ในทฤษฎีการพิสูจน์พื้นที่ที่สอดคล้องกัน (หรือพื้นที่ความสอดคล้อง ) เป็นแนวคิดที่ถูกนำมาใช้ในการศึกษาความหมายของตรรกะเชิงเส้น

ในหนังสือ Proofs and Typesพื้นที่โคเฮเรนต์ (coherent spaces) ถูกเรียกว่าพื้นที่โคเฮเรนซ์ (coherence spaces) เชิงอรรถอธิบายว่า แม้ในต้นฉบับภาษาฝรั่งเศสจะใช้คำว่า "espaces cohérents" แต่ในฉบับแปลใช้คำว่า "coherence space" เนื่องจาก บางครั้ง พื้นที่สเปกตรัม (spectral spaces)ก็ถูกเรียกว่า "coherent spaces" เช่นกัน

มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันหลายแบบสำหรับพื้นที่ที่สอดคล้องกัน

นิยามดั้งเดิมของJean-Yves Girardคือกลุ่มของเซต ที่ตรงตามเงื่อนไขการปิด ต่อไปนี้ : ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• การ ปิดลง : ถ้าและแล้ว${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a'\subseteq a}$${\displaystyle a'\in {\mathcal {A}}}$
• ความสมบูรณ์แบบไบนารี : สำหรับทุก ๆถ้าสำหรับทุกๆแล้ว${\displaystyle M\subseteq {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{1}\cup a_{2}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in M}$${\displaystyle \bigcup M\in {\mathcal {A}}}$

องค์ประกอบของเซตในคือโทเค็นเซตของโทเค็น คือเรากล่าวว่าแต่ละเป็นเซตของโทเค็นที่สอดคล้องกันหากเซตถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า และองค์ประกอบของถูกนำเสนอเป็นเซตย่อยของแล้ว จะต้องมีสำหรับทุก ด้วย ซึ่งโดยสัญชาตญาณแล้วหมายความว่า โทเค็นใดๆ ก็ตาม ย่อมมีความสอดคล้องกับตัวมันเองอย่างน้อยที่สุด ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|=\bigcup {\mathcal {A}}=\{\alpha \mid \{\alpha \}\in {\mathcal {A}}\}.}$$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\alpha \}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \alpha \in X}$

เมื่อกำหนดตระกูลดังกล่าวแล้ว จะได้ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับและสมมาตรบนซึ่งเรียกว่าความสอดคล้องโมดูลโดยกำหนดให้องค์ประกอบของก็คือเซตย่อยของซึ่งองค์ประกอบของ มีความสัมพันธ์กันเป็นคู่ๆโดย ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$$${\displaystyle \alpha \sim \beta \quad {\text{ก็ต่อเมื่อ}}\quad \{\alpha ,\beta \}\in {\mathcal {A}}.}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle \sim }$

เซตที่สอดคล้องกันนั้นมีลำดับบางส่วนภายใต้การรวม โดยอาศัยความสมบูรณ์แบบไบนารีและทฤษฎีบทของซอร์นเซตที่สอดคล้องกันใดๆ ก็ตามจะถูกบรรจุอยู่ในเซตที่สอดคล้องกันสูงสุด ดังนั้นจึงจำเป็นต้องระบุเฉพาะเซตที่สอดคล้องกันสูงสุดเท่านั้นจากนั้นจึงทำการปิดแบบลง: เงื่อนไขเดียวสำหรับคือ เซตสองเซตใดๆ ก็ตามหากแตกต่างกันแล้ว เซตใดเซตหนึ่งจะไม่บรรจุอีกเซตหนึ่ง ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\max }}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{a:\exists a'\in {\mathcal {A}}_{\max },a'\supset a\}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\max }}$${\displaystyle a,a'\in {\mathcal {A}}_{\max }}$

พื้นที่ความสอดคล้องมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกราฟแบบไม่มีทิศทางซึ่งจุดยอดเป็นโทเค็น

