฏในพจน์แรกคือฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม (ที่ไม่มีการชดเชย) ซึ่งกำหนดโดยค่าหลักของโคชีของปริพันธ์ลู่เข้า ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \operatorname {li} }$

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.}$

เงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับศูนย์ของฟังก์ชันซีตาจำเป็นต้องได้รับการดูแลในการกำหนด เนื่องจากมีจุดแยกสาขาที่ 0 และ 1 และถูกกำหนด (สำหรับ) โดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ในตัวแปรเชิงซ้อนในบริเวณ; กล่าวคือ ควรพิจารณาว่าเป็นEi ( ρ log x )เงื่อนไขอื่นๆ ก็สอดคล้องกับศูนย์เช่นกัน: เงื่อนไขที่เด่นที่สุดมาจากขั้วที่ ซึ่งถือว่าเป็นศูนย์ที่มีความซ้ำซ้อนและเงื่อนไขเล็กๆ ที่เหลือมาจากศูนย์ที่ไม่สำคัญ สำหรับกราฟบางส่วนของผลรวมของเงื่อนไขแรกๆ ของอนุกรมนี้ โปรดดูRiesel & Göhl (1970)หรือZagier (1977 ) ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })}$${\displaystyle \operatorname {li} }$${\displaystyle x>1}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \operatorname {Re} (\rho )>0}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle -1}$

สูตรนี้กล่าวว่าค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ควบคุมการแกว่งของจำนวนเฉพาะรอบตำแหน่ง "ที่คาดหวัง" ของมัน รีมันน์รู้ว่าค่าศูนย์ที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ธรรมดาของฟังก์ชันซีตาจะกระจายตัวอย่างสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงและเขารู้ว่าค่าศูนย์ที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ธรรมดาทั้งหมดจะต้องอยู่ในช่วงเขาตรวจสอบแล้วพบว่าค่าศูนย์บางส่วนอยู่บนเส้นวิกฤตที่มีส่วนจริงและเสนอว่าค่าศูนย์ทั้งหมดอยู่บนเส้นวิกฤตเช่นกัน นี่คือสมมติฐานของรีมันน์ ${\displaystyle s=1/2+it}$${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$${\displaystyle 1/2}$

ผลลัพธ์นี้ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ เพราะมันเป็นสิ่งที่คาดไม่ถึงอย่างยิ่ง โดยเชื่อมโยงสองสาขาที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันในทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ทฤษฎีจำนวนซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับสิ่งที่ไม่ต่อเนื่อง และการวิเคราะห์เชิงซ้อนซึ่งเกี่ยวข้องกับกระบวนการต่อเนื่อง

การนำสมมติฐานของรีมันน์ไปใช้ในทางปฏิบัติรวมถึงข้อเสนอหลายประการที่ทราบกันว่าเป็นจริงภายใต้สมมติฐานของรีมันน์ และบางข้อเสนอที่สามารถแสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์ได้

สูตรที่ชัดเจนของรีมันน์สำหรับจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าจำนวนที่กำหนดระบุว่า ในแง่ของผลรวมเหนือศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ขนาดของการแกว่งของจำนวนเฉพาะรอบตำแหน่งที่คาดหวังจะถูกควบคุมโดยส่วนจริงของศูนย์ของฟังก์ชันซีตา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พจน์ข้อผิดพลาดในทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับตำแหน่งของศูนย์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นขอบเขตบนของส่วนจริงของศูนย์แล้ว^{[ 6 ]}โดยที่เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะและเป็นฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม เป็นที่ทราบกันอยู่แล้วว่า^{[ 7 ]}${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\!\left(x^{\beta }\log x\right)}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$${\displaystyle 1/2\leq \beta \leq 1}$

Helge von Kochพิสูจน์ว่าสมมติฐานของ Riemann บ่งชี้ขอบเขต "ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้" สำหรับข้อผิดพลาดของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ^{[ 8 ]}เวอร์ชันที่แม่นยำของผลลัพธ์ของ von Koch ซึ่งได้มาจากSchoenfeld (1976)กล่าวว่าสมมติฐานของ Riemann บ่งชี้

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x)}$

สำหรับทุกคนSchoenfeld (1976)ยังแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานของ Riemann บ่งชี้ว่า ${\displaystyle x\geq 2657}$

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x}$

สำหรับทุกค่า ฟังก์ชันที่สองของเชบีเชฟอยู่ที่ไหน${\displaystyle x\geq 73.2}$${\displaystyle \psi (x)}$

Adrian Dudek ^{[ 9 ]}พิสูจน์ว่าสมมติฐานของ Riemann บ่งชี้ว่าสำหรับมีจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle x\geq 2}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$.

ค่าคงที่อาจลดลงเหลือได้ก็ต่อเมื่อกำหนดให้มีค่ามากพอ นี่เป็นรูปแบบที่ชัดเจนของทฤษฎีบทของ Cramér${\displaystyle 4/\pi }$${\displaystyle 1+\varepsilon }$${\displaystyle x}$

สมมติฐานของรีมันน์บ่งชี้ถึงขอบเขตที่เข้มงวดต่อการเติบโตของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ อื่นๆ อีกมากมาย นอกเหนือจากฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะที่กล่าวถึงข้างต้น

ตัวอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันโมเบียสμข้อความที่ระบุว่าสมการ

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

ใช้ได้กับทุกค่าsที่มีส่วนจริงมากกว่า 1/2 โดยที่ผลรวมทางด้านขวามือลู่เข้า ซึ่งเทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์ จากนี้เรายังสามารถสรุปได้ว่า ถ้าฟังก์ชันเมอร์เทนส์ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

จากนั้นข้ออ้างที่ว่า

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

สำหรับทุกค่าε ที่เป็นบวก จะเทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์ ( JE Littlewood , 1912; ดูตัวอย่างเช่น: ย่อหน้า 14.25 ในTitchmarsh (1986) ) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ Redheffer อันดับ n เท่ากับM ( n ) ดังนั้นสมมติฐานของรีมันน์จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นเงื่อนไขในการเติบโตของดีเทอร์มิแนนต์เหล่านี้ ผลลัพธ์ของ Littlewood ได้รับการปรับปรุงหลายครั้งนับตั้งแต่นั้นมาโดย^Edmund Landau [ ^{10 ]} Edward Charles Titchmarsh [ ^{11 ] Helmut} Maier และHugh Montgomery [ ^{12 ]}และKannan Soundararajan [ ^{13 ]ผลลัพธ์} ของ Soundararajan คือ ภายใต้เงื่อนไขของสมมติฐานของรีมัน ^น์

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}$

สมมติฐานของรีมันน์กำหนดขอบเขตที่ค่อนข้างเข้มงวดสำหรับการเติบโตของMเนื่องจากOdlyzko & te Riele (1985)ได้หักล้างสมมติฐานของเมอร์เทนส์ ที่เข้มงวดกว่าเล็กน้อย

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกประการหนึ่งมาจากBjörner (2011)ซึ่งระบุว่าสมมติฐานของ Riemann เทียบเท่ากับข้อความที่ว่าลักษณะเฉพาะของ Eulerของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลที่กำหนดโดยแลตทิซของจำนวนเต็มภายใต้การหารลงตัวนั้นมีค่า เท่ากับ 0 สำหรับทุกค่า(ดูพีชคณิตเหตุการณ์ ) ${\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })}$${\displaystyle \epsilon >0}$

สมมติฐานของรีมันน์เทียบเท่ากับสมมติฐานอื่นๆ อีกมากมายเกี่ยวกับอัตราการเติบโตของฟังก์ชันเลขคณิตอื่นๆ นอกเหนือจาก^{μ(n) ตัวอย่างทั่วไปคือทฤษฎีบทของโรบิน [} 14 ] ซึ่งระบุว่าถ้า^{σ (} n )คือฟังก์ชันซิกมาที่กำหนดโดย

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

แล้ว

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

สำหรับทุกn > 5040ก็ต่อเมื่อสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง โดยที่γคือค่าคงที่ของออยเลอร์-มาสเชโรนี

เจฟฟรีย์ ลาการิอัสได้ให้ขอบเขตที่เกี่ยวข้องในปี 2002 โดยพิสูจน์ว่าสมมติฐานของรีมันน์นั้นเทียบเท่ากับข้อความที่ว่า:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติn > 1 ทุกตัว โดยที่คือจำนวนฮาร์มอนิกที่n ^{[ 15 ]}${\displaystyle H_{n}}$

สมมติฐานของรีมันน์จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อความไม่เท่าเทียมกัน

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

เป็นจริงสำหรับn ≥ 120569# ทั้งหมด โดยที่φ ( n ) คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์และ 120569# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ 120569 ตัว แรก ^{[ 16 ]}

Jérôme Franelค้นพบตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่งและLandau ได้ขยายความ (ดูFranel & Landau (1924) ) สมมติฐานของ Riemann เทียบเท่ากับข้อความหลายข้อความที่แสดงว่าพจน์ของลำดับ Fareyมีความสม่ำเสมอพอสมควร ความเทียบเท่าอย่างหนึ่งมีดังนี้: ถ้าF _nคือลำดับ Farey อันดับnเริ่มต้นด้วย 1/ nและไปจนถึง 1/1 แล้วข้ออ้างที่ว่าสำหรับทุกε > 0

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$

เทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์ ที่นี่

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}$

คือ จำนวนพจน์ในลำดับ Farey อันดับn

ยกตัวอย่างเช่นจากทฤษฎีกลุ่มถ้าg ( n ) คือฟังก์ชันของแลนเดาที่กำหนดโดยลำดับสูงสุดขององค์ประกอบของกลุ่มสมมาตร Sn ที่ มีดีกรี_nแล้วMassias, Nicolas & Robin (1988)แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานของรีมันน์เทียบเท่ากับขอบเขต

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

สำหรับค่า nที่ มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมด

สมมติฐานของรีมันน์ยังมีผลที่ตามมาที่อ่อนกว่าอีกหลายประการ หนึ่งในนั้นคือสมมติฐานของลินเดลอฟเกี่ยวกับอัตราการเติบโตของฟังก์ชันซีตาบนเส้นวิกฤต ซึ่งกล่าวว่า สำหรับε > 0ใด ๆ

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

เมื่อt → .${\displaystyle \infty }$

สมมติฐานของรีมันน์ยังบ่งชี้ถึงขอบเขตที่ค่อนข้างชัดเจนสำหรับอัตราการเติบโตของฟังก์ชันซีตาในบริเวณอื่นๆ ของแถบวิกฤต ตัวอย่างเช่น มันบ่งชี้ว่า

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

ดังนั้นอัตราการเติบโตของζ (1 + it )และส่วนกลับของมันจะทราบได้ถึงปัจจัย 2 ^{[ 17 ]}

