ในทางคณิตศาสตร์สูตรที่ชัดเจนสำหรับฟังก์ชัน Lคือความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมเหนือศูนย์ของจำนวนเชิงซ้อนของฟังก์ชัน L และผลรวมเหนือเลขยกกำลังของจำนวนเฉพาะซึ่งรีมันน์ (1859)ได้นำเสนอไว้ สำหรับ ฟังก์ชันซีตาของรีมัน น์ สูตรที่ชัดเจนเหล่านี้ยังถูกนำไปใช้กับคำถามเกี่ยวกับการหาขอบเขต ของ ดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์จำนวนพีชคณิตและตัวนำของฟิลด์จำนวนอีกด้วย

ในบทความปี 1859 ของเขาเรื่อง " เกี่ยวกับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าขนาดที่กำหนด " Riemann ได้ร่างสูตรที่ชัดเจน (ซึ่งยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์จนกระทั่งปี 1895 โดยvon Mangoldtดูด้านล่าง) สำหรับฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะแบบปกติπ ₀ ( x )ซึ่งมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะπ( x )โดย^{[ 1 ]}

${\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (xh)\,\right]\,,}$

ซึ่งใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของลิมิตจากทางซ้ายและลิมิตจากทางขวา ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่อง^[ก]สูตรของเขาถูกกำหนดในรูปของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots }$

โดยที่กำลังของจำนวนเฉพาะp ⁿนับเป็น1 / nของจำนวนเฉพาะฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะแบบนอร์ มาไลซ์ สามารถกู้คืนได้จากฟังก์ชันนี้โดย

^{[ 2 ]}${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}$

โดยที่μ ( n )คือฟังก์ชันโมเบียสสูตรของรีมันน์จึงเป็นดังนี้

${\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}$

เกี่ยวข้องกับการหาผลรวมของศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ρของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ผลรวมนี้ไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์แต่สามารถประเมินได้โดยการเลือกศูนย์ตามลำดับค่าสัมบูรณ์ของส่วนจินตนาการ ฟังก์ชันliที่ปรากฏในพจน์แรกคือฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม (ที่ไม่มีการชดเชย) ที่กำหนดโดยค่าหลักของโคชีของปริพันธ์ลู่เข้า

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.}$

เงื่อนไขli( x ^ρ )ที่เกี่ยวข้องกับศูนย์ของฟังก์ชันซีตาจำเป็นต้องได้รับการดูแลในการกำหนด เนื่องจากliมีจุดแยกที่ 0 และ 1 และถูกกำหนดโดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ในตัวแปรเชิงซ้อนρในบริเวณx > 1และRe( ρ ) > 0เงื่อนไขอื่นๆ ก็สอดคล้องกับศูนย์เช่นกัน: เงื่อนไขเด่นli( x )มาจากขั้วที่s = 1ซึ่งถือว่าเป็นศูนย์ที่มีความซ้ำซ้อน −1 และเงื่อนไขเล็กๆ ที่เหลือมาจากศูนย์ที่ไม่สำคัญ สูตรนี้กล่าวว่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ควบคุมการแกว่งของจำนวนเฉพาะรอบตำแหน่ง "ที่คาดหวัง" ของพวกมัน (สำหรับกราฟของผลรวมของเงื่อนไขแรกๆ ของอนุกรมนี้ โปรดดูZagier 1977 )

การพิสูจน์อย่างเข้มงวดครั้งแรกของสูตรดังกล่าวได้รับการพิสูจน์โดย von Mangoldt ในปี พ.ศ. 2448 โดยเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์สูตรต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชัน Chebyshev ψ  ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}$

โดยที่ฝั่งซ้ายมือคือ การแปลงเมลลินผกผันด้วย

${\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{และ}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (xh))}$

และด้านขวามือได้มาจากทฤษฎีบทเศษเหลือแล้วแปลงเป็นสูตรที่รีมันน์ร่างไว้เอง

อนุกรมนี้ยังลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข และผลรวมเหนือศูนย์ควรพิจารณาตามลำดับส่วนจินตนาการที่เพิ่มขึ้นอีกครั้ง: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)}$ ที่ไหน ${\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.}$

ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการตัดทอนผลรวมเป็นS ( x , T ) จะมี ค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าln( x ) เสมอ และเมื่อหารด้วย ลอการิทึมธรรมชาติของxจะมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าx ⁄ Tหารด้วยระยะห่างจากxไปยังกำลังของจำนวนเฉพาะที่ใกล้ที่สุด^{[ 5 ]}

มีหลายวิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อยในการระบุสูตรที่ชัดเจน^{[ 6 ]} รูปแบบของสูตรที่ชัดเจนของ André Weil ระบุว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}$

ที่ไหน

• ρวิ่งผ่านศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ธรรมดาของฟังก์ชันซีตา
• pครอบคลุมจำนวนเฉพาะบวก
• mเป็นจำนวนเต็มบวก
• Fเป็นฟังก์ชันเรียบที่มีอนุพันธ์ทั้งหมดลดลงอย่างรวดเร็ว
• ${\displaystyle \varphi }$เป็นการแปลงฟูริเยร์ของF :$${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}$$
• ${\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}$
• ${\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}$โดยที่คือฟังก์ชันไดแกมมาΓ ′ / Γ${\displaystyle \psi }$

กล่าวโดยคร่าวๆ สูตรที่ชัดเจนระบุว่า การแปลงฟูริเยร์ของศูนย์ของฟังก์ชันซีตา คือ เซตของกำลังของจำนวนเฉพาะบวกกับตัวประกอบพื้นฐานบางอย่าง เมื่อกล่าวเช่นนี้แล้ว สูตรนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า การแปลงฟูริเยร์เป็นตัวดำเนินการเอกภาพดังนั้น ผลคูณสเกลาร์ในโดเมนเวลาจึงเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของการแปลงฟูริเยร์ในโดเมนความถี่

ส่วนประกอบต่างๆ ในสูตรเกิดขึ้นในลักษณะดังต่อไปนี้

• พจน์ทางด้านขวามือมาจากอนุพันธ์ลอการิทึมของโดยพจน์ที่สอดคล้องกับจำนวนเฉพาะpมาจากตัวประกอบออยเลอร์ของpและพจน์สุดท้ายที่เกี่ยวข้องกับ Ψ มาจากตัวประกอบแกมมา ( ตัวประกอบออยเลอร์ที่อนันต์)$${\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$$
• ด้านซ้ายมือคือผลรวมของศูนย์ทั้งหมดของζ  ^*โดยนับรวมความซ้ำซ้อนด้วย ดังนั้นขั้วที่ 0 และ 1 จึงนับเป็นศูนย์ลำดับที่ −1

สูตรที่ชัดเจนของ Weil สามารถเข้าใจได้ดังนี้ เป้าหมายคือการสามารถเขียนได้ว่า:

${\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}$

โดยที่Λคือฟังก์ชันฟอน Mangoldt

ดังนั้นการแปลงฟูริเยร์ของศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ศูนย์จึงเท่ากับกำลังสมมาตรของจำนวนเฉพาะบวกกับพจน์ย่อย แน่นอนว่าผลรวมที่เกี่ยวข้องนั้นไม่ลู่เข้า แต่เคล็ดลับอยู่ที่การใช้คุณสมบัติเอกภาพของการแปลงฟูริเยร์ ซึ่งก็คือการรักษาผลคูณสเกลาร์ไว้:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}$

โดยที่ การแปลงฟูริเยร์ของ อยู่ที่ไหนเมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนจะเป็นสูตรสำหรับฟังก์ชันเท่านั้น แต่ในความเป็นจริง ในหลายกรณีมันก็ใช้ได้กับเมื่อ เป็นการกระจายตัวด้วย ดังนั้น โดยการกำหนดโดยที่คือเดลต้าของดิแรกและเลือกฟังก์ชันและการแปลงฟูริเยร์ของมันอย่างระมัดระวัง เราจะได้สูตรข้างต้น ${\displaystyle F,G}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],}$$${\displaystyle \delta (u)}$${\displaystyle f}$

สูตร Riemann-Weil ^{[ 7 ]}สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อื่นนอกเหนือจากฟังก์ชัน von Mangoldtได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน Möbius เรามี

