ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุ${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$การเปลี่ยนแปลงความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$หารด้วยระยะเวลาของช่วงเวลานั้น${\displaystyle \Delta t}$ในทางคณิตศาสตร์ $${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.}$$ความเร่งเฉลี่ยเป็นวิธีวัดความเร่งที่ง่ายที่สุด โดยต้องทราบเพียงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วและการเปลี่ยนแปลงของเวลาเท่านั้น ในความหมายที่แท้จริง ความเร่งเฉลี่ยเป็น ความเร่ง ที่แท้จริง เพียงอย่างเดียว ที่สามารถวัดได้โดยตรงโดยไม่ต้องอาศัยกฎเชิงประจักษ์ซึ่งหมายความว่าเป็นรูปแบบพื้นฐานที่สุดของการวัดความเร่ง

โดยทั่วไปแล้ว ความเร่งเฉลี่ยจะถูกใช้เพื่อประมาณการจลนศาสตร์ของวัตถุโดยสมมติว่าความเร็วเปลี่ยนแปลงเป็นเส้นตรงตามเวลา ในช่วงเวลาสั้นๆ เรามักจะสามารถสมมติได้ว่าความเร่งมีค่าสม่ำเสมอซึ่งหมายความว่าความเร่ง...${\displaystyle \mathbf {a} }$ความเร่งของวัตถุจะเท่ากับความเร่งเฉลี่ยอย่างแน่นอน${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$(ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อการเร่งความเร็วสม่ำเสมอ )

ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันความเร่งเฉลี่ยมีความสัมพันธ์กับแรง เฉลี่ย${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}}$บนอนุภาคที่มีมวล${\displaystyle m}$โดย, $${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}=m{\bar {\mathbf {a} }}.}$$นั่นหมายความว่า การวัดค่าความเร่งเฉลี่ย ก็คือการวัดค่าแรงเฉลี่ย (หรือที่เรียกว่าแรงดล) นั่นเอง${\displaystyle \mathbf {J} ={\bar {\mathbf {f} }}}$.)

ความเร่งขณะทันที คือลิมิตของความเร่งเฉลี่ยใน ช่วงเวลา ที่เล็กมากในทางแคลคูลัสความเร่งขณะทันที คืออนุพันธ์ของเวกเตอร์ความเร็วเทียบกับเวลา: $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}.}$$ เนื่องจากความเร่งถูกนิยามว่าเป็นอนุพันธ์ของความเร็วvเทียบกับเวลาtและความเร็วถูกนิยามว่าเป็นอนุพันธ์ของตำแหน่งxเทียบกับเวลา ดังนั้น ความเร่งจึงอาจคิดได้ว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสองของxเทียบกับt : $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\ddot {\mathbf {x} }}.}$$(ในที่นี้และที่อื่นๆ หากการเคลื่อนที่อยู่ในแนวเส้นตรงปริมาณเวกเตอร์สามารถแทนที่ด้วยปริมาณสเกลาร์ในสมการได้)

จากทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสจะเห็นได้ว่าปริพันธ์ของฟังก์ชันความเร่งa ( t )คือฟังก์ชันความเร็วv ( t )กล่าวคือ พื้นที่ใต้กราฟความเร่งเทียบกับเวลา ( aเทียบกับt ) สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว $${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\int \mathbf {a} \,dt.}$$

ในทำนองเดียวกัน อินทิกรัลของฟังก์ชันjerk j ( t )ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันความเร่ง สามารถนำมาใช้เพื่อหาการเปลี่ยนแปลงของความเร่ง ณ เวลาใดเวลาหนึ่งได้: $${\displaystyle \Delta \mathbf {a} =\int \mathbf {j} \,dt.}$$

ความเร่งมีมิติเป็นความเร็ว (L/T) หารด้วยเวลา กล่าวคือL = ^T⁻²หน่วยSIของความเร่งคือเมตรต่อวินาที² (ms⁻² ⁾หรือ "เมตรต่อวินาทีต่อวินาที" เนื่องจากความเร็วในหน่วยเมตรต่อวินาทีเปลี่ยนแปลงไปตามค่าความเร่งทุกวินาที

วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม เช่น ดาวเทียมที่โคจรรอบโลก จะเกิดการเร่งความเร็วเนื่องจากการเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ แม้ว่าความเร็วจะคงที่ก็ตาม ในกรณีนี้กล่าวได้ว่าวัตถุนั้นกำลังเกิดการ เร่งความเร็ว สู่ศูนย์กลาง (ความเร่งที่พุ่งเข้าหาศูนย์กลาง)

ความเร่งที่แท้จริงคือ ความเร่งของวัตถุเมื่อเทียบกับสภาวะตกอย่างอิสระ ซึ่งวัดได้ด้วยเครื่องมือที่เรียกว่าเครื่องวัดความเร่งกฎข้อที่สองของนิวตันโดยปกติจะถูกนำมาใช้ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ในกรอบอ้างอิงที่เร่งความเร็วด้วยความเร่ง${\displaystyle a}$(ในมิติเดียว) กฎของนิวตันยังคงสามารถนำมาใช้ได้โดยการนำแรงเฉื่อย (แรงเสมือน) เข้ามาเกี่ยวข้อง${\displaystyle F=-ma}$ในมวลชน${\displaystyle m}$ตรงข้ามกับการเร่งความเร็วของกรอบอ้างอิง นี่คือเหตุผลที่มวลมีแนวโน้มที่จะรักษาการเคลื่อนที่แบบเฉื่อยไว้ กล่าวคือ คงสภาพเดิม คือหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ในขณะที่กรอบอ้างอิงเร่งความเร็ว ตัวอย่างเช่น คนในลิฟต์จะรู้สึกหนักขึ้นหรือเบาลงเมื่อลิฟต์เร่งความเร็วหรือลดความเร็วลง ถ้า${\displaystyle m}$เป็นที่ทราบกันดีว่า การวัดแรงสนับสนุนบนมวลสามารถใช้เพื่ออนุมานความเร่งได้ นี่คือหลักการของเครื่องวัดความเร่งเชิงกล^{[ 4 ] [ 5 ]}ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป แรงโน้มถ่วงและความเร่งเฉื่อยอาจแยกแยะไม่ได้ในระดับท้องถิ่น (ดูทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป )

ในกลศาสตร์คลาสสิกสำหรับวัตถุที่มีมวลคงที่ ความเร่ง (เวกเตอร์) ของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุจะเป็นสัดส่วนกับ เวกเตอร์ แรง สุทธิ (กล่าวคือ ผลรวมของแรงทั้งหมด) ที่กระทำต่อวัตถุนั้น ( กฎข้อที่สองของนิวตัน ): $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},}$$ โดยที่Fคือแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุmคือมวลของวัตถุ และaคือความเร่งของจุดศูนย์กลางมวล เมื่อความเร็วเข้าใกล้ความเร็วแสงผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพจะยิ่งมากขึ้นเรื่อยๆ

การเร่งความเร็ว สม่ำเสมอหรือ การเร่งความเร็ว คงที่คือการเคลื่อนที่ประเภทหนึ่งที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปในปริมาณที่เท่ากันในทุกช่วงเวลาที่เท่ากัน

ตัวอย่างที่มักถูกยกมากล่าวถึงเกี่ยวกับการเร่งความเร็วสม่ำเสมอคือ วัตถุที่ตกอย่างอิสระในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ การเร่งความเร็วของวัตถุที่ตกลงมาโดยปราศจากแรงต้านการเคลื่อนที่นั้นขึ้นอยู่กับความแรงของสนามโน้มถ่วงgเท่านั้น (เรียกอีกอย่างว่าการเร่งความเร็วเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ) ตามกฎข้อที่สองของนิวตันแรง...${\displaystyle \mathbf {F_{g}} }$แรงกระทำต่อวัตถุแสดงได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} .}$$