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะบ่งชี้ว่าโดยเฉลี่ยแล้วช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะpกับจำนวนเฉพาะที่ตามมาคือlog pอย่างไรก็ตาม ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะบางจำนวนอาจมีขนาดใหญ่กว่าค่าเฉลี่ยมาก Cramér พิสูจน์ว่าภายใต้สมมติฐานของ Riemann ช่องว่างทุกช่องคือO ( √ p log p ) นี่เป็นกรณีที่แม้แต่ขอบเขตที่ดีที่สุดที่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สมมติฐานของ Riemann ก็ยังอ่อนกว่าสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นจริงมาก: ข้อสันนิษฐานของ Cramérบ่งชี้ว่าช่องว่างทุกช่องคือO ((log p ) ² )ซึ่งในขณะที่ใหญ่กว่าช่องว่างเฉลี่ย แต่เล็กกว่าขอบเขตที่บ่งชี้โดยสมมติฐานของ Riemann มาก หลักฐานเชิงตัวเลขสนับสนุนข้อสันนิษฐานของ Cramér ^{[ 18 ]}

มีการค้นพบข้อความจำนวนมากที่เทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์ แม้ว่าจนถึงขณะนี้ยังไม่มีข้อความใดนำไปสู่ความคืบหน้ามากนักในการพิสูจน์ (หรือหักล้าง) สมมติฐานดังกล่าว ตัวอย่างทั่วไปบางส่วนมีดังต่อไปนี้ (ตัวอย่างอื่นๆ เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตัวหารσ ( n ))

เกณฑ์ ของRieszได้รับการกำหนดโดยRiesz (1916)โดยมีผลว่าขอบเขต

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

เงื่อนไขนี้ใช้ได้กับทุกค่า ε > 0 ก็ต่อเมื่อสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริงเท่านั้น ดูเพิ่มเติมที่เกณฑ์ของฮาร์ดี-ลิตเติลวูด

Nyman (1950)พิสูจน์ว่าสมมติฐานของ Riemann เป็นจริงก็ต่อเมื่อปริภูมิของฟังก์ชันมีรูปแบบ

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

โดยที่ρ ( z ) คือส่วนที่เป็นเศษส่วนของz , 0 ≤ θν _≤ 1และ

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}$

มีความหนาแน่นใน ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตL ² (0,1)ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนช่วงหน่วยBeurling (1955)ขยายสิ่งนี้โดยแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันซีตาไม่มีศูนย์ที่มีส่วนจริงมากกว่า 1/ pก็ต่อเมื่อปริภูมิฟังก์ชันนี้มีความหนาแน่นในL ^p (0,1) เกณฑ์ Nyman-Beurling นี้ได้รับการเสริมความแข็งแกร่งโดย Baez-Duarte ^{[ 19 ]}ให้เป็นกรณีที่ ${\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}$

Salem (1953)แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานของ Riemann เป็นจริงก็ต่อเมื่อสมการอินทิกรัล

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

ไม่มีคำตอบที่มีขอบเขตที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์ สำหรับ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$

เกณฑ์ของไวล์ (Weil's criterion)คือข้อความที่ระบุว่า ความเป็นบวกของฟังก์ชันบางอย่างเทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์ ( Riemann hypothesis) เกณฑ์ของหลี่ (Li's criterion) ก็มีความเกี่ยวข้องเช่นกัน โดยเป็นข้อความที่ระบุว่า ความเป็นบวกของลำดับตัวเลขบางอย่างเทียบเท่ากับสมมติฐานของรีมันน์

สไปเซอร์ (1934)พิสูจน์ว่าสมมติฐานของรีมันน์เทียบเท่ากับข้อความที่ว่าζ ′ ( s ) ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของζ ( s ) ไม่มีค่าศูนย์ในแถบ

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

การที่ζ ( s ) มีเพียงศูนย์แบบง่ายบนเส้นวิกฤตนั้นเทียบเท่ากับการที่อนุพันธ์ของ ζ(s) ไม่มีศูนย์บนเส้นวิกฤต

ลำดับFareyให้ความเท่าเทียมกันสองประการ ซึ่งคิดค้นโดยJerome FranelและEdmund Landauในปี 1924

ค่าคง ที่เดอ บรูอิน-นิวแมนซึ่งแทนด้วย Λ และตั้งชื่อตามนิโคลาส โกเวิร์ต เดอ บรูอินและชาร์ลส์ เอ็ม. นิวแมนถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวซึ่งฟังก์ชัน

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$,

ซึ่งมีพารามิเตอร์จริงλ เป็น ตัวกำหนด มีตัวแปรเชิงซ้อนzและถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันที่ลดลงอย่างรวดเร็วแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$,

มีเพียงศูนย์จริงก็ต่อเมื่อλ ≥ Λ เท่านั้น เนื่องจากสมมติฐานของรีมันน์เทียบเท่ากับข้ออ้างที่ว่าศูนย์ทั้งหมดของH (0, z )เป็นจำนวนจริง สมมติฐานของรีมันน์จึงเทียบเท่ากับข้อสันนิษฐานที่ว่าΛ ≤ 0แบรด ร็อดเจอร์สและเทเรนซ์ เทา ค้นพบว่าความเทียบเท่าที่แท้จริงคือΛ = 0โดยการพิสูจน์ว่าศูนย์เป็นขอบเขตล่างของค่าคงที่^{[ 20 ]}การพิสูจน์ว่าศูนย์เป็นขอบเขตบนด้วยจึงพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ได้ นิวแมนตั้งข้อสังเกตว่าข้อสันนิษฐานนี้ (ปัจจุบันเป็นทฤษฎีบท) "เป็นเวอร์ชันเชิงปริมาณของคำกล่าวที่ว่าสมมติฐานของรีมันน์ ถ้าเป็นจริง ก็เป็นจริงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น" ^{[ 21 ]}ณ เดือนเมษายน 2020 ขอบเขตบนคือΛ ≤ 0.2 ^{[ 22 ]}

แอปพลิเคชันหลายอย่างใช้สมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปสำหรับอนุกรม L ของดิริชเลต์หรือฟังก์ชันซีตาของฟิลด์จำนวนแทนที่จะใช้สมมติฐานรีมันน์เพียงอย่างเดียว คุณสมบัติพื้นฐานหลายอย่างของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์สามารถขยายไปสู่อนุกรม L ของดิริชเลต์ทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย ดังนั้นจึงเป็นไปได้ว่าวิธีการที่พิสูจน์สมมติฐานรีมันน์สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์จะใช้ได้กับสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ด้วยเช่นกัน ผลลัพธ์หลายอย่างที่พิสูจน์ครั้งแรกโดยใช้สมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไป ต่อมาได้รับการพิสูจน์แบบไม่มีเงื่อนไขโดยไม่ต้องใช้สมมติฐานนั้น แม้ว่าการพิสูจน์เหล่านั้นมักจะยากกว่ามาก ผลที่ตามมาหลายอย่างในรายการต่อไปนี้มาจากConrad (2010 )

• ในปี ค.ศ. 1913 กรอนวอลล์แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปบ่งชี้ว่ารายการฟิลด์กำลังสองเชิงจินตนาการที่มีหมายเลขชั้น 1 ของเกาส์ นั้นสมบูรณ์ แม้ว่าต่อมาเบเกอร์ สตาร์ก และฮีกเนอร์จะให้การพิสูจน์แบบไม่มีเงื่อนไขโดยไม่ต้องใช้สมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปก็ตาม
• ในปี ค.ศ. 1917 ฮาร์ดีและลิตเติลวูดแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปบ่งชี้ถึงข้อสันนิษฐานของเชบิเชฟที่กล่าวว่าจำนวนเฉพาะ 3 มอด 4 นั้นพบได้บ่อยกว่าจำนวนเฉพาะ 1 มอด 4 ในบางแง่ (สำหรับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้อง โปรดดูทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ § การแข่งขันของจำนวนเฉพาะ )$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$$
• ในปี ค.ศ. 1923 ฮาร์ดีและลิตเติลวูดแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปบ่งชี้ถึงรูปแบบอ่อนของทฤษฎีบทโกลด์บัคสำหรับจำนวนคี่ กล่าวคือ จำนวนคี่ทุกจำนวนที่มากพอจะเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวน แม้ว่าในปี ค.ศ. 1937 วินอกราดอฟจะให้การพิสูจน์แบบไม่มีเงื่อนไขก็ตาม ในปี ค.ศ. 1997 เดส์ฮูยเลอร์ส เอฟฟิงเกอร์เต รีเลอและซิโนวิเยฟ แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปบ่งชี้ว่าจำนวนคี่ทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวน ในปี ค.ศ. 2013 ฮาราลด์ เฮลฟ์ก็อตต์พิสูจน์ทฤษฎีบทโกลด์บัคแบบไตรภาคโดยไม่ต้องพึ่งพาสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไป โดยอาศัยการคำนวณอย่างละเอียดที่เสร็จสมบูรณ์ด้วยความช่วยเหลือของเดวิด เจ. แพลตต์
• ในปี ค.ศ. 1934 ชอว์ลาได้แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปบ่งชี้ว่าจำนวนเฉพาะตัวแรกในลำดับเลขคณิตa mod mมีค่าไม่เกินKm ² log( m ) ²สำหรับค่าคงที่K บาง ค่า
• ในปี 1967 ฮูเลย์แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปบ่งชี้ถึง ข้อสันนิษฐานของอาร์ติ นเกี่ยวกับรากศัพท์ดั้งเดิม
• ในปี 1973 ไวน์เบอร์เกอร์แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปบ่งชี้ว่ารายการจำนวนไอโดเนียล ของออยเลอร์ นั้นสมบูรณ์
• Weinberger (1973)แสดงให้เห็นว่าสมมติฐาน Riemann ทั่วไปสำหรับฟังก์ชันซีตาของฟิลด์จำนวนพีชคณิตทั้งหมดบ่งชี้ว่าฟิลด์จำนวนใดๆ ที่มีหมายเลขชั้น 1 จะเป็น ฟิลด์จำนวน ยุคลิดหรือฟิลด์จำนวนกำลังสองเชิงจินตนาการที่มีค่าดิสครีมิแนนต์ −19, −43, −67 หรือ −163
• ในปี 1976 จี. มิลเลอร์ แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปบ่งชี้ว่าเราสามารถทดสอบว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะได้ในเวลาพหุนามโดยใช้การทดสอบมิลเลอร์ในปี 2002 มานินทรา อากราวาล นีราช คายาล และนิติน ซักเซนา พิสูจน์ผลลัพธ์นี้โดยไม่มีเงื่อนไขโดยใช้การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ AKS
• Odlyzko (1990)ได้กล่าวถึงวิธีการใช้สมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปเพื่อให้ได้ค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับตัวจำแนกและจำนวนชั้นของฟิลด์จำนวน
• Ono & Soundararajan (1997) แสดงให้ ^เห็นว่าสมมติฐาน Riemann แบบทั่วไปบ่งชี้ว่า รูป แบบกำลังสองเชิงปริพันธ์ของ Ramanujan x² ⁺ y² + 10z²แทนจำนวนเต็มทั้งหมดที่มันแทนในระดับท้องถิ่น โดยมีข้อยกเว้นเพียง 18 ข้อ^{เท่านั้น}
• ในปี 2021 Alexander (Alex) Dunn และMaksym Radziwillได้พิสูจน์สมมติฐานของ Patterson เกี่ยวกับผล รวม Gaussลูกบาศก์ภายใต้สมมติฐานของ GRH ^{[ 23 ] [ 24 ]}

ผลที่ตามมาบางประการของทฤษฎีบท Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronnก็เป็นผลที่ตามมาจากการปฏิเสธของทฤษฎีบทนี้เช่นกัน ดังนั้นจึงถือเป็นทฤษฎีบท ในการอภิปรายเกี่ยวกับ ทฤษฎีบท Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn นั้นIreland & Rosen (1990 , หน้า 359) กล่าวว่า

วิธีการพิสูจน์ในที่นี้ช่างน่าทึ่งจริงๆ ถ้าสมมติฐานรีมันน์ทั่วไปเป็นจริง ทฤษฎีบทนี้ก็เป็นจริง ถ้าสมมติฐานรีมันน์ทั่วไปเป็นเท็จ ทฤษฎีบทนี้ก็เป็นจริง ดังนั้น ทฤษฎีบทนี้จึงเป็นจริง!!

