ในทางคณิตศาสตร์ การนำเสนอ แบบสัมบูรณ์เป็นวิธีหนึ่งในการ^{กำหนด}กลุ่ม^{[ 1} ]

โปรดจำไว้ว่า ในการกำหนดกลุ่มโดยใช้การนำเสนอจะต้องระบุชุดของตัวสร้างเพื่อให้ทุกองค์ประกอบของกลุ่มสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของตัวสร้างเหล่านี้ และชุดของความสัมพันธ์ระหว่างตัวสร้างเหล่านั้น ในเชิงสัญลักษณ์: ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle G\simeq \langle S\mid R\rangle .}$

โดยไม่เป็นทางการกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยเซตนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่าสำหรับทุก ๆแต่ในที่นี้มีข้อสมมติโดย ปริยาย ว่าเป็นกลุ่มที่ "อิสระที่สุด" เนื่องจากความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นไปตามเงื่อนไขในภาพโฮโมมอร์ฟิก ใด ๆ ของ อย่างชัดเจน วิธีหนึ่งที่จะขจัดข้อสมมติโดยปริยายนี้ได้คือการระบุว่าคำ บางคำ ในไม่ควรเท่ากับนั่นคือ เรากำหนดเซตเรียกว่าเซตของความไม่สัมพันธ์เช่นนั้นสำหรับทุก ๆ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\neq 1}$${\displaystyle i\in I.}$

ในการกำหนดการนำเสนอแบบสัมบูรณ์ของกลุ่มเราต้องระบุชุดของตัวสร้างและเซตรวมถึงความสัมพันธ์และความไม่สัมพันธ์กันระหว่างตัวสร้างเหล่านั้น จากนั้นเราจะกล่าวว่ากลุ่มนั้นมีการนำเสนอแบบสัมบูรณ์ ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \langle S\กลาง R,I\rangle }$

โดยมีเงื่อนไขว่า:

1. ${\displaystyle G}$มีการนำเสนอ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$
2. เมื่อกำหนดโฮโมมอร์ฟิ ซึมใดๆ ที่ความสัมพันธ์ที่ไม่สัมพันธ์กันเป็นไป ตาม เงื่อนไขในจะสม isomorphicกับ${\displaystyle h:G\rightarrow H}$${\displaystyle I}$${\displaystyle h(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle h(G)}$

วิธีการระบุเงื่อนไขข้อที่ 2 ที่ใช้พีชคณิตมากกว่า แต่ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากัน คือ:

2a. ถ้า เป็น กลุ่มย่อยปกติที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยว่างของแล้ว${\displaystyle N\triangleleft G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle I\cap N\neq \left\{1\right\}.}$

หมายเหตุ:แนวคิดเรื่องการนำเสนอแบบสัมบูรณ์ได้ก่อให้เกิดประโยชน์อย่างมากในสาขาต่างๆ เช่นกลุ่มปิดเชิงพีชคณิตและโทโพโลยีของกริกอร์ชุกในเอกสารทางวิชาการ ในบริบทที่กำลังมีการพูดถึงการนำเสนอแบบสัมบูรณ์ บางครั้งการนำเสนอ (ในความหมายปกติของคำ) จะถูกเรียกว่าการนำเสนอแบบสัมพัทธ์ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของคำที่ผันกลับมาใช้ใหม่ (retronym )

กลุ่มวัฏจักรลำดับที่ 8 มีการนำเสนอดังนี้

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1\rangle .}$

แต่หากพิจารณาถึงความเหมือนกันทางโครงสร้างแล้ว ยังมีอีกสามกลุ่มที่ "สอดคล้อง" กับความสัมพันธ์ดังกล่าว ได้แก่: ${\displaystyle a^{8}=1,}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{4}=1\rangle }$

${\displaystyle \langle a\mid a^{2}=1\rangle }$และ

${\displaystyle \langle a\mid a=1\rangle .}$

อย่างไรก็ตาม ไม่มีสิ่งใดในนี้ที่สอดคล้องกับความไม่สัมพันธ์กันดังนั้น การนำเสนอแบบสัมบูรณ์สำหรับกลุ่มวัฏจักรลำดับที่ 8 คือ: ${\displaystyle a^{4}\neq 1}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{4}\neq 1\rangle .}$

ส่วนหนึ่งของนิยามของการนำเสนอแบบสัมบูรณ์คือ ความไม่สัมพันธ์กันจะไม่เกิดขึ้นในภาพโฮโมมอร์ฟิกที่เหมาะสมใดๆ ของกลุ่ม ดังนั้น:

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{2}\neq 1\rangle }$

ไม่ใช่การนำเสนอที่สมบูรณ์แบบสำหรับกลุ่มวัฏจักรลำดับที่ 8 เพราะความไม่สัมพันธ์กันนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขในกลุ่มวัฏจักรลำดับที่ 4 ${\displaystyle a^{2}\neq 1}$

แนวคิดของการนำเสนอแบบสัมบูรณ์เกิดขึ้นจาก การศึกษา ปัญหาไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับกลุ่มปิดเชิงพีชคณิตของBernhard Neumann ^{[ 1 ]}

กลยุทธ์ทั่วไปในการพิจารณาว่ากลุ่มสองกลุ่มและเป็นกลุ่มที่สมมาตรกันหรือไม่ คือการพิจารณาว่าการนำเสนอสำหรับกลุ่มหนึ่งสามารถแปลงเป็นการนำเสนอสำหรับอีกกลุ่มหนึ่งได้หรือไม่ อย่างไรก็ตาม กลุ่มปิดเชิงพีชคณิตนั้นไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดและไม่ได้นำเสนอแบบเวียนเกิดดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเปรียบเทียบการนำเสนอของกลุ่มเหล่านั้น นอยมันน์จึงพิจารณากลยุทธ์ทางเลือกดังต่อไปนี้: ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

สมมติว่าเรารู้ว่ากลุ่มที่มีการนำเสนอแบบจำกัดสามารถฝังตัวอยู่ในกลุ่มปิดเชิงพีชคณิตได้จากนั้นเมื่อกำหนดกลุ่มปิดเชิงพีชคณิตอีกกลุ่มหนึ่งเราสามารถถามได้ว่า "สามารถฝังตัวอยู่ใน ได้หรือไม่?" ${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\กลาง R\rangle }$${\displaystyle G^{*}}$${\displaystyle H^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H^{*}}$

ในไม่ช้าก็เห็นได้ชัดว่า การนำเสนอสำหรับกลุ่มนั้นไม่มีข้อมูลเพียงพอที่จะตัดสินใจได้ เพราะถึงแม้จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมอยู่ แต่โฮโมมอร์ฟิซึมนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นการฝังตัว สิ่งที่จำเป็นคือข้อกำหนดที่"บังคับ" ให้โฮโมมอร์ฟิซึมใดๆ ที่รักษาข้อกำหนดนั้นไว้เป็นการฝังตัว การนำเสนอแบบสัมบูรณ์ทำเช่นนั้นได้อย่างแม่นยำ ${\displaystyle h:G\rightarrow H^{*}}$${\displaystyle G^{*}}$

• การนำเสนอของกลุ่ม