เนื่องจากคุณสมบัติการวิเคราะห์ที่เรียบง่ายของกรณีความเร่งคงที่ จึงมีสูตรที่เรียบง่ายที่เชื่อมโยงการกระจัด ความเร็วเริ่มต้นและ ความเร็วที่ขึ้นอยู่กับเวลาและความเร่งกับเวลาที่ผ่านไป : ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&=\mathbf {x} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)\right)t\\\mathbf {v} (t)&=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t\\{v^{2}}(t)&={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}],\end{aligned}}}$$ที่ไหน

• ${\displaystyle t}$คือระยะเวลาที่ผ่านไป
• ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$คือการกระจัดเริ่มต้นจากจุดกำเนิด
• ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$คือการกระจัดจากจุดกำเนิด ณ เวลา${\displaystyle t}$,
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$คือความเร็วเริ่มต้น
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$คือความเร็ว ณ เวลา${\displaystyle t}$, และ
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$คืออัตราเร่งที่สม่ำเสมอ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเคลื่อนที่สามารถแยกออกเป็นสองส่วนที่ตั้งฉากกัน ส่วนหนึ่งมีความเร็วคงที่ และอีกส่วนหนึ่งเป็นไปตามสมการข้างต้น ดังที่กาลิเลโอแสดงให้เห็น ผลลัพธ์สุทธิคือการเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ซึ่งอธิบาย เช่น วิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกยิงในสุญญากาศใกล้พื้นผิวโลก^{[ 13 ]}

เวกเตอร์ตำแหน่งrจะชี้ออกจากจุดกำเนิดในแนวรัศมีเสมอ

เวกเตอร์ความเร็วvจะสัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่เสมอ

เวกเตอร์ความเร่งaไม่ขนานกับการเคลื่อนที่ในแนวรัศมี แต่เบี่ยงเบนไปจากทิศทางของความเร่งเชิงมุมและความเร่งโคริโอลิส และไม่สัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่ แต่เบี่ยงเบนไปจากทิศทางของความเร่งสู่ศูนย์กลางและความเร่งในแนวรัศมี

เวกเตอร์จลนศาสตร์ในพิกัดเชิงขั้วระนาบโปรดสังเกตว่าการตั้งค่านี้ไม่จำกัดเฉพาะพื้นที่ 2 มิติ แต่สามารถใช้แทนระนาบสัมผัสที่จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งใดๆ ในมิติที่สูงกว่าได้

ในการเคลื่อนที่แบบวงกลม สม่ำเสมอ นั่นคือการเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว คงที่ไป ตามเส้นทางวงกลม อนุภาคจะประสบกับความเร่งอันเนื่องมาจากการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว ในขณะที่ขนาดของความเร่งยังคงที่ อนุพันธ์ของตำแหน่งของจุดบนเส้นโค้งเทียบกับเวลา นั่นคือความเร็ว จะสัมผัสกับเส้นโค้งเสมอ หรือตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดนั้น เนื่องจากในการเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอ ความเร็วในทิศทางสัมผัสไม่เปลี่ยนแปลง ความเร่งจึงต้องอยู่ในทิศทางรัศมี ชี้ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม ความเร่งนี้จะเปลี่ยนทิศทางของความเร็วอย่างต่อเนื่องให้สัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดข้างเคียง ทำให้เวกเตอร์ความเร็วหมุนไปตามวงกลม

• สำหรับความเร็วที่กำหนด${\displaystyle v}$ขนาดของความเร่งที่เกิดจากรูปทรงเรขาคณิต (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง) นั้นแปรผกผันกับรัศมี${\displaystyle r}$ของวงกลม และเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของความเร็วนี้:$${\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.}$$
• สำหรับความเร็วเชิงมุม ที่กำหนด${\displaystyle \omega }$ความเร่งสู่ศูนย์กลางแปรผันตรงกับรัศมี${\displaystyle r}$นี่เป็นผลมาจากการพึ่งพาความเร็ว${\displaystyle v}$บนรัศมี${\displaystyle r}$.$${\displaystyle v=\omega r.}$$