ควรระมัดระวังในการทำความเข้าใจว่าการกล่าวว่าสมมติฐานรีมันน์ทั่วไปเป็นเท็จนั้นหมายความว่าอย่างไร: ควรระบุให้ชัดเจนว่าอนุกรมดิริชเลต์ประเภทใดที่มีตัวอย่างค้าน

เรื่องนี้เกี่ยวข้องกับเครื่องหมายของข้อผิดพลาดในทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะมีการคำนวณว่าπ ( x ) < li( x ) สำหรับทุกx ≤ ^10²⁵ (ดูตาราง นี้ ) และไม่ทราบ ค่า x ใดๆ ที่ทำให้ π ( x ) > li( x )

ในปี ค.ศ. 1914 ลิตเติลวูดพิสูจน์ว่ามีค่าx ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ ซึ่งทำให้

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}$

และยังมีค่าx ที่มีขนาดใหญ่มากตามอำเภอใจอีกด้วย ซึ่ง

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

ดังนั้น ผลต่างπ ( x ) − li( x )จะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นจำนวนครั้งอนันต์ จำนวนของสกิวส์เป็นการประมาณค่าของxที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนเครื่องหมายครั้งแรก

การพิสูจน์ของ Littlewood แบ่งออกเป็นสองกรณี: สมมติฐาน RH ถือว่าไม่จริง (ประมาณครึ่งหน้าของIngham 1932บทที่ V) และสมมติฐาน RH ถือว่าจริง (ประมาณสิบสองหน้า) Stanisław Knapowski ได้ติดตามเรื่องนี้ด้วยบทความเกี่ยวกับจำนวนครั้งที่^{เครื่องหมาย}เปลี่ยนในช่วงเวลา^{[ 25} ]${\displaystyle \Delta (n)}$${\displaystyle \Delta (n)}$

นี่คือข้อสันนิษฐาน (ที่กล่าวไว้เป็นครั้งแรกในบทที่ 303 ของ Disquisitiones Arithmeticaeของเกาส์) ว่ามีฟิลด์กำลังสองเชิงจินตนาการเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่มีหมายเลขชั้นที่กำหนดให้ วิธีหนึ่งที่จะพิสูจน์ได้คือการแสดงให้เห็นว่าเมื่อดิสคริมิแนนต์D → −∞หมายเลขชั้นh ( D ) → ∞

ลำดับทฤษฎีบทต่อไปนี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับสมมติฐานของรีมันน์ ได้รับการอธิบายไว้ในIreland & Rosen 1990หน้า 358–361:

(ในงานของ Hecke และ Heilbronn ฟังก์ชันLที่ปรากฏมีเพียงฟังก์ชันที่เชื่อมโยงกับอักขระกำลังสองเชิงจินตนาการเท่านั้น และGRH จะเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อใช้กับ ฟังก์ชันL เหล่านั้นเท่านั้น หาก GRH ล้มเหลวสำหรับ ฟังก์ชัน Lของอักขระ Dirichlet กำลังสาม ตามหลักแล้วหมายความว่า GRH เป็นเท็จ แต่ความล้มเหลวของ GRH ในลักษณะนั้นไม่ใช่สิ่งที่ Heilbronn คิดไว้ ดังนั้นสมมติฐานของเขาจึงจำกัดมากกว่าแค่GRH เป็นเท็จ )

ในปี พ.ศ. 2478 คาร์ล ซีเกลได้เสริมความแข็งแกร่งให้กับผลลัพธ์โดยไม่ต้องใช้ RH หรือ GRH แต่อย่างใด^{[ 26 ] [ 27 ]}

ในปี พ.ศ. 2526 JL Nicolasพิสูจน์ว่า สำหรับ n จำนวนมากอนันต์ โดยที่φ ( n ) คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์และγคือค่าคงที่ของออยเลอร์ Ribenboim ตั้งข้อสังเกตว่า: "วิธีการพิสูจน์นั้นน่าสนใจตรงที่อสมการแสดงให้เห็นก่อนภายใต้สมมติฐานที่ว่าสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง ประการที่สองภายใต้สมมติฐานตรงกันข้าม" ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}}$$

สมมติฐานของรีมันน์สามารถขยายความได้โดยการแทนที่ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ด้วยฟังก์ชัน L ทั่วโลกที่มีรูปแบบคล้ายกัน แต่มีขอบเขตทั่วไปมากกว่า ในบริบทที่กว้างขึ้นนี้ เราคาดว่าศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ของ ฟังก์ชัน L ทั่วโลก จะมีส่วนจริงเท่ากับ 1/2 ข้อสันนิษฐานเหล่านี้ต่างหาก ไม่ใช่สมมติฐานของรีมันน์แบบคลาสสิกที่ใช้ได้เฉพาะกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เพียงฟังก์ชันเดียว ที่เป็นเหตุผลที่ทำให้สมมติฐานของรีมันน์มีความสำคัญอย่างแท้จริงในทางคณิตศาสตร์

สมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปที่พบได้บ่อยที่สุดนั้นขยายสมมติฐานรีมันน์ไปสู่ฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันบ่งชี้ถึงข้อสันนิษฐานที่ว่าศูนย์ของซีเกล (ศูนย์ของ ฟังก์ชัน Lระหว่าง 1/2 และ 1) นั้นไม่มีอยู่จริง

สมมติฐานรีมันน์แบบขยาย ขยายสมมติฐานรีมันน์ไปสู่ ฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ทั้งหมดของฟิลด์จำนวนพีชคณิตเนื่องจากฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์สำหรับการขยายแบบอาเบลของจำนวนตรรกยะสามารถแสดงได้ในรูปผลคูณของฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ และขั้วที่เป็นไปได้เพียงขั้วเดียวอยู่ที่ 1 สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (ดังนั้นจึงไม่มีขั้วใดสามารถหักล้างศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ได้) สมมติฐานรีมันน์ในเวอร์ชันนี้จึงบ่งชี้ถึงสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไป

สมมติฐานของรีมันน์สามารถขยายไปถึง ฟังก์ชัน Lของอักขระเฮคเคของฟิลด์จำนวนได้เช่นกัน เนื่องจากฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์เป็นฟังก์ชัน L ของเฮคเคสำหรับอักขระจำกัด ดังนั้นสมมติฐานนี้จึงบ่งชี้โดยตรงถึงสมมติฐานของรีมันน์แบบทั่วไป ฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์สามารถแสดงได้ในรูปผลคูณของฟังก์ชัน L ของเฮคเค และขั้วที่เป็นไปได้เพียงขั้วเดียวของฟังก์ชัน L ของเฮคเคคือที่ 1 ดังนั้นสมมติฐานของรีมันน์ในเวอร์ชันนี้จึงบ่งชี้ถึงเวอร์ชันสำหรับฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ด้วย

มีสองแนวทางสำหรับการขยายสมมติฐานของรีมันน์ที่ดูเหมือนจะเป็นแนวทางที่ครอบคลุมที่สุดสมมติฐานของรีมันน์แบบยิ่งใหญ่ขยายไปสู่ฟังก์ชัน L แบบอัตโนมัติ ทั้งหมด เช่นการแปลงเมลลินของรูปแบบไอเกนของเฮคเคสมมติฐานของรีมันน์สำหรับชั้นเซลเบิร์กขยายไปสู่ฟังก์ชันที่ตรงตามคุณสมบัติบางอย่าง (อย่างน้อยก็เป็นคุณสมบัติที่คาดการณ์ได้ในฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่มักเรียกว่าฟังก์ชันซีตาหรือฟังก์ชัน L ) มากกว่าฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรโดยตรง แม้ว่าจะคาดหวังว่าชั้นเซลเบิร์กควรเท่ากับชั้นของฟังก์ชัน L แบบอัตโนมัติ และดังนั้นแนวทางเหล่านี้ควรเทียบเท่ากัน แต่ปัญหานี้ก็ยังเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญและเป็นส่วนหนึ่งของโครงการของแลงแลนด์

Artin (1924)ได้แนะนำฟังก์ชันซีตาทั่วโลกของฟิลด์ฟังก์ชัน (กำลังสอง) และตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับอนาล็อกของสมมติฐานรีมันน์สำหรับฟิลด์เหล่านั้น ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดย Hasse ในกรณีจีนัส 1 และโดยWeil (1948)ในกรณีทั่วไป ตัวอย่างเช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมเกาส์ซึ่งมีลักษณะกำลังสองของฟิลด์จำกัดขนาดq (โดยที่q เป็น จำนวนคี่) มีค่าสัมบูรณ์นั้นแท้จริงแล้วเป็นตัวอย่างหนึ่งของสมมติฐานรีมันน์ในการตั้งค่าฟิลด์ฟังก์ชัน สิ่งนี้ทำให้Weil (1949)ตั้งสมมติฐานข้อความที่คล้ายกันสำหรับวาไรตี้พีชคณิต ทั้งหมด สมมติฐานของ Weilที่เกิดขึ้นได้รับการพิสูจน์โดย Pierre Deligne ^{[ 29 ]}${\displaystyle {\sqrt {q}}}$