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.}$

สำหรับฟังก์ชัน Liouville เรามี

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x).}$

สำหรับฟังก์ชันออยเลอร์-ฟี สูตรโดยตรงมีดังนี้

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.}$

โดยสมมติว่าฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีศูนย์แบบง่ายเท่านั้น ในทุกกรณี ผลรวมจะสัมพันธ์กับส่วนจินตนาการของศูนย์ของรีมันน์และฟังก์ชันhจะสัมพันธ์กับฟังก์ชันทดสอบgโดยการแปลงฟูริเยร์ ${\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$${\textstyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}$

สำหรับฟังก์ชันตัวหารอันดับศูนย์ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)}$

การใช้ฟังก์ชันทดสอบในรูปแบบสำหรับค่าบวกa บางค่า จะเปลี่ยนสูตรผลรวมปัวซงให้เป็นสูตรที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเมลลิน โดยที่yเป็นพารามิเตอร์จริง ${\displaystyle g(x)=f(ye^{x})e^{ax}}$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์สามารถแทนที่ด้วยฟังก์ชัน Lของ ดิริชเลต์ ที่มีลักษณะดิริชเลต์ χ ผลรวมเหนือกำลังของจำนวนเฉพาะจะได้รับตัวประกอบเพิ่มเติมของχ ( p ^m ) และเทอม Φ(1) และ Φ(0) จะหายไปเนื่องจากอนุกรม L ไม่มีขั้ว  

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และอนุกรม L สามารถแทนที่ด้วยฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ของฟิลด์จำนวนพีชคณิตหรืออนุกรม L ของเฮคเคได้จากนั้นผลรวมเหนือจำนวนเฉพาะจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมเหนืออุดมคติของจำนวนเฉพาะ

การใช้สูตรที่ชัดเจนของ Riemann ในตอนแรกนั้นมีจุดประสงค์เพื่อให้สูตรที่แน่นอนสำหรับจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าจำนวนที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ ให้กำหนดให้F (log( y )) เป็นy ^1/2 /log( y ) สำหรับ 0 ≤  y  ≤  xและ 0 สำหรับที่อื่น จากนั้นพจน์หลักของผลรวมทางด้านขวาคือจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าxพจน์หลักทางด้านซ้ายคือΦ (1) ซึ่งปรากฏว่าเป็นพจน์เด่นของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะและการแก้ไขหลักคือผลรวมเหนือศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันซีตา (มีปัญหาทางเทคนิคเล็กน้อยในการใช้กรณีนี้ คือ ฟังก์ชันFไม่เป็นไปตามเงื่อนไขความเรียบ)

ตาม สมมติฐานของ ฮิลเบิร์ต-โปลยา ค่าศูนย์เชิงซ้อนρควรจะเป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นT บาง ตัว ผลรวมเหนือค่าศูนย์ของสูตรที่ชัดเจนจึง (อย่างน้อยในทางรูปแบบ) กำหนดโดยร่องรอย:

${\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}$

การพัฒนาสูตรที่ชัดเจนสำหรับฟังก์ชัน L หลายประเภทนั้น ได้รับการนำเสนอโดยWeil (1952)ซึ่งเป็นคนแรกที่ขยายแนวคิดนี้ไปยังฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่และได้กำหนดสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปในบริบทนี้ ในฐานะข้อความแสดงความเป็นบวกสำหรับฟังก์ชันทั่วไปบนกลุ่มโทโพโลยีงานล่าสุดของAlain Connesได้ก้าวไปไกลกว่านั้นในพื้นฐานเชิงฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยได้นำเสนอสูตรร่องรอยซึ่งความถูกต้องของมันเทียบเท่ากับสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปดังกล่าว มุมมองที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยนั้น ได้รับการนำเสนอโดยMeyer (2005)ซึ่งได้มาจากสูตรที่ชัดเจนของ Weil ผ่านการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนปริภูมิ อะ เดลิ ก

• สูตรร่องรอยเซลเบิร์ก
• ฟังก์ชันซีตาของเซลเบิร์ก

• Edwards, HM (1974), ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ , คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์, เล่มที่ 58, นิวยอร์ก-ลอนดอน: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl  0315.10035
• Riesel, Hans (1994), จำนวนเฉพาะและวิธีการทางคอมพิวเตอร์สำหรับการแยกตัวประกอบ , ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, เล่มที่ 126 (ฉบับที่ 2), บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5, Zbl  0821.11001