การแสดงเวกเตอร์ความเร่งสู่ศูนย์กลางในส่วนประกอบเชิงขั้ว โดยที่${\displaystyle \mathbf {r} }$เป็นเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังอนุภาค โดยมีขนาดเท่ากับระยะทางนี้ และเมื่อพิจารณาทิศทางของความเร่งที่พุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง จะได้ว่า $${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\,.}$$โดยปกติแล้วในการหมุนเวียน ความเร็วจะแตกต่างกันไป${\displaystyle v}$ความเร็วเชิงมุม ของอนุภาคอาจแสดงได้ในรูปของความเร็วเชิงมุมเทียบกับจุดที่อยู่ห่างออกไป${\displaystyle r}$เช่น $${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}$$ดังนั้น${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-\omega ^{2}\mathbf {r} \,.}$

ความเร่งและมวลของอนุภาคนี้เป็นตัวกำหนดแรงสู่ศูนย์กลางที่ จำเป็น ซึ่งมีทิศทางพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม เป็นแรงลัพธ์ที่กระทำต่ออนุภาคนี้เพื่อรักษาสภาพการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ ส่วนแรงหนีศูนย์กลางที่ดูเหมือนจะกระทำออกไปด้านนอกนั้น เป็นแรงเสมือน ที่ เกิดขึ้นในกรอบอ้างอิงของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลม เนื่องจากโมเมนตัมเชิงเส้น ของวัตถุ ซึ่งเป็นเวกเตอร์สัมผัสกับวงกลมของการเคลื่อนที่

ในการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่สม่ำเสมอ กล่าวคือ ความเร็วตามเส้นทางโค้งมีการเปลี่ยนแปลง ความเร่งจะมีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในทิศทางสัมผัสกับเส้นโค้ง และไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะเวกเตอร์ปกติหลักซึ่งชี้ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมสัมผัสที่กำหนดรัศมี${\displaystyle r}$สำหรับความเร่งสู่ศูนย์กลาง ส่วนประกอบในแนวสัมผัสจะกำหนดโดยความเร่งเชิงมุม${\displaystyle \alpha }$กล่าวคือ อัตราการเปลี่ยนแปลง${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}}$ของความเร็วเชิงมุม${\displaystyle \omega }$คูณรัศมี${\displaystyle r}$นั่นคือ $${\displaystyle a_{t}=r\alpha .}$$

เครื่องหมายของส่วนประกอบสัมผัสของความเร่งจะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของความเร่งเชิงมุม (${\displaystyle \alpha }$และเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเวกเตอร์รัศมีเสมอ

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอธิบายพฤติกรรมของวัตถุที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับวัตถุอื่นด้วยความเร็วที่เข้าใกล้ความเร็วแสงในสุญญากาศกลศาสตร์นิวตันจึงถูกพิสูจน์แล้วว่าเป็นเพียงการประมาณค่าความเป็นจริง ซึ่งมีความแม่นยำสูงที่ความเร็วต่ำ เมื่อความเร็วที่เกี่ยวข้องเพิ่มขึ้นเข้าใกล้ความเร็วแสง ความเร่งจะไม่เป็นไปตามสมการคลาสสิกอีกต่อไป

เมื่อความเร็วเข้าใกล้ความเร็วแสง ความเร่งที่เกิดจากแรงที่กำหนดจะลดลง จนกลายเป็นค่าที่เล็กมากจนแทบเป็นศูนย์เมื่อเข้าใกล้ความเร็วแสง วัตถุที่มีมวลสามารถเข้าใกล้ความเร็วนี้ได้ในทางอนุกรมแต่จะไม่มีวันถึงความเร็วแสงได้

หากไม่ทราบสถานะการเคลื่อนที่ของวัตถุ จะไม่สามารถแยกแยะได้ว่าแรงที่สังเกตได้นั้นเกิดจากแรงโน้มถ่วงหรือความเร่ง—แรงโน้มถ่วงและความเร่งเนื่องจากความเฉื่อยมีผลเหมือนกันอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เรียกสิ่งนี้ว่าหลักการสมดุลและกล่าวว่ามีเพียงผู้สังเกตที่ไม่รู้สึกถึงแรงใดๆ เลย—รวมถึงแรงโน้มถ่วง—เท่านั้นที่มีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าพวกเขาไม่ได้มีความเร่ง^{[ 15 ]}