ฟังก์ชันซีตาทางเลขคณิตเป็นการขยายฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และเดเดคินด์ รวมถึงฟังก์ชันซีตาของวาไรตี้เหนือฟิลด์จำกัดไปยังแผนผังเลขคณิตทุกแบบหรือแผนผังประเภทจำกัดเหนือจำนวนเต็ม ฟังก์ชันซีตาทางเลขคณิตของแผนผังเลขคณิตแบบปกติที่เชื่อมต่อกันและ มีมิติเท่ากัน ของมิติโครเนกเกอร์nสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของตัวประกอบ L ที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสมและตัวประกอบเสริม^{[ 30 ]}สมมติสมการเชิงฟังก์ชันและการต่อขยายแบบเมโรเมอร์ฟิก สมมติฐานรีมันน์ทั่วไปสำหรับตัวประกอบ L ระบุว่าศูนย์ของมันภายในแถบวิกฤตอยู่บนเส้นกลาง ในทำนองเดียวกัน สมมติฐานรีมันน์ทั่วไปสำหรับฟังก์ชันซีตาทางเลขคณิตของแผนผังเลขคณิตแบบปกติที่เชื่อมต่อกันและมีมิติเท่ากันระบุว่าศูนย์ของมันภายในแถบวิกฤตอยู่บนเส้นแนวตั้ง และขั้วของมันภายในแถบวิกฤตอยู่บนเส้น แนวตั้งสิ่งนี้เป็นที่รู้จักสำหรับแผนการในลักษณะเฉพาะที่เป็นบวกและสืบเนื่องมาจาก Pierre Deligne ^{[ 31 ]}แต่ยังคงไม่ทราบเลยในลักษณะเฉพาะที่เป็นศูนย์ ${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$

เซลเบิร์ก (1956)ได้นำเสนอฟังก์ชันซีตาของเซลเบิร์กสำหรับพื้นผิวรีมันน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คล้ายกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ กล่าวคือ มีสมการเชิงฟังก์ชัน และผลคูณอนันต์ที่คล้ายกับผลคูณของออยเลอร์ แต่คำนวณจากเส้นโค้งปิดแทนที่จะเป็นจำนวนเฉพาะสูตรร่องรอยของเซลเบิร์กเป็นอนาล็อกสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้ของสูตรที่ชัดเจนในทฤษฎีจำนวนเฉพาะ เซลเบิร์กพิสูจน์ว่าฟังก์ชันซีตาของเซลเบิร์กสอดคล้องกับอนาล็อกของสมมติฐานรีมันน์ โดยส่วนจินตภาพของศูนย์ของฟังก์ชันเหล่านี้มีความสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการลาปลาเซียนของพื้นผิวรีมันน์

ฟังก์ชันซีตาของอิฮาระสำหรับกราฟจำกัดนั้นเป็นอนาล็อกของฟังก์ชันซีตาของเซลเบิร์กซึ่งยาซูทากะ อิฮาระ ได้นำเสนอเป็นครั้งแรก ในบริบทของกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ p-adic ขนาดสองคูณสอง กราฟจำกัดปกติจะเป็นกราฟรามานุจัน ซึ่งเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเครือข่ายการสื่อสารที่มีประสิทธิภาพ ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันซีตาของอิฮาระเป็นไปตามอนาล็อกของสมมติฐานรีมันน์ ดังที่ ที. สุนาดะได้ ชี้ให้เห็น

มอนต์โกเมอรี (1973)เสนอสมมติฐานความสัมพันธ์แบบคู่ว่า ฟังก์ชันความสัมพันธ์ของศูนย์ (ที่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสม) ของฟังก์ชันซีตาควรจะเหมือนกับฟังก์ชันความสัมพันธ์ของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนแบบสุ่มออดลีซโก (1987)แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานนี้ได้รับการสนับสนุนจากการคำนวณเชิงตัวเลขขนาดใหญ่ของฟังก์ชันความสัมพันธ์เหล่านี้

มอนต์โกเมอรีแสดงให้เห็นว่า (โดยสมมติสมมติฐานของรีมันน์) อย่างน้อย 2/3 ของศูนย์ทั้งหมดเป็นศูนย์แบบง่าย และข้อสันนิษฐานที่เกี่ยวข้องคือศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันซีตาเป็นศูนย์แบบง่าย (หรือโดยทั่วไปแล้วไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ระหว่างส่วนจินตนาการ) ฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ของฟิลด์จำนวนพีชคณิต ซึ่งเป็นการขยายฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ มักจะมีศูนย์เชิงซ้อนหลายศูนย์^{[ 32 ]}นี่เป็นเพราะฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์แยกตัวประกอบเป็นผลคูณของกำลังของฟังก์ชัน L ของอาร์ตินดังนั้นศูนย์ของฟังก์ชัน L ของอาร์ตินบางครั้งทำให้เกิดศูนย์หลายศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ ตัวอย่างอื่น ๆ ของฟังก์ชันซีตาที่มีศูนย์หลายศูนย์คือฟังก์ชัน L ของเส้นโค้งวงรี บาง เส้น: สิ่งเหล่านี้สามารถมีศูนย์หลายศูนย์ที่จุดจริงของเส้นวิกฤต สมมติฐาน ของBirch-Swinnerton-Dyerทำนายว่าจำนวนครั้งของการปรากฏของศูนย์นี้คืออันดับของเส้นโค้งวงรี

มีตัวอย่างอื่นๆ อีกมากมายของฟังก์ชันซีตาที่มีอนาล็อกของสมมติฐานรีมันน์ ซึ่งบางส่วนได้รับการพิสูจน์แล้วฟังก์ชันซีตาของกอสส์ของฟิลด์ฟังก์ชันมีสมมติฐานรีมันน์ ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยชีทส์ (1998)ข้อสันนิษฐานหลักของทฤษฎีอิวาซาวะซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยแบร์รี มาซูร์และแอนดรูว์ ไวลส์สำหรับฟิลด์ไซโคลโทมิกและไวลส์สำหรับฟิลด์จริงทั้งหมด ระบุ ^ว่าศูนย์ของ ฟังก์ชัน L p -adic มีค่า เท่ากับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ ดังนั้นจึงสามารถคิดได้ว่าเป็นอนาล็อกของข้อสันนิษฐานฮิลเบิร์ต-โพลยาสำหรับฟังก์ชันL p -adic ^{[ 33} ]

นักคณิตศาสตร์หลายคนได้ศึกษาเกี่ยวกับสมมติฐานของรีมันน์ แต่ยังไม่มีความพยายามใดได้รับการยอมรับว่าเป็นข้อพิสูจน์วัตกินส์ (2021)ได้ระบุวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้องบางประการ

ฮิลเบิร์ตและโปลยาเสนอว่าวิธีหนึ่งที่จะพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ได้คือการหาตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองซึ่งจากการมีอยู่ของตัวดำเนินการดังกล่าว ข้อความเกี่ยวกับส่วนจริงของศูนย์ของζ ( s ) จะตามมาเมื่อเราใช้เกณฑ์เกี่ยวกับค่าลักษณะ เฉพาะจริง แนวคิดนี้ได้รับการสนับสนุนจากอนาล็อกหลายอย่างของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ซึ่งศูนย์ของฟังก์ชันเหล่านั้นสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการบางตัว: ศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของวาไรตี้เหนือฟิลด์จำกัดสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะขององค์ประกอบฟรอเบนิ อุส บนกลุ่มโคฮอโมโลยีเอตา เล ศูนย์ของ ฟังก์ชันซีตาของเซลเบิร์กเป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการลาปลาเซียนของพื้นผิวรีมันน์ และศูนย์ของฟังก์ชันซีตา p-adicสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการกระทำกาโลอิสบนกลุ่มชั้นอุดมคติ

Odlyzko (1987)แสดงให้เห็นว่าการกระจายของค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีคุณสมบัติทางสถิติบางอย่างร่วมกับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ สุ่ม ที่ดึงมาจากกลุ่มเอกภาพแบบเกาส์เซียนซึ่งเป็นการสนับสนุนสมมติฐานของฮิลเบิร์ต-โปลยาใน ระดับหนึ่ง

ในปี 1999 ไมเคิล เบอร์รีและโจนาธาน คีติงตั้งข้อสันนิษฐานว่ามีการควอนตัมแบบไม่ทราบค่าของแฮมิลโทเนียนแบบคลาสสิกH = xpซึ่งทำให้ และที่สำคัญยิ่งกว่านั้นคือ ศูนย์ของรีมันน์จะตรงกับสเปกตรัมของตัวดำเนินการซึ่งแตกต่างจากการควอนตัมแบบแคนอนิกที่นำไปสู่หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กและจำนวนธรรมชาติเป็นสเปกตรัมของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมจุดสำคัญคือ แฮมิลโทเนียนควรเป็นตัวดำเนินการแบบสมมาตรในตัวเอง เพื่อให้การควอนตัมเป็นการตระหนักถึงโปรแกรมของฮิลเบิร์ต-โปลยา ในการเชื่อมโยงกับปัญหากลศาสตร์ควอนตัมนี้ เบอร์รีและคอนเนสได้เสนอว่าส่วนกลับของศักยภาพของแฮมิลโทเนียนเชื่อมโยงกับอนุพันธ์ครึ่งหนึ่งของฟังก์ชัน จากนั้นในแนวทางของฮิลเบิร์ต-โปลยา จะได้แฮมิลโทเนียนที่มีค่าลักษณะเฉพาะเป็นกำลังสองของส่วนจินตนาการของศูนย์ของรีมันน์ และดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชัน ของ ตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนนี้ ก็ คือฟังก์ชันรีมันน์ Xiนั่นเอง ในความเป็นจริง ฟังก์ชัน Riemann Xi จะเป็นสัดส่วนกับดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชัน ( ผลคูณ Hadamard ) อย่างไรก็ตาม ตัวดำเนินการนี้ไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ เนื่องจากมันรวมฟังก์ชันผกผัน (ฟังก์ชันโดยนัย) ของศักยภาพ แต่ไม่รวมศักยภาพเอง การเปรียบเทียบกับสมมติฐาน Riemann บนฟิลด์จำกัดชี้ให้เห็นว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับศูนย์อาจเป็นกลุ่มโคฮอโมโลยี แรกบางประเภท ของสเปกตรัม Spec ( Z ) ของจำนวนเต็มDeninger (1998)ได้อธิบายถึงความพยายามบางส่วนในการค้นหาทฤษฎีโคฮอโมโลยีดังกล่าว^{[ 34 ]}${\displaystyle {\hat {H}}}$$${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$$${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$$${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$$${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$

Zagier (1981)ได้สร้างปริภูมิธรรมชาติของฟังก์ชันไม่แปรเปลี่ยนบนระนาบครึ่งบนที่มีค่าลักษณะเฉพาะภายใต้ตัวดำเนินการลาปลาเซียนที่สอดคล้องกับศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และตั้งข้อสังเกตว่าในกรณีที่อาจเกิดขึ้นได้ยาก หากเราสามารถแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของผลคูณภายในบวกที่แน่นอนที่เหมาะสมในปริภูมินี้ สมมติฐานของรีมันน์ก็จะตามมาCartier (1982) ได้กล่าวถึงตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเนื่องจากข้อผิดพลาดที่แปลกประหลาด โปรแกรมคอมพิวเตอร์ได้แสดงรายการศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนิน การ ลาปลาเซียนเดียวกัน

Schumayer & Hutchinson (2011)ได้สำรวจความพยายามบางส่วนในการสร้างแบบจำลองทางกายภาพที่เหมาะสมซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

