ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีการแทนของกลุ่มลีแบบลดรูป (reductive Lie groups )${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-โมดูลเป็นวัตถุพีชคณิต ซึ่ง Harish-Chandra นำเสนอเป็นครั้งแรก[ 1 ^{]ใช้ใน}การจัดการกับการแสดงแทนแบบต่อเนื่องที่มีมิติอนันต์โดยใช้เทคนิคพีชคณิต Harish-Chandra แสดงให้เห็นว่าการศึกษาการแสดงแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่ม Lie แบบลดทอนจริง Gสามารถลดทอนลงเหลือการศึกษาการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-โมดูล ซึ่ง${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$คือพีชคณิตลีของGและKเป็น กลุ่มย่อย ^{กระชับ}สูงสุดของG [ ^{2 ]}

ให้Gเป็นกลุ่มโกหกจริงๆ ให้${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ให้ เป็นพีชคณิตลีของกลุ่ม และKเป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดที่มีพีชคณิตลี${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$เอ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-โมดูลถูกกำหนดดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}เป็นปริภูมิเวกเตอร์Vที่เป็นทั้งการแสดงพีชคณิตลีของ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$และการแสดงกลุ่มของK (โดยไม่คำนึงถึงโทโพโลยีของK ) ที่ตรงตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้

1. สำหรับv ∈ V , k ∈ KและX ∈ ใดๆ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle k\cdot (X\cdot v)=(\operatorname {Ad} (k)X)\cdot (k\cdot v)}$

2. สำหรับv ∈ V ใด ๆKvแผ่คลุม ปริภูมิ ย่อยมิติจำกัดของVซึ่งการกระทำของKมีความต่อเนื่อง

3. สำหรับv ∈ VและY ∈ ใดๆ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \left.\left({\frac {d}{dt}}\exp(tY)\cdot v\right)\right|_{t=0}=Y\cdot v.}$

ในตัวอย่างข้างต้น จุดนั้น${\displaystyle \cdot }$แสดงถึงการกระทำทั้งสองอย่างของ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$บนVและของKสัญลักษณ์ Ad( k ) หมายถึงการกระทำผกผันของGบน${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$และKvคือเซตของเวกเตอร์${\displaystyle k\cdot v}$เนื่องจากkเปลี่ยนแปลงไปตลอดทั้งK

เงื่อนไขแรกสามารถเข้าใจได้ดังนี้: ถ้าGคือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( n , R ) แล้ว${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$คือพีชคณิตของเมทริกซ์ n x n ทั้งหมดและการกระทำผกผันของkบนXคือkXk ⁻¹ ; เงื่อนไข 1 สามารถอ่านได้ดังนี้

${\displaystyle kXv=kXk^{-1}kv=\left(kXk^{-1}\right)kv.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นข้อกำหนดด้านความเข้ากันได้ระหว่างการกระทำของKต่อV${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$บนVและKบน${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$เงื่อนไขที่สามก็เป็นเงื่อนไขความเข้ากันได้เช่นกัน คราวนี้เป็นความเข้ากันได้ระหว่างการกระทำของ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$บนVถูกมองว่าเป็นพีชคณิตย่อยของ Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$และการ กระทำของมันถูกมองว่าเป็นผลต่างของการกระทำของKต่อV