เมื่อกำหนดปริภูมิความสอดคล้อง (coherence space ) แล้ว กราฟที่เกี่ยวข้องซึ่งเรียกว่าเครือข่ายของปริภูมิความสอดคล้องนั้น จะมีเซตของจุดยอด ขอบของเครือข่ายคือคู่จุดยอดที่ไม่มีลำดับโดยที่โปรดทราบว่าเรากำหนดให้แต่ละจุดยอดมีขอบที่เชื่อมกับตัวเองเพียงเพื่อความสะดวกเท่านั้น ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle \{\อัลฟา ,\เบต้า \}}$${\displaystyle \alpha \sim \beta }$

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดกราฟแบบไม่มีทิศทางซึ่งแต่ละจุดยอดมีขอบเชื่อมตัวเอง เราจะได้ปริภูมิความสอดคล้องโดยการกำหนดให้เป็นกลุ่มของคลิก ทั้งหมด ของกราฟกล่าวคือ สมาชิกของคือเซตของจุดยอดที่มีสมาชิกอยู่ติดกันเป็นคู่ๆ ${\displaystyle (|{\mathcal {A}}|,E)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{a\subseteq |{\mathcal {A}}|\mid \forall \alpha ,\beta \in a,\{\alpha ,\beta \}\in E\}.}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ให้เป็นเซตของโทเค็น เซตย่อยสองเซตเรียกว่าตั้งฉากกัน (หรือขั้วกัน ) ถ้าเป็นเซตว่างหรือมีสมาชิกเพียงตัวเดียวเราเขียนสิ่งนี้ว่า ${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle a,b\subseteq |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle a\cap b}$${\displaystyle a\perp b}$

สำหรับครอบครัวหนึ่งคู่ตรงข้ามของมันคือครอบครัวอีกครอบครัวหนึ่ง พื้นที่แห่งความสอดคล้องคือครอบครัวที่น่าพึงพอใจกล่าวคือ เป็นครอบครัวที่ปิดสนิทตามหลักชีวปฏิรูปภายใต้ขั้วตรงข้าม ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(|{\mathcal {A}}|)}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\perp }=\{a\subseteq |{\mathcal {A}}|\mid \forall b\in {\mathcal {A}},\ a\perp b\}.}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(|{\mathcal {A}}|)}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}=({\mathcal {A}}^{\perp })^{\perp }.}$$

พื้นที่ที่สอดคล้องกันประกอบกันเป็นหมวดหมู่ วัตถุแต่ละชิ้นเป็นพื้นที่ที่สอดคล้องกัน และแต่ละมอร์ฟิซึมเป็น ฟังก์ชันเสถียร${\displaystyle \mathbf {Coh} }$${\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$

ฟังก์ชันเสถียร (Stable function) ถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันที่แมปกลุ่มคลิก (cliques) ไปยังกลุ่มคลิก (cliques) โดยที่ ฟังก์ชันเสถียรคือ $${\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$$

• ต่อเนื่อง: ถ้าเป็นตระกูลที่มีทิศทางแล้ว${\displaystyle \{a_{i}\}_{i}\subset {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(\cup _{i}a_{i})=\cup _{i}f(a_{i})}$
• เสถียร: ถ้าเป็นเช่นนั้นแล้ว${\displaystyle a,a'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\cup a'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(a\cap a')=f(a)\cap f(a')}$

โดยพิจารณาเสถียรภาพ ถ้าเช่นนั้นก็จะเป็นฟังก์ชันเอกภาค เช่น กัน ${\displaystyle a\subset a'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(a)\subset f(a')}$${\displaystyle f}$

โดยความเสถียรดังนั้นจึงแสดงให้เห็นว่าถูกกำหนดโดยค่าของมันบนเซตที่สอดคล้องกันแบบจำกัด ${\displaystyle f(a)=\cup _{a'\subset a,a'{\text{ is finite}}}f(a')}$${\displaystyle f}$