ทฤษฎีบท ของLee–Yangระบุว่าศูนย์ของฟังก์ชันพาร์ติชัน บางอย่าง ในกลศาสตร์สถิติทั้งหมดอยู่บน "เส้นวิกฤต" โดยมีส่วนจริงเท่ากับ 0 และสิ่งนี้นำไปสู่การคาดการณ์บางอย่างเกี่ยวกับความสัมพันธ์กับสมมติฐานของ Riemann ^{[ 35 ]}

Pál Turánแสดงให้เห็นว่าถ้าฟังก์ชัน ไม่มีศูนย์เมื่อส่วนจริงของsมากกว่าหนึ่งแล้ว λ( n ) คือฟังก์ชัน Liouvilleที่กำหนดโดย (−1) ^rถ้าnมีตัวประกอบเฉพาะr ตัว ^{[ 36 ]}เขาแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้จะบ่งชี้ว่าสมมติฐานของ Riemann เป็นจริง แต่Haselgrove (1958)พิสูจน์ว่าT ( x ) เป็นลบสำหรับ xจำนวนอนันต์( และยังหักล้างสมมติฐาน Pólya ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดด้วย ) และBorwein, Ferguson & Mossinghoff (2008) แสดงให้เห็นว่า xที่เล็กที่สุดดังกล่าวคือ72 185 376 951 205 Spira (1968)แสดงให้เห็นโดยการคำนวณเชิงตัวเลขว่าอนุกรม Dirichlet แบบจำกัด ข้างต้นสำหรับN = 19มีศูนย์ที่มีส่วนจริงมากกว่า 1 Turán ยังแสดงให้เห็นอีกว่าสมมติฐานที่อ่อนกว่าเล็กน้อย คือการไม่มีศูนย์ที่มีส่วนจริงมากกว่า1 + N ^{−1/2+ ε}สำหรับN ขนาดใหญ่ ในอนุกรม Dirichlet แบบจำกัดข้างต้น ก็จะบ่งชี้ถึงสมมติฐานของ Riemann เช่นกัน แต่Montgomery (1983)แสดงให้เห็นว่าสำหรับN ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ อนุกรมเหล่านี้มีศูนย์ที่มีส่วนจริงมากกว่า1 + (log log N )/(4 log N )ดังนั้น ผลลัพธ์ของ Turán จึงเป็นจริงโดยปริยายและไม่สามารถช่วยพิสูจน์สมมติฐานของ Riemann ได้ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$$${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$

Alain Connesได้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสมมติฐานของ Riemann และเรขาคณิตแบบไม่สลับที่และแสดงให้เห็นว่าอนาล็อกที่เหมาะสมของสูตรร่องรอย Selbergสำหรับการกระทำของกลุ่มชั้น idèleบนพื้นที่ชั้น adèle จะบ่งชี้สมมติฐานของ Riemann ^{[ 37 ]}แนวคิดเหล่านี้บางส่วนได้รับการขยายความในLapidus (2008 )

Louis de Brangesแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานของ Riemann จะเป็นผลมาจากเงื่อนไขความเป็นบวกบนปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันทั้งหมด^{[ 38 ]} อย่างไรก็ตามConrey & Li (2000)แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขความเป็นบวกที่จำเป็นนั้นไม่เป็นไปตามที่กำหนด แม้จะมีอุปสรรคนี้ de Branges ก็ยังคงทำงานต่อไปเพื่อพยายามพิสูจน์สมมติฐานของ Riemann ในแนวทางเดียวกัน แต่สิ่งนี้ไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางจากนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ^{[ 39 ]}

สมมติฐานของรีมันน์บ่งชี้ว่าค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาจะก่อตัวเป็นควาซิครัสตัลซึ่งเป็นการกระจายที่มีขอบเขตจำกัด และการแปลงฟูริเยร์ ของการกระจายนี้ ก็มีขอบเขตจำกัดเช่นกัน ไดสัน (2009)เสนอให้ลองพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์โดยการจำแนกประเภท หรืออย่างน้อยก็ศึกษาควาซิครัสตัลแบบ 1 มิติ

เมื่อเราเปลี่ยนจากมิติทางเรขาคณิตหนึ่ง เช่นฟิลด์จำนวนพีชคณิตไปสู่มิติทางเรขาคณิตสอง เช่น แบบจำลองปกติของเส้นโค้งวงรีบนฟิลด์จำนวน ส่วนสองมิติของสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปสำหรับฟังก์ชันซีตาทางเลขคณิตของแบบจำลองนั้นจะเกี่ยวข้องกับขั้วของฟังก์ชันซีตา ในมิติหนึ่ง การศึกษาปริพันธ์ซีตาในวิทยานิพนธ์ของเทตไม่ได้นำไปสู่ข้อมูลใหม่ที่สำคัญเกี่ยวกับสมมติฐานรีมันน์ ในทางตรงกันข้าม ในมิติสอง งานของอีวาน เฟเซนโกเกี่ยวกับการวางนัยทั่วไปสองมิติของวิทยานิพนธ์ของเทตนั้นรวมถึงการแสดงปริพันธ์ของปริพันธ์ซีตาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันซีตา ในสถานการณ์ใหม่นี้ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในมิติหนึ่ง ขั้วของฟังก์ชันซีตาสามารถศึกษาได้ผ่านทางปริพันธ์ซีตาและกลุ่มอะเดลที่เกี่ยวข้อง ข้อสันนิษฐานที่เกี่ยวข้องของIvan Fesenkoเกี่ยวกับความเป็นบวกของอนุพันธ์อันดับสี่ของฟังก์ชันขอบเขตที่เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลซีตาโดยพื้นฐานแล้วหมายถึงส่วนขั้วของสมมติฐาน Riemann ทั่วไป^{[ 40 ]} Suzuki ( 2011 ) พิสูจน์ว่าสิ่งหลังนี้ร่วมกับสมมติฐานทางเทคนิคบางประการหมายถึงข้อสันนิษฐานของ Fesenko

การพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์บนฟิลด์จำกัดของเดลิญใช้ฟังก์ชันซีตาของวาไรตี้ผลคูณ ซึ่งศูนย์และขั้วของฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับผลรวมของศูนย์และขั้วของฟังก์ชันซีตาเดิม เพื่อจำกัดส่วนจริงของศูนย์ของฟังก์ชันซีตาเดิม ในทำนองเดียวกันคุโรคาวะ (1992)ได้แนะนำฟังก์ชันซีตาหลายตัว ซึ่งศูนย์และขั้วของฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับผลรวมของศูนย์และขั้วของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ เพื่อให้อนุกรมลู่เข้า เขาจำกัดให้ผลรวมของศูนย์หรือขั้วทั้งหมดเป็นส่วนจินตนาการที่ไม่เป็นลบ จนถึงปัจจุบัน ขอบเขตที่ทราบเกี่ยวกับศูนย์และขั้วของฟังก์ชันซีตาหลายตัวยังไม่แข็งแกร่งพอที่จะให้การประมาณค่าที่เป็นประโยชน์สำหรับศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

สมการเชิงฟังก์ชันที่รวมกับหลักการอาร์กิวเมนต์บ่งชี้ว่า จำนวนศูนย์ของฟังก์ชันซีตาที่มีส่วนจินตนาการอยู่ระหว่าง 0 และTนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

สำหรับs = 1/2 + iTโดยที่อาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามแนวเส้นตรงที่มีIm( s ) = Tโดยเริ่มจากอาร์กิวเมนต์ 0 ที่∞ + iTนี่คือผลรวมของเทอมขนาดใหญ่แต่เข้าใจได้ดี

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

และคำศัพท์เล็กๆ แต่ค่อนข้างลึกลับคำหนึ่ง

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

ดังนั้นความหนาแน่นของศูนย์ที่มีส่วนจินตนาการอยู่ใกล้T จึง มีค่าประมาณ log( T )/(2π )และฟังก์ชันSอธิบายถึงความเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากค่านี้ ฟังก์ชันS ( t ) จะเพิ่มขึ้นทีละ 1 ที่แต่ละศูนย์ของฟังก์ชันซีตา และสำหรับt ≥ 8ค่า จะลดลงอย่างต่อเนื่องระหว่างศูนย์ที่มีอนุพันธ์ใกล้เคียงกับ−log t

Trudgian (2014)พิสูจน์ว่า ถ้าT > eแล้ว

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

คาราสึบะ (1996) พิสูจน์ว่าทุกช่วงเวลา( T , T + H ]สำหรับมีอย่างน้อย ${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

จุดที่ฟังก์ชันS ( t ) เปลี่ยนเครื่องหมาย

เซลเบิร์ก (1946)แสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยของโมเมนต์ของกำลังคู่ของSนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าS ( T )/(log log T ) ^1/2คล้ายกับตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 2π 2 ⁽ Ghosh (1983)พิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง | S ( T ) | มักจะอยู่ประมาณ (log log T ) ^1/2แต่บางครั้งก็มีค่ามากกว่ามาก ลำดับการเติบโตที่แน่นอนของS ( T ) ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด ยังไม่มีการปรับปรุงอย่างไม่มีเงื่อนไขสำหรับขอบเขตเดิมของ Riemann S ( T ) = O (log T )แม้ว่าสมมติฐานของ Riemann จะบ่งชี้ถึงขอบเขตที่เล็กกว่าเล็กน้อยS ( T ) = O (log T /log log T ) ^{[ 17 ]}ลำดับขนาดที่แท้จริงอาจน้อยกว่านี้เล็กน้อย เนื่องจากฟังก์ชันสุ่มที่มีการกระจายแบบเดียวกันกับS ( T ) มีแนวโน้ม ที่จะมีการเติบโตในลำดับประมาณ log( T ) ^1/2ในทางกลับกัน ค่าต้องไม่เล็กเกินไป: เซลเบิร์ก (1946)แสดงให้เห็นว่าS ( T ) ≠ o ((log T ) ^1/3 / ( log log T ) ^7/3 )และเมื่อสมมติสมมติฐานของรีมันน์ มอนต์โกเมอรีแสดงให้เห็นว่าS ( T ) ≠ o ((log T ) ^1/2 /(log log T ) ^1/2 )

การคำนวณเชิงตัวเลขยืนยันว่าSเติบโตช้ามาก: | S ( T ) | < 1สำหรับT < 280 , | S ( T ) | < 2สำหรับT <6,800,000และค่าสูงสุดของ | S ( T ) | ที่พบจนถึงขณะนี้ มีค่าไม่มากไปกว่า 3 ^{[ 41 ]}

การประมาณค่าของ Riemann ที่ ว่า S ( T ) = O (log T )บ่งชี้ว่าช่องว่างระหว่างศูนย์มีขอบเขตจำกัด และ Littlewood ได้ปรับปรุงสิ่งนี้เล็กน้อย โดยแสดงให้เห็นว่าช่องว่างระหว่างส่วนจินตนาการมีแนวโน้มเข้าใกล้ 0

Hadamard (1896)และde la Vallée-Poussin (1896)ได้พิสูจน์โดยอิสระว่าไม่มีศูนย์ใดอยู่บนเส้นRe ( s ) = 1เมื่อรวมกับสมการเชิงฟังก์ชันและข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีศูนย์ใดที่มีส่วนจริงมากกว่า 1 สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ...

