ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีบทAF+BG (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทพื้นฐานของแม็กซ์ โนเธอร์ ) เป็นผลงานของแม็กซ์ โนเธอร์ที่กล่าวว่า ถ้าสมการของเส้นโค้งเชิงพีชคณิตในระนาบเชิงซ้อนเชิง โปรเจกทีฟ เป็นส่วนหนึ่งของ อุดมคติ ที่สร้างขึ้นจากสมการของเส้นโค้งเชิงพีชคณิตอีกสองเส้น ในระดับท้องถิ่น (ที่จุดตัดแต่ละจุด) แล้ว สมการนั้นก็จะเป็นส่วนหนึ่งของอุดมคตินี้ในระดับสากลด้วย

ให้F , GและHเป็นพหุนามเอกพันธุ์ในสามตัวแปร โดยที่Hมีดีกรีสูงกว่าFและG ; ให้a = ดีกรีH − ดีกรีFและb = ดีกรีH − ดีกรีG (ทั้งสองเป็นจำนวนเต็มบวก) เป็นผลต่างของดีกรีของพหุนาม สมมติว่าตัวหารร่วมมากของFและGเป็นค่าคงที่ ซึ่งหมายความว่าเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟที่พวกมันกำหนดในระนาบเชิงโปรเจกทีฟนั้นมีจุด${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ตัดที่ประกอบด้วยจุดจำนวนจำกัด สำหรับแต่ละจุดPในจุดตัดนี้ พหุนามFและGสร้างไอเดียล( F , G ) ของวงแหวนเฉพาะที่ณ จุดP (วงแหวนเฉพาะที่นี้คือวงแหวนของเศษส่วนโดยที่nและdเป็นพหุนามในสามตัวแปร และd ( P ) ≠ 0 ) ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า ถ้าHอยู่ใน( F , G ) สำหรับทุกจุดตัดPแล้วHจะอยู่ในไอเดียล( F , G )ด้วย กล่าวคือ มีพหุนามเอกพันธุ์AและBที่มีดีกรีaและbตามลำดับ ซึ่งทำให้H = AF + BG ยิ่งไปกว่านั้น การเลือก Aสองตัวใดๆจะแตกต่างกันด้วยผลคูณของGและในทำนองเดียวกัน การเลือก B สองตัวใดๆจะแตกต่างกันด้วยผลคูณของF${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {n}{d}},}$

ทฤษฎีบทนี้อาจมองได้ว่าเป็นการขยายความทั่วไปของเอกลักษณ์ของเบซูต์ซึ่งให้เงื่อนไขที่จำนวนเต็มหรือพหุนามตัวแปรเดียวhสามารถแสดงได้ในรูปขององค์ประกอบของไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยจำนวนเต็มหรือพหุนามตัวแปรเดียวอีกสองตัวfและg : การแสดงเช่นนั้นมีอยู่ก็ต่อเมื่อhเป็นพหุคูณของตัวหารร่วมมากของfและgเท่านั้น เงื่อนไข AF+BG แสดงเงื่อนไขที่คล้ายกันในแง่ของตัวหาร (เซตของจุดที่มีความซ้ำซ้อน) ซึ่งพหุนามเอกพันธุ์H ในสามตัวแปรสามารถเขียน ได้ในรูปขององค์ประกอบของไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยพหุนามอีกสองตัวFและG

ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นการปรับปรุงเพิ่มเติมสำหรับกรณีเฉพาะนี้ของทฤษฎีบท Nullstellensatz ของ Hilbertซึ่งให้เงื่อนไขที่แสดงว่ากำลังบางอย่างของพหุนามh (ในตัวแปรจำนวนใดก็ได้) เป็นส่วนหนึ่งของอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยเซตจำกัดของพหุนาม

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ทฤษฎีบทพื้นฐานของโนเธอร์" , MathWorld