เพื่อความต่อเนื่อง เมื่อพิจารณากรณีพิเศษที่เป็นเซตว่าง เราจะได้ว่า ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i}\subset {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(\emptyset )=\emptyset }$

เมื่อกำหนดฟังก์ชันเสถียรแล้ว ร่องรอยของฟังก์ชันนั้นจะถูกนิยามว่านั่นคือ แต่ละค่า เป็นเช่นนั้น โดยที่เป็นเซตที่สอดคล้องกันขั้นต่ำที่จำเป็นในการสร้างโทเค็นโดยความเสถียร ค่า ใดๆจะต้องมีค่าจำกัด ${\displaystyle Tr(f)\subset {\mathcal {A}}\times |{\mathcal {B}}|}$$${\displaystyle Tr(f):=\{(a,\beta )|a\in {\mathcal {A}},\beta \in f(a),(\forall a'\subsetneq a,\beta \not \in f(a'))\}}$$${\displaystyle (a,\beta )\in Tr(f)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle (a,\beta )\in Tr(f)}$${\displaystyle a}$

ในทางกลับกัน ฟังก์ชันเสถียรแต่ละฟังก์ชันจะถูกกำหนดโดยร่องรอยของมัน:$${\displaystyle f(a)=\{\beta :(a',\beta )\in Tr(f),a'\subset a\}}$$

ฟังก์ชันเสถียรจะเป็น ฟังก์ชัน เชิงเส้นก็ต่อเมื่อ ใดๆ ก็ตามมีองค์ประกอบเพียงหนึ่งเดียว นี่คือแรงบันดาลใจดั้งเดิมสำหรับตรรกะเชิงเส้น ${\displaystyle f}$${\displaystyle (a,\beta )\in Tr(f)}$${\displaystyle a}$

ฟังก์ชันเชิงเส้นเสถียรนั้นเรียบง่ายเป็นพิเศษ และสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นคลิก โดยที่เมื่อกำหนดคลิกแล้วก็ยังคงคลิกใน ${\displaystyle f:|{\mathcal {A}}|\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \cup _{\alpha \in a}f(\alpha )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

โดยหลักการแล้ว พื้นที่ที่สอดคล้องกันคือ โทเค็นแต่ละตัวเป็นคุณลักษณะที่วัตถุอาจมี และชุดโทเค็นที่สอดคล้องกันคือชุดคุณลักษณะที่วัตถุบางอย่างมีพร้อมกัน ไม่มีวัตถุใดที่มีชุดโทเค็นที่ไม่สอดคล้องกันเป็นคุณลักษณะของมันได้ เราสำรวจวัตถุโดยการสังเกตคุณลักษณะของมันมากขึ้นเรื่อยๆ ชุดคุณลักษณะที่สังเกตได้จะเพิ่มขึ้น แต่จะยังคงสอดคล้องกันเสมอ

พื้นที่ที่สอดคล้องกันใดๆ สามารถระบุได้ด้วยเซตที่สอดคล้องกันมากที่สุด ส่วนการรวมกันของเซตที่สอดคล้องกันมากที่สุดสองเซตที่แตกต่างกันนั้น จะไม่สอดคล้องกัน

เมื่อกำหนดปริภูมิที่สอดคล้องกันแล้วปริภูมิขั้วของปริภูมินั้นก็ยังคงเป็นปริภูมิที่สอดคล้องกัน นี่คือ การสร้าง วัตถุคู่ในทฤษฎีหมวดหมู่ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\perp }}$

เมื่อกำหนดเซตใดๆเราจะมีปริภูมิความสอดคล้องแบบไม่ต่อเนื่อง/ขั้นต่ำและปริภูมิความสอดคล้องแบบไม่ต่อเนื่อง/ขั้นสูงสุด ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\{\alpha \}:\alpha \in X\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

