ในทางคณิตศาสตร์หมวด หมู่ *-อัตโนมัติ (อ่านว่า "สตาร์-อัตโนมัติ") คือหมวดหมู่ปิดแบบโมโนอิดัลสมมาตร ที่มาพร้อมกับวัตถุคู่ขนานแนวคิดนี้ยังถูกเรียกว่าหมวดหมู่ Grothendieck-Verdierเนื่องจากมีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่อง คู่ขนานของ Verdier${\displaystyle \bot }$

ให้เป็นหมวดหมู่ปิดแบบโมโนอิดัลสมมาตรสำหรับวัตถุสองชิ้นใดๆ โดยเฉพาะAและจะมีมอร์ฟิซึมอยู่ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle {\mathcal {C}},\otimes ,I,\ลูกศรขวา \rangle }$${\displaystyle \bot }$

${\displaystyle \partial _{A,\bot }:A\to (A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot }$

นิยามว่าเป็นภาพโดยการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่กำหนดการปิดแบบโมโนอิดัล

${\displaystyle \mathrm {Hom} ((A\Rightarrow \bot )\otimes A,\bot )\cong \mathrm {Hom} (A,(A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot )}$

ของแผนที่การประเมิน:

${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,A\Rightarrow \bot }\circ \gamma _{A\Rightarrow \bot ,A}:(A\Rightarrow \bot )\otimes A\to \bot }$

สมมาตร ของผลคูณเท น เซอร์ อยู่ที่ไหนวัตถุในหมวดหมู่เรียกว่าคู่ขนานเมื่อมอร์ฟิซึมที่เกี่ยวข้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับทุกวัตถุAของ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \bot }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \partial _{A,\bot }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

ในทำนองเดียวกันหมวดหมู่ *-อัตโนมัติคือ หมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตรพร้อมกับฟังก์ชันที่ทำให้สำหรับทุกวัตถุAมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติและสำหรับทุกวัตถุสามชิ้นA , BและCมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (-)^{*}:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A\cong {A^{**}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (A\otimes B,C^{*})\cong \mathrm {Hom} (A,(B\otimes C)^{*})}$.

วัตถุคู่ของถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกันของนิยามทั้งสองแสดงให้เห็นได้จากการระบุ ว่า ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \bot =I^{*}}$${\displaystyle A^{*}=A\Rightarrow \bot }$

หมวดหมู่ปิดขนาดกะทัดรัดเป็นแบบ *-อัตโนมัติ โดยมีหน่วยโมโนอิดัลเป็นวัตถุคู่ขนาน ในทางกลับกัน หากหน่วยของหมวดหมู่ *-อัตโนมัติเป็นวัตถุคู่ขนาน ก็จะมีตระกูลแผนที่แบบแคนอนิก

${\displaystyle A^{*}\otimes B^{*}\to (B\otimes A)^{*}}$.

สิ่งเหล่านี้จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อหมวดหมู่ *-อัตโนมัติเป็นหมวดหมู่ปิดแบบกระชับเท่านั้น

ตัวอย่างที่คุ้นเคยคือหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์k ใดๆ ที่ทำให้เป็นโมโนอิดัลด้วยผลคูณเทนเซอร์ ปกติ ของปริภูมิเวกเตอร์ วัตถุคู่คือkซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติ และการสร้างคู่สอดคล้องกับการสลับตำแหน่งแม้ว่าหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมดเหนือkจะไม่เป็น *-อัตโนมัติ แต่ส่วนขยายที่เหมาะสมไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีสามารถทำให้เป็น *-อัตโนมัติได้

ในทางกลับกัน หมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีประกอบด้วยหมวดหมู่ย่อยแบบเต็มที่กว้างมาก นั่นคือ หมวดหมู่Steของปริภูมิสเตอริโอไทป์ซึ่งเป็นหมวดหมู่ *-อัตโนมัติที่มีวัตถุคู่และผลคูณเทนเซอร์ ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$${\displaystyle \circledast }$

