ปริภูมิ ชู (Chu spaces)ขยายแนวคิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยี (topological space)โดยตัดเงื่อนไขที่ว่าเซตของเซตเปิดต้องปิดภายใต้การรวมกันและการตัดกัน แบบจำกัด เซตเปิดต้องเป็นเซตขยายได้ (extensional) และตัวบ่งชี้การเป็นสมาชิก (ของจุดในเซตเปิด) ต้องมีสองค่าออกไป นิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องยังคงไม่เปลี่ยนแปลง นอกจากการต้องใช้ถ้อยคำอย่างระมัดระวังเพื่อให้ยังคงมีความหมายหลังจากมีการขยายแนวคิดเหล่านี้แล้ว

ชื่อนี้มาจาก Po-Hsiang Chu ซึ่งเดิมทีได้สร้างการตรวจสอบหมวดหมู่ที่เป็นอิสระในฐานะนักศึกษาปริญญาโทภายใต้การดูแลของMichael Barrในปี 1979 ^{[ 1 ]}

หากพิจารณาในเชิงสถิต ปริภูมิชู ( A , r , X ) บนเซตKประกอบด้วยเซตAของจุด เซตXของสถานะ และฟังก์ชันr  : A × X → Kซึ่งทำให้ปริภูมิชูเป็นเมทริกซ์ ขนาด A × X ที่มีสมาชิกดึงมาจากKหรือเทียบเท่ากับความสัมพันธ์ทวิภาคที่มีค่าเป็นKระหว่างAและX (ความสัมพันธ์ทวิภาคทั่วไปมีค่าเป็น 2)

เมื่อพิจารณาในเชิงพลวัต พื้นที่ Chu จะแปลงสภาพในลักษณะเดียวกับพื้นที่เชิงทอพอโลยี โดยมีAเป็นเซตของจุดXเป็นเซตของเซตเปิด และrเป็นความสัมพันธ์ของการเป็นสมาชิกระหว่างเซตเหล่านั้น โดยที่Kคือเซตของระดับการเป็นสมาชิกที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจุดในเซตเปิด ฟังก์ชันต่อเนื่องจาก ( A , r , X ) ไปยัง ( B , s , Y ) คือคู่ของฟังก์ชัน ( f , g ) f  : A → B , g  : Y → Xที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความสัมพันธ์แบบผกผันs ( f ( a ), y ) = r ( a , g ( y )) สำหรับทุกa ∈ Aและy ∈ Yกล่าวคือfแมปจุดไปข้างหน้าในขณะที่gแมปสถานะไปข้างหลัง เงื่อนไขความสัมพันธ์แบบผกผันทำให้^g เป็นฟังก์ชันภาพผกผันf⁻¹ในขณะที่การเลือกXสำหรับโคโดเมนของgสอดคล้องกับข้อกำหนดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่ว่าภาพผกผันของเซตเปิดต้องเป็นเซตเปิด คู่ดังกล่าวเรียกว่าการแปลงชู หรือมอร์ฟิซึมของปริภูมิชู

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ( X , T ) โดยที่Xคือเซตของจุด และTคือเซตของเซตเปิด สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นปริภูมิชู ( X , ∈, T ) บน {0, 1} กล่าวคือ จุดในปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะกลายเป็นจุดในปริภูมิชู ในขณะที่เซตเปิดจะกลายเป็นสถานะ และความสัมพันธ์การเป็นสมาชิก "∈" ระหว่างจุดและเซตเปิดจะถูกทำให้ชัดเจนในปริภูมิชู เงื่อนไขที่ว่าเซตของเซตเปิดจะต้องปิดภายใต้การรวมกันแบบใดๆ (รวมถึงเซตว่าง) และการตัดกันแบบจำกัด (รวมถึงเซตว่าง) จะกลายเป็นเงื่อนไขที่สอดคล้องกันบนคอลัมน์ของเมทริกซ์ ฟังก์ชันต่อเนื่องf :  X  →  X'ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองปริภูมิจะกลายเป็นคู่ผกผัน ( f , g ) โดยที่fจะจับคู่กับการทำให้เป็นจริงของเงื่อนไขความต่อเนื่องที่สร้างขึ้นเป็นฟังก์ชันพยานที่ชัดเจนgซึ่งแสดงเซตเปิดที่จำเป็นในโดเมนของ f

หมวดหมู่ของปริภูมิชูเหนือKและแผนที่ของปริภูมิชูนั้นถูกแทนด้วยChu ( Set , K ) ดังที่เห็นได้ชัดจากความสมมาตรของคำนิยาม มันเป็นหมวดหมู่แบบคู่ตัวเอง : มันเทียบเท่า (อันที่จริงคือไอโซมอร์ฟิก) กับหมวดหมู่คู่ของมัน ซึ่งเป็นหมวดหมู่ที่ได้จากการกลับแผนที่ทั้งหมด ยิ่งไปกว่านั้น มันยังเป็นหมวดหมู่แบบ *-อัตโนมัติที่มีวัตถุคู่ ( K , λ, {*}) โดยที่ λ : K × {*} → Kถูกกำหนดโดย λ( k , *) = k (Barr 1979) ด้วยเหตุนี้ มันจึงเป็นแบบจำลองของตรรกะเชิงเส้นของJean-Yves Girard (Girard 1987)

