ในทางคณิตศาสตร์สูตรลิมิตโครเนกเกอร์ แบบคลาสสิก อธิบายพจน์คงที่ที่s = 1 ของอนุกรมไอเซนสไตน์เชิงวิเคราะห์จริง (หรือฟังก์ชันซีตาของเอปสไตน์ ) ในรูปของฟังก์ชันอีตาของเดเดคินด์มีการขยายความทั่วไปของสูตรนี้ไปยังอนุกรมไอเซนสไตน์ที่ซับซ้อนกว่ามากมาย สูตรนี้ตั้งชื่อตามเลโอโปลด์ โครเนกเกอร์

สูตรลิมิตโครเนกเกอร์ (สูตรแรก) ระบุว่า

${\displaystyle E(\tau ,s)={\pi \over s-1}+2\pi (\gamma -\log(2)-\log({\sqrt {y}}|\eta (\tau )|^{2}))+O(s-1),}$

ที่ไหน

• E (τ, s ) คืออนุกรมไอเซนสไตน์เชิงวิเคราะห์จริง ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle E(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

สำหรับ Re( s ) > 1 และโดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์สำหรับค่าอื่นๆของ จำนวนเชิงซ้อนs

• γ คือค่าคงที่ออยเลอร์–มาสเชโรนี
• τ = x + iyโดยที่y > 0
• ${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})}$โดยที่q = e ^{2π i τ}คือ ฟังก์ชัน Dedekind eta

ดังนั้นอนุกรมไอเซนสไตน์จึงมีขั้วที่s = 1 ที่มีเศษเหลือ π และสูตรขีดจำกัดโครเนกเกอร์ (แรก) จะให้พจน์คงที่ของอนุกรมลอเรนต์ที่ขั้วนี้

สูตรนี้มีการตีความในแง่ของเรขาคณิตเชิงสเปกตรัมของเส้นโค้งวงรีที่เกี่ยวข้องกับแลตทิซกล่าวคือดีเทอร์มิแนนต์ที่ปรับค่าซีตาของตัวดำเนินการลาปลาสที่เกี่ยวข้องกับเมตริกแบบราบบน นั้นกำหนดโดยสูตรนี้ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีสตริงสำหรับการคำนวณแบบหนึ่งลูปในแนวทางการรบกวนของ โพลยา คอฟ${\displaystyle E_{\tau }}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\frac {1}{y}}|dz|^{2}}$${\displaystyle E_{\tau }}$${\displaystyle 4y|\eta (\tau )|^{4}}$

สูตรลิมิตโครเนกเกอร์ข้อที่สองระบุว่า

${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,1)=-2\pi \log |f(uv\tau ;\tau )q^{v^{2}/2}|,}$

ที่ไหน

• uและvเป็นจำนวนจริงและไม่ใช่จำนวนเต็มทั้งคู่
• q = e ^{2π i τ}และq ^a = e ^{2π i a τ}
• p = e ^{2π i z}และp ^a = e ^{2π i az}
• ${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}e^{2\pi i(mu+nv)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

สำหรับ Re( s ) > 1 และถูกกำหนดโดยการ ต่อ ยอดเชิงวิเคราะห์สำหรับค่าอื่นๆ ของจำนวนเชิงซ้อนs

• ${\displaystyle f(z,\tau )=q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})\prod _{n\geq 1}(1-q^{n}p)(1-q^{n}/p)}$

• ฟังก์ชันเฮอร์กลอตซ์-ซาเกียร์