กำหนดให้ปริภูมิที่สอดคล้องกันสองปริภูมิคือ ปริภูมิที่สอดคล้องกัน(อ่านว่า "เอ และ บี") ซึ่งนิยามว่าเป็นกราฟ เซตของโทเค็น คือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของเซตโทเค็นทั้งสองเซตและขอบของคือ การรวมกันของขอบในขอบในและโดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดตระกูลของปริภูมิที่สอดคล้องกันเราสามารถนิยามในทำนองเดียวกันได้ ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\&{\mathcal {B}}}$$${\displaystyle |{\mathcal {A}}\&{\mathcal {B}}|=|{\mathcal {A}}|+|{\mathcal {B}}|}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}\&{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \{\{\alpha ,\beta \}:\alpha \in {\mathcal {A}},\beta \in {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle \{{\mathcal {A}}_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \&_{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}}$

กำหนดให้มีปริภูมิที่สอดคล้องกันสองปริภูมิจะมีปริภูมิที่สอดคล้องกันอีกปริภูมิหนึ่งเซตของโทเค็นยังคงเป็นและขอบของคือการรวมกันของขอบในและขอบในนี่คือผลคูณร่วมซึ่งสามารถนิยามได้โดยทั่วไปสำหรับตระกูลของปริภูมิที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {B}}}$$${\displaystyle |{\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {B}}|=|{\mathcal {A}}|+|{\mathcal {B}}|}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \{{\mathcal {A}}_{i}\}_{i\in I}}$

กำหนดให้เซตสองเซตเซตของฟังก์ชันบางส่วนประเภทสามารถจำลองได้ด้วยปริภูมิโคฮีเรนต์ เซตโทเค็นคือและขอบคือสำหรับทุกหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับแต่ละกำหนดให้ เป็นปริภูมิโคฮีเรนต์แบบไม่ต่อเนื่อง/ขั้นต่ำของแล้วคือปริภูมิโคฮีเรนต์ที่เราสร้างขึ้น ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \{(x,y),(x',y')\}}$${\displaystyle x\neq x'}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{x}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \&_{x\in X}{\mathcal {Y}}_{x}}$

สามารถเข้าใจได้ง่ายๆ ดังนี้: ฟังก์ชันบางส่วนมีเซตของคุณลักษณะ เซตที่มีความสอดคล้องกันสูงสุดคือเซตของคุณลักษณะของฟังก์ชันทั้งหมด เมื่อเราแจกแจงค่าของฟังก์ชันบางส่วน เราจะแจกแจงเซตของคุณลักษณะ ซึ่งมีความสอดคล้องกันในทุกขั้นตอน สิ่งนี้มีประโยชน์เมื่อคำนวณโดยเครื่องจักรทัวริงที่อาจไม่หยุดทำงานในบางรายการ หากไม่หยุดทำงาน เราก็จะไม่สังเกตเห็นคุณลักษณะนั้นเลยในระหว่างการแจกแจงคุณลักษณะ เซตของคุณลักษณะที่สังเกตได้จะยังคงมีความสอดคล้องกันในทุกขั้นตอนของการแจกแจงของเรา ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \{(x,f(x)):x\in X\land f(x){\text{ is defined}}\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

ต่อไปนี้ กำหนดให้ เป็นปริภูมิที่สอดคล้องกันแบบไม่ต่อเนื่อง/ขั้นต่ำ จากนั้นจะเป็นฟังก์ชันเสถียรก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันบางส่วนเช่นนั้นและสามารถระบุได้ด้วยเซตของคุณลักษณะ ซึ่งเป็นเซตที่สอดคล้องกันในดังนั้น จึงเป็นปริภูมิที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle f':X\to Y}$$${\displaystyle f(\{x\})={\begin{cases}\{f'(x)\}&{\text{ if }}f'(x){\text{ is defined,}}\\\emptyset &{\text{ else}}\end{cases}}}$$${\displaystyle f'}$${\displaystyle \&_{x\in X}{\mathcal {Y}}_{x}}$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Coh} }({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})\simeq \&_{x\in X}{\mathcal {Y}}_{x}}$