หมวดหมู่เสริม ทั่วไปChu ( V ,  k ) ปรากฏครั้งแรกในภาคผนวกของ Barr (1979) แนวคิดพื้นที่ Chu มีต้นกำเนิดมาจากMichael Barrและรายละเอียดได้รับการพัฒนาโดย Po-Hsiang Chu นักศึกษาของเขา ซึ่งวิทยานิพนธ์ปริญญาโทของเขาเป็นภาคผนวก พื้นที่ Chu ทั่วไปเกิดขึ้นในกรณีที่V = Setนั่นคือ เมื่อหมวดหมู่โมโนอิดัล Vถูกกำหนดให้เป็นหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียนSetของเซตและฟังก์ชันของเซต แต่ไม่ได้มีการศึกษาอย่างจริงจังจนกระทั่งกว่าทศวรรษหลังจากที่แนวคิดเสริมทั่วไปปรากฏขึ้น รูปแบบหนึ่งของพื้นที่ Chu ที่เรียกว่าพื้นที่ไดอะเลคติกาซึ่งพัฒนาโดยde Paiva (1989)แทนที่เงื่อนไขแผนที่ (1) ด้วยเงื่อนไขแผนที่ (2):

1. s ( f ( a ), y ) = r ( a , g ( y )).
2. s ( f ( a ), y ) ≤ r ( a , g ( y )).

หมวดหมู่Topของปริภูมิเชิงทอพอโลยีและฟังก์ชันต่อเนื่องของปริภูมิเหล่านั้นฝังตัวอยู่ในChu ( Set , 2) ในแง่ที่ว่ามีฟังก์ชันที่สมบูรณ์และซื่อสัตย์F  : Top → Chu ( Set , 2 ) ซึ่งให้ การแสดงผลF (( X , T )) = ( X , ∈, T ) สำหรับแต่ละปริภูมิเชิงทอพอโลยี ( X , T ) ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การแสดงผลนี้ยังเป็นการตระหนักรู้ในความหมายของ Pultr และTrnková (1980) กล่าวคือ ปริภูมิ Chu ที่แสดงผลนั้นมีเซตของจุดเดียวกันกับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แสดงผล และแปลงในลักษณะเดียวกันผ่านฟังก์ชันเดียวกัน

ปริภูมิชูมีความโดดเด่นในด้านความหลากหลายของโครงสร้างที่คุ้นเคยที่มันสร้างขึ้น ลาฟองต์และสไตรเชอร์ (1991) ชี้ให้เห็นว่าปริภูมิชูเหนือ 2 สร้างขึ้นทั้งปริภูมิเชิงทอพอโลยีและปริภูมิเชิงสอดคล้อง (ซึ่งนำเสนอโดย เจ.-วาย. จิราร์ด (1987) เพื่อจำลองตรรกะเชิงเส้น) ในขณะที่ปริภูมิชูเหนือKสร้างขึ้นหมวดหมู่ใด ๆ ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีขนาดไม่เกินKสิ่งนี้ได้รับการขยายโดยวอห์น แพรตต์ (1995) ไปสู่การสร้าง โครงสร้างเชิงสัมพันธ์ k -ary โดยปริภูมิชูเหนือ 2k ^{ตัวอย่าง}เช่น หมวดหมู่Grpของกลุ่มและโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเหล่านั้นถูกสร้างขึ้นโดยชู ( เซต ,  8 ) เนื่องจากผลคูณของกลุ่มสามารถจัดระเบียบเป็นความสัมพันธ์ไตรภาคได้ Chu ( ชุดที่ 2) ตระหนักถึงโครงสร้าง "ตรรกะ" ที่หลากหลาย เช่น เซมิแลตติส แลตติสแบบกระจาย แลตติสแบบสมบูรณ์และแบบกระจายอย่างสมบูรณ์ พีชคณิตบูลีน พีชคณิตบูลีนอะตอมิกแบบสมบูรณ์ เป็นต้น ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้และแง่มุมอื่นๆ ของพื้นที่ Chu รวมถึงการประยุกต์ใช้ในการสร้างแบบจำลองพฤติกรรมพร้อมกัน สามารถดูได้ที่Chu Spaces

พื้นที่ Chu สามารถใช้เป็นแบบจำลองของการคำนวณพร้อมกันในทฤษฎีออโตมาตาเพื่อแสดงเวลาการแตกแขนงและความพร้อม กันที่แท้จริง พื้นที่ Chu แสดงปรากฏการณ์กลศาสตร์ควอนตัมของความสมบูรณ์และความไม่แน่นอน ความสมบูรณ์เกิดขึ้นจากความเป็นคู่ของข้อมูลและเวลา ออโตมาตาและตารางเวลา และสถานะและเหตุการณ์ ความไม่แน่นอนเกิดขึ้นเมื่อการวัดถูกกำหนดให้เป็นมอร์ฟิซึมซึ่งโครงสร้างที่เพิ่มขึ้นในวัตถุที่สังเกตจะลดความชัดเจนของการสังเกต ความไม่แน่นอนนี้สามารถคำนวณได้ทางตัวเลขจากฟอร์มแฟกเตอร์เพื่อให้ได้ ความสัมพันธ์ ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก ตามปกติ พื้นที่ Chu สอดคล้องกับฟังก์ชันคลื่นเป็นเวกเตอร์ของพื้นที่ฮิลเบิร์ต^{[ 2 ]}

• คู่มือการเขียนบทความเกี่ยวกับ Chu Spaces , หน้าเว็บ