แบบจำลอง ตรรกะเชิงเส้นหลายแบบก่อให้เกิดหมวดหมู่แบบ *-อิสระ ซึ่งแบบจำลองที่เก่าแก่ที่สุดคือหมวดหมู่ของพื้นที่ความสอดคล้องของ ฌอง-อีฟ จิราร์ด

หมวดหมู่ของเซมิแลตทิซสมบูรณ์ที่มีมอร์ฟิซึมที่รักษาการเชื่อมต่อทั้งหมด แต่ไม่จำเป็นต้องรักษาการบรรจบกัน คือ *-อัตโนมัติ โดยมีตัวสร้างคู่คือสายโซ่ขององค์ประกอบสองตัว ตัวอย่างที่เสื่อมสภาพ (โฮมเซตทั้งหมดที่มีจำนวนสมาชิกไม่เกินหนึ่ง) ได้รับจากพีชคณิตบูลีน ใดๆ (ในฐานะเซตที่มีลำดับบางส่วน ) ที่ทำให้เป็นโมโนอิดัลโดยใช้การเชื่อมโยงสำหรับผลคูณเทนเซอร์และใช้ 0 เป็นวัตถุสร้างคู่

รูปแบบทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีทวิภาวะของ Verdierให้ตัวอย่างเพิ่มเติมของหมวดหมู่ *-อัตโนมัติ เช่นBoyarchenko & Drinfeld (2013)กล่าวว่าหมวดหมู่อนุพันธ์ แบบจำกัด ของชีฟ l-adic ที่สร้างได้ บนวาไรตี้พีชคณิตมีคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเพิ่มเติม ได้แก่ หมวดหมู่อนุพันธ์ของชีฟที่สร้างได้บนปริภูมิเชิงทอพอโลยีชนิดต่างๆ

ตัวอย่างของหมวดหมู่แบบทวิภาคในตัวเองที่ไม่เป็นอิสระแบบ * คือ ลำดับเชิงเส้นจำกัดและฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งมี * แต่ไม่เป็นอิสระแบบ *: วัตถุทวิภาคของมันคือโซ่สององค์ประกอบ แต่ไม่มีผลคูณเทนเซอร์

หมวดหมู่ของเซตและการฉีดแบบบางส่วนของเซตนั้นเป็นแบบทวิภาวะในตัวเอง เนื่องจากผกผันของการฉีดแบบบางส่วนนั้นก็เป็นการฉีดแบบบางส่วนเช่นกัน

แนวคิดของ *-หมวดหมู่แบบอิสระ (*-autonomous category) ถูกนำเสนอโดยMichael Barrในปี 1979 ในเอกสารวิจัยชื่อเดียวกัน Barr นิยามแนวคิดนี้สำหรับสถานการณ์ทั่วไปของV-หมวดหมู่ ซึ่งเป็นหมวดหมู่ที่เสริมด้วยหมวดหมู่แบบสมมาตรโมโนอิดัลหรือแบบอิสระVคำนิยามข้างต้นเป็นการปรับคำนิยามของ Barr ให้เฉพาะกรณีV = เซตของหมวดหมู่ทั่วไป ซึ่งวัตถุโฮโมออบเจ็กต์ของพวกมันก่อตัวเป็นเซต (ของมอร์ฟิซึม) เอกสารวิจัยของ Barr มีภาคผนวกโดย Po-Hsiang Chu นักศึกษาของเขา ซึ่งพัฒนารายละเอียดของการสร้างโดย Barr ที่แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของ *-หมวดหมู่แบบอิสระV ที่ไม่ใช่แบบธรรมดาสำหรับหมวดหมู่แบบสมมาตรโมโนอิดัล Vทั้งหมดที่มีพูลแบ็ ก ซึ่งวัตถุของหมวดหมู่เหล่านี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อ Chu spacesใน อีกสิบปีต่อมา

ในหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบปิดสองด้าน ซึ่งไม่จำเป็นต้องสมมาตร ก็ยังสามารถกำหนดวัตถุคู่ควบได้ จากนั้นจึงกำหนดหมวดหมู่ *-อัตโนมัติเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบปิดสองด้านที่มีวัตถุคู่ควบได้ นิยามทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับในกรณีสมมาตร ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• หมวดหมู่อิสระ