โดยทั่วไป เรามีฟังก์ชันเตอร์ที่แปรผกผันในอาร์กิวเมนต์แรกและแปรผันร่วมในอาร์กิวเมนต์ที่สอง ซึ่งทำให้นั่นคือ เมื่อกำหนดปริภูมิโคฮีเรนต์สองปริภูมิใดๆเซตโฮมระหว่างปริภูมิทั้งสองนั้นจะมีโครงสร้างเป็นปริภูมิโคฮีเรนต์เช่นกัน ซึ่งทำให้หมวดหมู่นั้นสมบูรณ์ยิ่งขึ้นด้วยตัวมันเอง ${\displaystyle \Rightarrow :\mathbf {Coh} ^{2}\to \mathbf {Coh} }$$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Coh} }({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\simeq {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$

เซตโทเค็นคือโดยที่คือเซตของเซตโคฮีเรนต์จำกัดที่ไม่ว่างในโทเค็นสองตัวจะโคฮีเรนต์กันก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle |{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}|}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{fin}}\times |{\mathcal {B}}|}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{fin}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (a,\beta ),(a',\beta ')}$

• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle a\cup a'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \{\beta ,\beta '\}\in {\mathcal {B}}}$
• ถ้าและแล้ว​${\displaystyle a\cup a'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\neq a'}$${\displaystyle \beta \neq \beta '}$

โปรดทราบว่า ถ้าแล้วสำหรับทุก นั่นคือ เราต้องการความสอดคล้องในก็ต่อเมื่อมีความสอดคล้องใน แล้ว เท่านั้น หากไม่มีความสอดคล้องในเราก็จะไม่เรียกร้องความสอดคล้องในเลย ${\displaystyle a\cup a'\not \in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (a,\beta ),(a',\beta ')}$${\displaystyle \beta ,\beta '\in |{\mathcal {B}}|}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

ปริภูมิความสอดคล้องสามารถทำหน้าที่เป็นตัวตีความสำหรับประเภทในทฤษฎีประเภทโดยที่จุดของประเภทคือจุดของปริภูมิความสอดคล้องสิ่งนี้ช่วยให้สามารถอภิปรายโครงสร้างบางอย่างเกี่ยวกับประเภทได้ ตัวอย่างเช่น แต่ละเทอมของประเภทสามารถกำหนดเซตของการประมาณค่าแบบจำกัดซึ่งในความเป็นจริงแล้วคือ เซตแบบมีทิศทาง ที่มีความสัมพันธ์แบบเซตย่อย โดยที่ เป็นเซตย่อยที่สอดคล้องกันของปริภูมิโทเค็น(กล่าวคือ เป็นสมาชิกของ) สมาชิกใดๆ ของก็เป็นเซตย่อยแบบจำกัดของและดังนั้นจึงสอดคล้องกันด้วย และเรามี${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=\bigcup a_{i},a_{i}\in I.}$

ฟังก์ชันระหว่างประเภทต่างๆถือเป็น ฟังก์ชัน เสถียรระหว่างปริภูมิความสอดคล้อง ฟังก์ชันเสถียรถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันที่เคารพค่าประมาณและเป็นไปตามสัจพจน์ความเสถียรบางประการ ในทางรูปธรรมฟังก์ชันเสถียรคือฟังก์ชันที่... ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$