บทพิสูจน์ดั้งเดิมทั้งสองฉบับที่แสดงว่าฟังก์ชันซีตาไม่มีศูนย์ที่มีส่วนจริงเท่ากับ 1 นั้นคล้ายคลึงกัน และขึ้นอยู่กับการแสดงว่าถ้าζ (1 + it )เป็นศูนย์ แล้วζ (1 + 2 it )จะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการใช้ความไม่เท่าเทียมกัน

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

สำหรับσ > 1 , tเป็นจำนวนจริง และพิจารณาลิมิตเมื่อσ → 1อสมการนี้ได้มาจากการหาค่าส่วนจริงของลอการิทึมของผลคูณออยเลอร์เพื่อดูว่า

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

โดยผลรวมนั้นครอบคลุมกำลังของจำนวนเฉพาะp ⁿ ทั้งหมด ดังนั้น

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

ซึ่งอย่างน้อยที่สุดก็คือ 1 เพราะพจน์ทั้งหมดในผลรวมเป็นค่าบวก อันเนื่องมาจากอสมการ

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

การค้นหาคอมพิวเตอร์ที่ครอบคลุมมากที่สุดโดย Platt และTrudgian ^{[ 22 ]}สำหรับตัวอย่างคัดค้านสมมติฐานของ Riemann ได้ตรวจสอบแล้วสำหรับ| t | ≤3.000 175 3328 × 10 ¹²นอกจากนั้น บริเวณที่ไม่มีศูนย์เรียกว่าอสมการเกี่ยวกับ σ + i tซึ่งอาจเป็นศูนย์ได้ เวอร์ชันที่เก่าแก่ที่สุดมาจาก De la Vallée-Poussin (1899–1900)ซึ่งพิสูจน์ว่ามีบริเวณที่ไม่มีศูนย์ซึ่งสอดคล้องกับ 1 − σ ≥ ⁠ซี/ล็อก( t )สำหรับค่าคงที่บวกCอีกนัยหนึ่งคือ ค่าศูนย์ไม่ควรอยู่ใกล้เส้น σ = 1เนื่องจากมีบริเวณที่ปราศจากค่าศูนย์อยู่ใกล้กับเส้นนี้ นักวิจัยหลายท่านได้ขยายขอบเขตนี้โดยใช้วิธีการต่างๆ เช่นทฤษฎีบท ค่าเฉลี่ยของ Vinogradov

เอกสารล่าสุด^{[ 42 ]}โดย Mossinghoff, Trudgian และ Yang มาจากเดือนธันวาคม 2022 และให้ภูมิภาคปลอดศูนย์สี่แห่งที่ปรับปรุงผลลัพธ์ก่อนหน้าของ Kevin Ford จากปี 2002, Mossinghoff และ Trudgian เองจากปี 2015 และการปรับปรุงเล็กน้อยของ Pace Nielsen ของ Ford จากเดือนตุลาคม 2022:

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$เมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle |t|\geq 2}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$เมื่อใดก็ตามที่(บริเวณที่ใหญ่ที่สุดที่ทราบภายในขอบเขต)${\displaystyle |t|\geq 3}$${\displaystyle 3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}}$เมื่อใดก็ตามที่(บริเวณที่ใหญ่ที่สุดที่ทราบภายในขอบเขต) และ${\displaystyle |t|\geq 1.88\cdot 10^{14}}$${\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}}$เมื่อใดก็ตามที่(ภูมิภาคที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักภายในขอบเขตของตนเอง)${\displaystyle |t|\geq \exp(1000)}$

นอกจากนี้ บทความนี้ยังนำเสนอการปรับปรุงขอบเขตปลอดศูนย์ที่สอง ซึ่งขอบเขตของขอบเขตดังกล่าวไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด เนื่องจากสันนิษฐานไว้เพียงว่า "มีขนาดใหญ่เพียงพอ" เพื่อให้เป็นไปตามข้อกำหนดของการพิสูจน์ในบทความนี้ ขอบเขตนี้คือ ${\displaystyle |t|}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$.

Hardy (1914)และHardy & Littlewood (1921)แสดงให้เห็นว่ามีศูนย์จำนวนอนันต์บนเส้นวิกฤต โดยพิจารณาโมเมนต์ของฟังก์ชันบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซีตาSelberg (1942)พิสูจน์ว่าอย่างน้อยสัดส่วนบวก (เล็กน้อย) ของศูนย์อยู่บนเส้นLevinson (1974)ปรับปรุงสิ่งนี้เป็นหนึ่งในสามของศูนย์โดยเชื่อมโยงศูนย์ของฟังก์ชันซีตากับศูนย์ของอนุพันธ์ และConrey (1989)ปรับปรุงสิ่งนี้ต่อไปเป็นสองในห้า ในปี 2020 การประมาณนี้ได้รับการขยายเป็นห้าในสิบสองโดย Pratt, Robles, Zaharescuและ Zeindler ^{[ 43 ]}โดยพิจารณา mollifiers ที่ขยายออกไปซึ่งสามารถรองรับอนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันซีตาและผลรวม Kloosterman ที่เกี่ยวข้อง

ศูนย์ส่วนใหญ่จะอยู่ใกล้กับเส้นวิกฤต กล่าวโดยละเอียดกว่านั้นBohr & Landau (1914)แสดงให้เห็นว่าสำหรับค่าε บวกใด ๆจำนวนศูนย์ที่มีส่วนจริงอย่างน้อย 1/2 + ε และส่วนจินตนาการอยู่ระหว่าง−TและTคือเมื่อรวมกับข้อเท็จจริงที่ว่าศูนย์บนแถบวิกฤตมีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นวิกฤต และจำนวนศูนย์ทั้งหมดในแถบ วิกฤตคือศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์...${\displaystyle O(T)}$${\displaystyle \Theta (T\log T)}$

ในปี ค.ศ. 1914 ก็อดฟรี แฮโรลด์ ฮาร์ดีพิสูจน์ว่าจำนวนเลขศูนย์จริงมีเป็นจำนวนอนันต์ ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

ข้อสันนิษฐานสองข้อถัดไปของHardyและJohn Edensor Littlewoodเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างศูนย์จริงของและเกี่ยวกับความหนาแน่นของศูนย์ของบนช่วง สำหรับค่า , และที่มากพอ และ ด้วยค่า ที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยที่เป็นจำนวนที่เล็กมากตามอำเภอใจ เปิดทิศทางใหม่สองทิศทางในการศึกษาฟังก์ชันซีตาของรีมันน์: ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

1. สำหรับค่าใดๆจะมีขอบเขตล่างอยู่ ค่า หนึ่งซึ่งทำให้ช่วงดัง กล่าว มีศูนย์ลำดับคี่ของฟังก์ชันอยู่ด้วย${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

ให้เป็นจำนวนศูนย์จริงทั้งหมด และเป็นจำนวนศูนย์อันดับคี่ทั้งหมดของฟังก์ชันที่ อยู่บนช่วง${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0}(T)}$${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$${\displaystyle (0,T]~}$

2. สำหรับค่าใดๆจะมีค่าและบางค่าที่ทำให้ สำหรับและอสมการเป็นจริง${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$

Atle Selbergได้ตรวจสอบปัญหาของ Hardy–Littlewood 2และพิสูจน์ว่าสำหรับε > 0 ใดๆ จะมีอยู่เช่นนั้นและc = c ( ε ) > 0เช่นนั้นสำหรับและอสมการ จะเป็นจริง^{[ 44 ]} Selberg ตั้งข้อสันนิษฐานว่าสิ่งนี้สามารถทำให้กระชับขึ้นเป็นAnatoly Karatsubaพิสูจน์ว่าสำหรับε คงที่ ที่ตรงตามเงื่อนไข 0 < ε < 0.001, T ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ และ, , ช่วง( T , T + H )มีศูนย์จริงอย่างน้อยcH log( T )ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และด้วยเหตุนี้จึงยืนยันข้อสันนิษฐานของ Selberg ^{[ 45 ]}การประมาณค่าของ Selberg และ Karatsuba ไม่สามารถปรับปรุงได้ในส่วนของลำดับการเติบโตเมื่อT → ∞ ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$${\displaystyle H=T^{0.5}}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Karatsuba (1992)พิสูจน์ว่าสมมติฐานแบบเดียวกับของ Selberg เป็นจริงสำหรับช่วงเกือบทั้งหมด( T , T + H ] , โดยที่εเป็นจำนวนบวกคงที่ขนาดเล็กมาก วิธีการของ Karatsuba ช่วยให้สามารถตรวจสอบค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของ Riemann ในช่วง "สั้นมาก" ของเส้นวิกฤต นั่นคือ ในช่วง( T , T + H ] , ซึ่งความยาวH เติบโตช้ากว่าระดับ T ใดๆ แม้แต่ระดับที่เล็กมากก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวน εใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขช่วงเกือบทั้งหมด( T , T + H ] , จะ มี ค่าศูนย์ของฟังก์ชันอย่างน้อยค่าประมาณนี้ค่อนข้างใกล้เคียงกับค่าที่ได้จากสมมติฐานของ Riemann ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

ฟังก์ชัน

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

มีค่าศูนย์เดียวกันกับฟังก์ชันซีตาในแถบวิกฤต และเป็นจำนวนจริงบนเส้นวิกฤตเนื่องจากสมการเชิงฟังก์ชัน ดังนั้นจึงสามารถพิสูจน์การมีอยู่ของค่าศูนย์บนเส้นจำนวนจริงระหว่างสองจุดได้อย่างแม่นยำโดยการตรวจสอบเชิงตัวเลขว่าฟังก์ชันมีเครื่องหมายตรงข้ามกันที่จุดเหล่านั้น โดยปกติจะเขียนว่า

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

โดยที่ ฟังก์ชัน Zของ Hardy และฟังก์ชัน theta ของ Riemann–Siegel θถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยเงื่อนไขนี้และเงื่อนไขที่ว่าฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันจริงเรียบที่มีθ (0) = 0 การค้นหาช่วงจำนวนมากที่ฟังก์ชันZเปลี่ยนเครื่องหมายสามารถแสดงให้เห็นว่ามีศูนย์จำนวนมากบนเส้นวิกฤต เพื่อตรวจสอบสมมติฐานของ Riemann จนถึงส่วน จินตนาการ T ที่กำหนด ของศูนย์ เราต้องตรวจสอบด้วยว่าไม่มีศูนย์เพิ่มเติมอยู่นอกเส้นในบริเวณนี้ ซึ่งสามารถทำได้โดยการคำนวณจำนวนศูนย์ทั้งหมดในบริเวณโดยใช้วิธีของ Turingและตรวจสอบว่าเท่ากับจำนวนศูนย์ที่พบบนเส้น วิธีนี้ทำให้สามารถตรวจสอบสมมติฐานของ Riemann ได้ด้วยการคำนวณจนถึงค่าT ที่ต้องการ (โดยที่ศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันซีตาในบริเวณนี้เป็นศูนย์แบบง่ายและอยู่บนเส้นวิกฤต) ^{[ 46 ] [ 47 ]}

