ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมไอเซนสไตน์เชิงวิเคราะห์จริงเป็นฟังก์ชันพิเศษของตัวแปรสองตัวที่ใช้ในทฤษฎีการแทนของSL(2, R )และในวงกว้างกว่านั้นคือในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์

ให้เป็นระนาบครึ่งบนสำหรับอนุกรมไอเซนสไตน์ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle z\in {\คณิตศาสตร์ {H}}}$${\displaystyle E(z,s)}$

${\displaystyle E(z,s)={\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)=1}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}}$

สำหรับทุกค่า ผลรวมนั้นครอบคลุมทุกคู่ของจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน ${\displaystyle \Re (s)>1}$

นอกจากนี้ ยังมีคำจำกัดความอื่นๆ ที่แตกต่างกันเล็กน้อยอีกหลายแบบ ผู้เขียนบางคนละเว้นตัวประกอบของและบางคนรวมผลลัพธ์ของจำนวนเต็มทุกคู่ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ ซึ่งจะทำให้ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปโดยตัวประกอบของ โดยที่คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle \zeta (2s)}$${\displaystyle \zeta }$

เมื่อพิจารณาในฐานะฟังก์ชันของจะ เป็น ฟังก์ชันไอเกนเชิงวิเคราะห์จริงของตัวดำเนินการลาปลาสบน ที่มีค่าไอเกน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรี${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle E(z,s)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle s(s-1)}$

${\displaystyle -y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)E(z,s)=s(1-s)E(z,s).}$

ฟังก์ชันนี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของบนระนาบครึ่งบนโดยการแปลงเชิงเส้นเศษส่วนเมื่อรวมกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ หมายความว่าอนุกรมไอเซนสไตน์เป็นรูปแบบมาสส์ซึ่งเป็นอนาล็อกเชิงวิเคราะห์จริงของฟังก์ชันมอดูลาร์ เชิงวงรีแบบคลาสสิ ก ${\displaystyle E(z,s)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle z}$

โปรดทราบว่าไม่ใช่ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้เมื่อ เทียบกับเมตริกแบบรีมันน์ ที่ไม่เปลี่ยนแปลง บน${\displaystyle E(z,s)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

อนุกรมไอเซนสไตน์ลู่เข้าสำหรับแต่สามารถขยายต่อไปในเชิงวิเคราะห์ได้เป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกของบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด โดยมีขั้วตกค้างที่ไม่ซ้ำกันที่ในครึ่งระนาบ(สำหรับทุก) และมีขั้วจำนวนอนันต์ในแถบที่โดยที่สอดคล้องกับศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ พจน์คงที่ของขั้วที่อธิบายได้ด้วยสูตรขีดจำกัดโครเนกเกอร์ ${\displaystyle \Re (s)>1}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 3/\pi }$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle \Re (s)>1/2}$${\displaystyle z\in {\คณิตศาสตร์ {H}}}$${\displaystyle 0<\Re (s)<1/2}$${\displaystyle \rho /2}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle s=1}$

ฟังก์ชันที่แก้ไขแล้ว

${\displaystyle E^{*}(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)E(z,s)}$

สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน

${\displaystyle E^{*}(z,s)=E^{*}(z,1-s),}$

คล้ายคลึงกับสมการเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของอนุกรมไอเซนสไตน์สองชุดที่แตกต่างกันนั้นกำหนดโดยความสัมพันธ์ของมาสส์-เซลเบิร์ก ${\displaystyle E(z,s)}$${\displaystyle E(z,t)}$

คุณสมบัติข้างต้นของอนุกรมไอเซนสไตน์เชิงวิเคราะห์จริง กล่าวคือ สมการเชิงฟังก์ชันสำหรับและการใช้ตัวดำเนินการลาปลาเซียนบน นั้นแสดงให้เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่ามีการขยายอนุกรมฟูริเยร์ ${\displaystyle E(z,s)}$${\displaystyle E^{*}(z,s)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(z,s)}$

${\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {\Lambda (2s-1)}{\Lambda (2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{\Lambda (2s)}}\sum _{n=1}^{\infty }n^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(n){\sqrt {y}}\,K_{s-1/2}(2\pi ny)\cos(2\pi nx),}$

ที่ไหน

${\displaystyle \Lambda (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s),\quad \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s},}$

และเป็นฟังก์ชันเบสเซล ที่ดัดแปลงแล้ว${\displaystyle K_{s}(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(z/2)(t+1/t)}t^{s-1}dt\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\quad (z\rightarrow \infty ).\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันซีตาของ Epstein สำหรับรูปแบบกำลังสองเชิง ปริพันธ์บวกที่แน่นอน ซึ่งตั้งชื่อตามPaul Epsteinนั้นถูกกำหนดโดย^{[ 1 ]}${\displaystyle \zeta _{Q}(s)}$${\displaystyle Q(m,n)=cm^{2}+bmn+an^{2}}$

${\displaystyle \zeta _{Q}(s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over Q(m,n)^{s}}.}$

โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นกรณีพิเศษของอนุกรมไอเซนสไตน์เชิงวิเคราะห์จริงสำหรับค่าพิเศษของเนื่องจากสำหรับ ${\displaystyle z}$${\displaystyle Q(m,n)=a|mz-n|^{2}\ }$

${\displaystyle z=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.}$

อนุกรมไอเซนสไตน์เชิงวิเคราะห์ที่แท้จริงคืออนุกรมไอเซนสไตน์ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มมอดูลาร์ ซึ่ง เป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของเซลเบิร์กได้อธิบายถึงการวางนัยทั่วไปไปยังกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องอื่นๆของและใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อศึกษาการแทนของบนแลงแลนด์ได้ขยายงานของเซลเบิร์กไปยังกลุ่มที่มีมิติสูงกว่า บทพิสูจน์ที่ยากอย่างน่าเหลือเชื่อของเขาได้รับการทำให้ง่ายขึ้นในภายหลังโดยโจเซฟ เบิร์นสไตน์ ${\displaystyle E(z,s)}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\Gamma )}$

• ซีรี่ส์ไอเซนสไตน์
• สูตรขีดจำกัดโครเนกเกอร์
• แบบฟอร์มมาสส์