1. เป็นฟังก์ชันเอกภาคเมื่อเทียบกับลำดับของเซตย่อย (เคารพการประมาณค่า ในเชิงหมวดหมู่เป็นฟังก์ชันเหนือเซตลำดับ ):${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a'\subset a\in {\mathcal {A}}\implies F(a')\subset F(a).}$
2. เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (ในเชิงหมวดหมู่ รักษาโคลิมิตแบบกรอง ): โดยที่คือการรวมกันแบบมีทิศทางเหนือซึ่งเป็นเซตของตัวประมาณจำกัดของ${\textstyle F(\bigcup _{i\in I}^{\uparrow }a_{i})=\bigcup _{i\in I}^{\uparrow }F(a_{i})}$${\textstyle \bigcup _{i\in I}^{\uparrow }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$
3. มันมีเสถียรภาพ : ในเชิงหมวดหมู่ หมายความว่ามันรักษาการดึงกลับไว้ได้ :${\displaystyle a_{1}\cup a_{2}\in {\mathcal {A}}\implies F(a_{1}\cap a_{2})=F(a_{1})\cap F(a_{2}).}$

   

เพื่อให้ถือว่าฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัวมีเสถียรภาพ ฟังก์ชันนั้นต้องเป็นไปตามเกณฑ์ข้อ 3 ข้างต้นในรูปแบบนี้ซึ่งหมายความว่า นอกเหนือจากเสถียรภาพในแต่ละอาร์กิวเมนต์เพียงอย่างเดียวแล้ว พูลแบ็คก็ต้องมีเสถียรภาพด้วยเช่นกัน $${\displaystyle a_{1}\cup a_{2}\in {\mathcal {A}}\land b_{1}\cup b_{2}\in {\mathcal {B}}\implies F(a_{1}\cap a_{2},b_{1}\cap b_{2})=F(a_{1},b_{1})\cap F(a_{2},b_{2})}$$

จะถูกรักษาไว้ด้วยฟังก์ชันเสถียรที่มีสองอาร์กิวเมนต์ ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความของปริภูมิผลคูณที่สร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฟังก์ชันไบนารีเสถียร (ฟังก์ชันที่มีสองอาร์กิวเมนต์) และฟังก์ชันเอกภาคเสถียร (หนึ่งอาร์กิวเมนต์) บนปริภูมิผลคูณ ปริภูมิความสอดคล้องของผลคูณเป็นผลคูณในความหมายเชิงหมวดหมู่ กล่าวคือ มันสอดคล้องกับคุณสมบัติสากลสำหรับผลคูณ มันถูกกำหนดโดยสมการ: ${\displaystyle {\mathcal {A}}\ \&\ {\mathcal {B}}}$

• ${\displaystyle |{\mathcal {A}}\ \&\ {\mathcal {B}}|=|{\mathcal {A}}|+|{\mathcal {B}}|=(\{1\}\times |{\mathcal {A}}|)\cup (\{2\}\times |{\mathcal {B}}|)}$(กล่าวคือ เซตของโทเค็นของคือผลคูณร่วม (หรือการรวมกันที่ไม่ซ้ำกัน ) ของเซตโทเค็นของและ)${\displaystyle {\mathcal {A}}\ \&\ {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
• โทเค็นจากชุดที่แตกต่างกันจะมีความสอดคล้องกันเสมอ และโทเค็นจากชุดเดียวกันจะมีความสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อมันมีความสอดคล้องกันในชุดนั้นเอง
  • ${\displaystyle (1,\alpha )\sim _{{\mathcal {A}}\ \&\ {\mathcal {B}}}(1,\alpha ')\iff \alpha \sim _{\mathcal {A}}\alpha '}$
  • ${\displaystyle (2,\beta )\sim _{{\mathcal {A}}\ \&\ {\mathcal {B}}}(2,\beta ')\iff \beta \sim _{\mathcal {B}}\beta '}$
  • ${\displaystyle (1,\alpha )\sim _{{\mathcal {A}}\ \&\ {\mathcal {B}}}(2,\beta ),\forall \alpha \in |{\mathcal {A}}|,\beta \in |{\mathcal {B}}|}$