การคำนวณเหล่านี้ยังสามารถใช้เพื่อประมาณค่าสำหรับช่วงจำกัดของ ได้ อีกด้วย ตัวอย่างเช่น จากผลลัพธ์ล่าสุดในปี 2020 (ค่าศูนย์จนถึงความสูง) พบว่า ${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 3\times 10^{12}}$

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}$

โดยทั่วไป อสมการนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle x\geq 2657}$และ${\displaystyle {\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,}$

โดยที่ค่าที่ทราบมากที่สุดที่ทำให้สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริงสำหรับศูนย์ทั้งหมด^ที่มี^[ 48 ^]${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}$

การคำนวณค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาบางส่วนแสดงไว้ด้านล่าง โดยที่ "ความสูง" ของค่าศูนย์คือขนาดของส่วนจินตนาการ และความสูงของ ค่าศูนย์ที่ nจะใช้สัญลักษณ์γn แทน _ค่าศูนย์ทั้งหมดที่ตรวจสอบแล้วนั้นอยู่บนเส้นวิกฤตและเป็นแบบง่าย (ค่าศูนย์หลายค่าจะทำให้เกิดปัญหาสำหรับอัลกอริทึมการหาค่าศูนย์ ซึ่งขึ้นอยู่กับการหาการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายระหว่างค่าศูนย์) สำหรับตารางค่าศูนย์ โปรดดูที่Haselgrove & Miller (1960)หรือOdlyzko

จุดแกรม (Gram point)คือจุดบนเส้นวิกฤต 1/2 +  itที่ฟังก์ชันซีตา (zeta function) เป็นจำนวนจริงและไม่เป็นศูนย์ โดยใช้สูตรสำหรับฟังก์ชันซีตาบนเส้นวิกฤตζ (1/2 + it ) = Z ( t ) e ^{− iθ ( t )}โดยที่ฟังก์ชันของฮาร์ดี (Hardy's function) Zเป็นจำนวนจริงสำหรับt ที่เป็นจำนวนจริง และθคือฟังก์ชันเธตาของรีมันน์-ซีเกล (Riemann–Siegel theta function ) เราจะเห็นว่าซีตาเป็นจำนวนจริงเมื่อsin( θ ( t )) = 0ซึ่งหมายความว่าθ ( t ) เป็นจำนวนเต็มเท่าของπซึ่งทำให้สามารถคำนวณตำแหน่งของจุดแกรมได้ค่อนข้างง่ายโดยการกลับสูตรสำหรับθโดยปกติแล้วจุดแกรมจะถูกกำหนดหมายเลขเป็นg _nสำหรับn = 0, 1, ... โดยที่g _nคือคำตอบเฉพาะของθ ( t ) = n π

แกรมสังเกตว่ามักจะมีค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาเพียงค่าเดียวระหว่างจุดแกรมสองจุดที่อยู่ติดกัน ฮัทชินสันเรียกการสังเกตนี้ว่ากฎของแกรมมีข้อความอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกหลายข้อความที่บางครั้งก็เรียกว่ากฎของแกรมเช่นกัน ตัวอย่างเช่น(−1) ⁿ Z ( g _n )มักจะเป็นบวก หรือZ ( t ) มักจะมีเครื่องหมายตรงข้ามกันที่จุดแกรมที่อยู่ติดกัน ส่วนจินตภาพγ _nของค่าศูนย์ไม่กี่ค่าแรก (สีน้ำเงิน) และจุดแกรมไม่กี่จุดแรกg _nแสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้

ความล้มเหลวครั้งแรกของกฎของแกรมเกิดขึ้นที่ศูนย์ลำดับที่ 127 และจุดแกรมg ₁₂₆ซึ่งอยู่ในลำดับที่ "ผิด"

จุดแกรมtเรียกว่าจุดที่ดี ถ้าฟังก์ชันซีตาเป็นบวกที่1/2 + itดัชนีของจุดแกรม "ไม่ดี" ที่Zมีเครื่องหมาย "ผิด" คือ 126, 134, 195, 211, ... (ลำดับA114856ในOEIS ) บล็อกแกรมคือช่วงที่ล้อมรอบด้วยจุดแกรมที่ดีสองจุด โดยที่จุดแกรมทั้งหมดที่อยู่ระหว่างจุดทั้งสองนั้นเป็นจุดที่ไม่ดี การปรับปรุงกฎของแกรมที่เรียกว่ากฎของรอสเซอร์ ซึ่งคิดค้นโดยรอสเซอร์ โยเฮ และเชินเฟลด์ (1969)กล่าวว่า บล็อกแกรมมักจะมีจำนวนศูนย์ตามที่คาดไว้ (เท่ากับจำนวนช่วงแกรม) แม้ว่าบางช่วงแกรมในบล็อกอาจไม่มีศูนย์เพียงตัวเดียวก็ตาม ตัวอย่างเช่น ช่วงที่ล้อมรอบด้วยg ₁₂₅และg ₁₂₇เป็นบล็อก Gram ที่มีจุด Gram ที่ไม่ดีเพียงจุดเดียวg ₁₂₆และมีจำนวนศูนย์ตามที่คาดไว้ 2 ตัว แม้ว่าช่วง Gram ทั้งสองช่วงจะไม่มีศูนย์ที่ไม่ซ้ำกันเลยก็ตาม Rosser และคณะตรวจสอบแล้วว่าไม่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎของ Rosser ในศูนย์ 3 ล้านตัวแรก แม้ว่าจะมีข้อยกเว้นมากมายนับไม่ถ้วนสำหรับกฎของ Rosser ตลอดทั้งฟังก์ชันซีตา

กฎของแกรมและกฎของรอสเซอร์ต่างกล่าวว่า ในแง่หนึ่ง ค่าศูนย์จะไม่คลาดเคลื่อนไปไกลจากตำแหน่งที่คาดไว้ ระยะห่างของค่าศูนย์จากตำแหน่งที่คาดไว้ถูกควบคุมโดยฟังก์ชันSที่กำหนดไว้ข้างต้น ซึ่งเติบโตช้ามาก ค่าเฉลี่ยของมันอยู่ในลำดับของ (log log T ) ^1/2ซึ่งจะถึง 2 เมื่อ T มีค่าประมาณ 10 ²⁴ เท่านั้น นั่นหมายความว่ากฎทั้งสองข้อนี้ใช้ได้เกือบตลอดเวลาสำหรับค่า T น้อยๆ แต่ในที่สุดก็มักจะใช้ไม่ได้ ในความเป็นจริงTrudgian (2011)แสดงให้เห็นว่าทั้งกฎของแกรมและกฎของรอสเซอร์ล้มเหลวในสัดส่วนที่เป็นบวกของกรณีต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คาดว่าประมาณ 66% จะมีค่าศูนย์หนึ่งค่าอยู่ภายในจุดแกรมสองจุดที่อยู่ติดกัน แต่ 17% จะไม่มีค่าศูนย์ และ 17% จะมีค่าศูนย์สองค่าอยู่ในช่วงแกรมดังกล่าวในระยะยาวHanga (2020 )

หากสมมติว่าสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง เราสามารถถามได้ว่าความสม่ำเสมอเพิ่มเติมใดบ้างที่อาจควบคุมการกระจายของศูนย์ของฟังก์ชันซีตาบนเส้นวิกฤต ภาพที่คาดเดาได้ประการหนึ่งคือศูนย์วิกฤตของฟังก์ชันซีตามีพฤติกรรมทางสถิติคล้ายกับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน แบบสุ่มขนาดใหญ่ แนวคิดนี้เริ่มต้นจากงานของฮิวจ์ มอนต์โกเมอรี เกี่ยวกับ สมมติฐานความสัมพันธ์คู่สำหรับศูนย์ของฟังก์ชันซีตา^{[ 50 ]}หลังจากปรับขนาดที่เหมาะสมเพื่ออธิบายความหนาแน่นของศูนย์ที่เพิ่มขึ้นตามความสูง ฟังก์ชันความสัมพันธ์คู่ที่คาดเดาไว้จะสอดคล้องกับฟังก์ชันของค่าลักษณะเฉพาะในกลุ่มเอกภาพเกาส์เซียน (GUE) ในทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม^{[ 51 ] [ 52 ]}

การเชื่อมต่อได้รับการทดสอบเชิงตัวเลขโดยAndrew Odlyzkoซึ่งพบว่าสถิติระยะห่างของศูนย์ที่อยู่สูงบนเส้นวิกฤตนั้นสอดคล้องกับการคาดการณ์ของทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม GUE อย่าง ใกล้ชิด ^{[ 53 ] [ 54 ]} ความสอดคล้องนี้ขยายไปไกลกว่าระยะห่างของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดไปยังฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่สูงขึ้น และถือกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นหลักฐานที่ชัดเจนว่าศูนย์ได้รับการจำลองโดยสถิติท้องถิ่นเดียวกันกับเมทริกซ์สุ่ม^{[ 55 ] [ 56 ]}

การเปรียบเทียบเมทริกซ์สุ่มยังเกี่ยวข้องกับสมมติฐานของฮิลเบิร์ต-โปลยา และแนวคิดจากความโกลาหลควอนตัมในระบบความโกลาหลควอนตัม ค่าลักษณะเฉพาะมักจะเป็นไปตามสถิติเมทริกซ์สุ่ม ดังนั้นการปรากฏของสถิติเดียวกันในศูนย์ของฟังก์ชันซีตาจึงสามารถตีความได้ว่าเป็นหลักฐานว่าอาจเกิดขึ้นจากตัวดำเนินการสมมาตรหรือจากระบบพลวัตที่โกลาหล^{[ 57 ] [ 58 ]}สิ่งนี้ให้ภาพเชิงอุปมาอุปไมยว่าทำไมศูนย์จึงอาจอยู่บนเส้นสเปกตรัม และทำไมระยะห่างของพวกมันจึงแสดงการผลักกันอย่างรุนแรงมากกว่าการรวมกลุ่มแบบสุ่ม^{[ 59 ]}

มุมมองนี้ได้รับการยอมรับโดยNicholas KatzและPeter Sarnakซึ่งเสนอว่าตระกูลของฟังก์ชัน Lมีประเภทสมมาตรที่ควบคุมโดยกลุ่มคลาสสิก ขนาดกะทัดรัด ( ยูนิแทรี , ออร์โธโกนอลหรือซิมเพล็กติก ) และการกระจายของศูนย์ที่อยู่ต่ำควรตรงกับกลุ่มเมทริกซ์สุ่มที่สอดคล้องกัน^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]}สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ กลุ่มที่เกี่ยวข้องคือกลุ่มยูนิแทรี

ทฤษฎีเมทริกซ์สุ่มยังนำไปสู่การคาดการณ์เกี่ยวกับการเติบโตของโมเมนต์ของฟังก์ชันซีตาบนเส้นวิกฤต โดยเฉพาะอย่างยิ่งJonathan KeatingและNina Snaithใช้ค่าเฉลี่ยของเมทริกซ์เอกภาพสุ่มเพื่อทำนายค่าคงที่หลักในสูตรโมเมนต์เชิงอะซิมโทติก เช่น การคาดการณ์ของพวกเขาแยกปัจจัยเมทริกซ์สุ่มสากลออกจาก ปัจจัยผล คูณออยเลอร์ เชิงเลขคณิต และมีอิทธิพลต่องานในภายหลังเกี่ยวกับโมเมนต์และอัตราส่วนของฟังก์ชัน L ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt}$$${\displaystyle T\to \infty }$

ดังนั้น ทฤษฎีเมทริกซ์สุ่มและความโกลาหลควอนตัมจึงเป็นกรอบการทำงานเชิงอุปมาอุปไมยที่ล้อมรอบสมมติฐานของรีมันน์ แม้ว่าจะไม่มีการพิสูจน์สมมติฐานดังกล่าวจากแนวทางนี้ก็ตาม^{[ 66 ]}

บทความทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสมมติฐานของรีมันน์มักจะแสดงท่าทีระมัดระวังและไม่แสดงความเห็นที่ชัดเจนเกี่ยวกับความจริงของสมมติฐานนี้ ในบรรดาผู้เขียนที่แสดงความคิดเห็น ส่วนใหญ่ เช่นรีมันน์ (1859)และบอมเบียรี (2000)ต่างก็บอกเป็นนัยว่าพวกเขาคาดหวัง (หรืออย่างน้อยก็หวัง) ว่าสมมติฐานนี้จะเป็นจริง ผู้เขียนเพียงไม่กี่คนที่แสดงความสงสัยอย่างจริงจัง ได้แก่อิวีช (2008)ซึ่งระบุเหตุผลบางประการสำหรับความสงสัย และลิตเติลวูด (1962)ซึ่งกล่าวอย่างตรงไปตรงมาว่าเขาเชื่อว่าสมมติฐานนี้เป็นเท็จ ไม่มีหลักฐานสนับสนุน และไม่มีเหตุผลใดๆ ที่มันจะเป็นจริงได้ ฉันทามติของบทความสำรวจ ( บอมเบียรี 2000 , คอนเรย์ 2003และซาร์นัค 2005 ) คือ หลักฐานสนับสนุนสมมติฐานนี้มีอยู่มากแต่ไม่ถึงกับท่วมท้น ดังนั้นถึงแม้ว่ามันอาจจะเป็นจริง แต่ก็ยังมีความสงสัยที่สมเหตุสมผลอยู่

ข้อโต้แย้งบางส่วนทั้งที่สนับสนุนและคัดค้านสมมติฐานของรีมันน์นั้นได้ถูกรวบรวมไว้โดยConrey (2003) , Sarnak (2005)และIvić (2008)ซึ่งรวมถึงประเด็นต่อไปนี้:

• มีการพิสูจน์สมมติฐานที่คล้ายคลึงกับสมมติฐานของรีมันน์ไว้แล้วหลายประการ การพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์สำหรับวาไรตี้เหนือฟิลด์จำกัดโดยเดลิญ (1974)อาจเป็นเหตุผลทางทฤษฎีที่แข็งแกร่งที่สุดเพียงอย่างเดียวที่สนับสนุนสมมติฐานของรีมันน์ สิ่งนี้ให้หลักฐานบางส่วนสำหรับข้อสันนิษฐานทั่วไปที่ว่าฟังก์ชันซีตาที่เกี่ยวข้องกับ รูปแบบ อัตโนมัติ ทั้งหมด เป็นไปตามสมมติฐานของรีมันน์ ซึ่งรวมถึงสมมติฐานของรีมันน์แบบคลาสสิกเป็นกรณีพิเศษ ในทำนองเดียวกันฟังก์ชันซีตาของเซลเบิร์กเป็นไปตามสมมติฐานที่คล้ายคลึงกับสมมติฐานของรีมันน์ และมีความคล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ในบางแง่ โดยมีสมการเชิงฟังก์ชันและการขยายผลคูณอนันต์ที่คล้ายคลึงกับการขยายผลคูณของออยเลอร์ แต่ก็มีความแตกต่างที่สำคัญบางประการเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่ได้กำหนดโดยอนุกรมดิริชเลต์ สมมติฐานของรีมันน์สำหรับฟังก์ชันซีตาของกอสส์ได้รับการพิสูจน์โดยชีทส์ (1998 ) ตรงกันข้ามกับตัวอย่างเชิงบวกเหล่านี้ฟังก์ชันซีตาของ Epstein บางฟังก์ชัน ไม่เป็นไปตามสมมติฐานของ Riemann แม้ว่าจะมีศูนย์จำนวนอนันต์บนเส้นวิกฤตก็ตาม^{[ 17 ]}ฟังก์ชันเหล่านี้ค่อนข้างคล้ายกับฟังก์ชันซีตาของ Riemann และมีการขยายอนุกรม Dirichlet และสมการเชิงฟังก์ชันแต่ฟังก์ชันที่ทราบว่าไม่เป็นไปตามสมมติฐานของ Riemann นั้นไม่มีผลคูณของ Eulerและไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับ การแสดงแทน แบบอัตโนมัติ
• ในตอนแรก การตรวจสอบเชิงตัวเลขที่ว่ามีศูนย์จำนวนมากอยู่บนเส้นดูเหมือนจะเป็นหลักฐานที่แข็งแกร่ง แต่ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์มีข้อสันนิษฐานมากมายที่ได้รับการสนับสนุนจากหลักฐานเชิงตัวเลขจำนวนมากซึ่งกลับกลายเป็นเท็จ ดูจำนวนสกิวส์เป็นตัวอย่างที่โด่งดัง ซึ่งข้อยกเว้นแรกของข้อสันนิษฐานที่น่าเชื่อถือที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานของรีมันน์น่าจะเกิดขึ้นประมาณ 10 ³¹⁶ตัวอย่างค้านสมมติฐานของรีมันน์ที่มีส่วนจินตนาการขนาดนี้จะอยู่นอกเหนือสิ่งใดๆ ที่สามารถคำนวณได้ในปัจจุบันโดยใช้วิธีการโดยตรง ปัญหาคือพฤติกรรมมักได้รับอิทธิพลจากฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างช้าๆ เช่น log log T ซึ่งมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ แต่เพิ่มขึ้นช้ามากจนไม่สามารถตรวจจับได้ด้วยการคำนวณ ฟังก์ชันดังกล่าวเกิดขึ้นในทฤษฎีของ ฟังก์ชันซีตาที่ควบคุมพฤติกรรมของศูนย์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันS ( T ) ข้างต้นมีขนาดเฉลี่ยประมาณ (log log T ) ^1/2เนื่องจากS ( T ) เพิ่มขึ้นอย่างน้อย 2 ในตัวอย่างค้านใดๆ ต่อสมมติฐานของรีมันน์ จึงอาจคาดได้ว่าตัวอย่างค้านใดๆ ต่อสมมติฐานของรีมันน์จะเริ่มปรากฏขึ้นก็ต่อเมื่อS ( T ) มีค่ามากเท่านั้น เท่าที่คำนวณมา ค่าของ S(T) ไม่เคยเกิน 3 มากนัก แต่เป็นที่ทราบกันว่าไม่มีขอบเขต ซึ่งบ่งชี้ว่าการคำนวณอาจยังไม่ถึงขอบเขตพฤติกรรมปกติของฟังก์ชันซีตา
• ข้อโต้แย้งเชิงความน่าจะเป็นของ Denjoyสำหรับสมมติฐาน Riemann ^{[ 67 ]}อิงตามการสังเกตว่า ถ้าμ ( x ) เป็นลำดับสุ่มของ "1" และ "−1" แล้ว สำหรับทุกε > 0ผลรวมย่อย (ซึ่งค่าของมันคือตำแหน่งในการเดินสุ่มแบบง่าย ) จะสอดคล้องกับขอบเขตด้วยความน่าจะเป็น 1สมมติฐาน Riemann เทียบเท่ากับขอบเขตนี้สำหรับฟังก์ชัน Möbius  μ และฟังก์ชัน Mertens Mที่ได้มาในลักษณะเดียวกันจากมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมมติฐาน Riemann ในบางแง่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าμ ( x ) มีพฤติกรรมเหมือนลำดับสุ่มของการโยนเหรียญ เมื่อμ ( x ) ไม่เป็นศูนย์ เครื่องหมายของมันจะให้ค่าความเท่าเทียมกันของจำนวนตัวประกอบเฉพาะของxดังนั้นโดยไม่เป็นทางการ สมมติฐาน Riemann กล่าวว่าค่าความเท่าเทียมกันของจำนวนตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็มมีพฤติกรรมแบบสุ่ม การให้เหตุผลเชิงความน่าจะเป็นในทฤษฎีจำนวนมักให้คำตอบที่ถูกต้อง แต่ก็มักทำได้ยากมากที่จะทำให้มีความเข้มงวด และบางครั้งก็ให้คำตอบที่ผิดสำหรับบางผลลัพธ์ เช่นทฤษฎีบทของไมเออร์$${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$$$${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })}$$
• การคำนวณในOdlyzko (1987)แสดงให้เห็นว่าค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตา มีพฤติกรรมคล้ายกับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน แบบสุ่ม ซึ่งชี้ให้เห็นว่าค่าศูนย์เหล่านั้นเป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง ซึ่งจะหมายถึงสมมติฐานของรีมันน์ อย่างไรก็ตาม ความพยายามทั้งหมดในการค้นหาตัวดำเนินการดังกล่าวล้มเหลว
• มีทฤษฎีบทหลายข้อ เช่นข้อสันนิษฐานอ่อนของโกลด์บัคสำหรับจำนวนคี่ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร ซึ่งได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยใช้สมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไป และต่อมาได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริงโดยไม่มีเงื่อนไข นี่อาจถือได้ว่าเป็นหลักฐานอ่อนสำหรับสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไป เนื่องจาก "การทำนาย" หลายข้อของสมมติฐานนี้เป็นจริง
• ปรากฏการณ์ของ Lehmer [ ^{68 ] ซึ่งศูนย์สองตัวอยู่ใกล้กันมากในบางครั้ง บางครั้งก็ถูกยกมาเป็นเหตุผลในการไม่ เชื่อ}สมมติฐานของ Riemann แต่เราคาดหวังว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเป็นครั้งคราวโดยบังเอิญ แม้ว่าสมมติฐานของ Riemann จะเป็นจริงก็ตาม และการคำนวณของ Odlyzko ชี้ให้เห็นว่าคู่ของศูนย์ที่อยู่ใกล้กันเกิดขึ้นบ่อยพอๆ กับที่คาดการณ์ไว้โดยสมมติฐานของ Montgomery
• แพตเตอร์สันแนะนำว่าเหตุผลที่น่าสนใจที่สุดสำหรับสมมติฐานของรีมันน์สำหรับนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่คือความหวังที่ว่าจำนวนเฉพาะจะกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้^{[ 69 ]}