สัญกรณ์ดัชนีนามธรรม (เรียกอีกอย่างว่า สัญกรณ์ดัชนีการตั้งชื่อช่อง) ^{[ 1 ]}เป็นสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเทนเซอร์และสปินเนอร์ที่ใช้ดัชนีเพื่อระบุประเภทของพวกมัน แทนที่จะเป็นส่วนประกอบในฐานเฉพาะ^{[ 2 ]}ดัชนีเป็นเพียงตัวยึดตำแหน่ง ไม่เกี่ยวข้องกับฐานใดๆ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่ใช่ตัวเลข ดังนั้นจึงไม่ควรสับสนกับแคลคูลัสริชชี สัญกรณ์นี้ได้รับการแนะนำโดยโรเจอร์ เพนโรสเพื่อใช้ลักษณะที่เป็นทางการของแบบแผนผลรวมของไอน์สไตน์เพื่อชดเชยความยากลำบากในการอธิบายการหดตัวและการหาอนุพันธ์ร่วมแปรในสัญกรณ์เทนเซอร์นามธรรมสมัยใหม่ ในขณะที่ยังคงรักษาความแปรแปร ที่ชัดเจน ของนิพจน์ที่เกี่ยวข้อง^{[ 3 ]}

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์และเป็นปริภูมิคู่ของมันพิจารณาตัวอย่างเช่นเทนเซอร์โคแวเรียนต์ อันดับ 2 แล้วสามารถระบุได้ด้วยฟอร์มทวิเชิงเส้นบนกล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์สองตัวในซึ่ง สามารถแสดงได้เป็นคู่ของสล็อต : ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle h=h(-,-).}$

สัญกรณ์ดัชนีแบบนามธรรมเป็นเพียงการติดป้ายกำกับช่องด้วยตัวอักษรละติน ซึ่งไม่มีความหมายอื่นใดนอกจากใช้เป็นป้ายกำกับช่อง (กล่าวคือ ไม่ใช่ตัวเลข):

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

การหดตัว (หรือร่องรอย) ของเทนเซอร์สองตัวแสดงด้วยการทำซ้ำของป้ายกำกับดัชนี โดยป้ายกำกับหนึ่งเป็นแบบคอนทราแวเรียนต์ ( ดัชนีบนที่สอดคล้องกับตัวประกอบ) และป้ายกำกับหนึ่งเป็นแบบโคแวเรียนต์ ( ดัชนีล่างที่สอดคล้องกับตัวประกอบ) ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle t_{ab}{}^{b}}$

คือร่องรอยของเทนเซอร์ในช่วงสองช่องสุดท้าย วิธีการแสดงการหดตัวของเทนเซอร์โดยใช้ดัชนีซ้ำๆ นี้มีความคล้ายคลึงกับหลักการบวกแบบไอน์สไตน์ในเชิง รูปแบบ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากดัชนีไม่ใช่ตัวเลข จึงไม่ได้หมายความถึงการบวก แต่สอดคล้องกับการดำเนินการร่องรอยที่ไม่ขึ้นกับฐานเชิงนามธรรม (หรือการจับคู่ตามธรรมชาติ ) ระหว่างตัวประกอบเทนเซอร์ประเภทและตัวประกอบ เทนเซอร์ ประเภท ${\displaystyle t=t_{ab}{}^{c}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

เทนเซอร์เอกพันธุ์ทั่วไปคือองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของสำเนาของและเช่น ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

กำหนดตัวอักษรละตินกำกับแต่ละตัวประกอบในผลคูณเทนเซอร์นี้ โดยเขียนตัวอักษรละตินในตำแหน่งยกสูงสำหรับตัวประกอบคอนทราแวเรียนต์ และเขียนตัวอักษรละตินในตำแหน่งลดต่ำสำหรับตัวประกอบโคแวเรียนต์ ในลักษณะนี้ ให้เขียนผลคูณได้ดังนี้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

หรือเพียงแค่

${\displaystyle V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.}$

สองนิพจน์สุดท้ายหมายถึงวัตถุเดียวกันกับนิพจน์แรก เทนเซอร์ประเภทนี้จะใช้สัญลักษณ์ที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle h^{a}{__{bc}{}^{d}{__{e}\in V^{a}{__{bc}{}^{d}{__{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

โดยทั่วไป เมื่อใดก็ตามที่มีปัจจัยผกผันหนึ่งตัวและปัจจัยร่วมแปรหนึ่งตัวปรากฏในผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิ จะมี แผนที่ การหดตัว (หรือร่องรอย ) ที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

คือค่าร่องรอยบนปริภูมิสองปริภูมิแรกของผลคูณเทนเซอร์คือค่าร่องรอยบนปริภูมิแรกและปริภูมิสุดท้าย $${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$$

การดำเนินการติดตามเหล่านี้จะแสดงบนเทนเซอร์โดยการทำซ้ำดัชนี ดังนั้นแผนที่ติดตามแรกจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:h{}^{a}{}_{b}{__{c}{}^{d}{__{e}\mapsto h{}^{a}{}_{a}{}_{c}{}^{d}{__{e}}$

และลำดับที่สองโดย

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:h{}^{a}{}_{b}{__{c}{}^{d}{__{e}\mapsto h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{__{a}.}$

สำหรับผลคูณเทนเซอร์ใดๆ บนปริภูมิเวกเตอร์เดียว จะมีแผนที่การถักเปีย ที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น แผนที่การถักเปีย

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

สลับตัวประกอบเทนเซอร์ทั้งสอง (ดังนั้นการกระทำต่อเทนเซอร์แบบง่ายจึงกำหนดโดย) โดยทั่วไป แผนที่การถักเปียจะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับองค์ประกอบของกลุ่มสมมาตรโดยกระทำการสลับตัวประกอบเทนเซอร์ ในที่นี้แสดงถึงแผนที่การถักเปียที่เกี่ยวข้องกับการเรียงสับเปลี่ยน(แสดงเป็นผลคูณของการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร ที่ไม่ซ้ำกัน ) ${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$${\displaystyle \tau _{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$

แผนที่การถักเปียมีความสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ตัวอย่างเช่น เพื่อแสดงเอกลักษณ์ของเบียนชีในที่นี้ ให้แทนเทนเซอร์รีมันน์ซึ่งถือว่าเป็นเทนเซอร์ในเอกลักษณ์ของเบียนชีข้อแรกจึงกล่าวว่า ${\displaystyle R}$${\displaystyle V^{*}\oคูณ V^{*}\oคูณ V^{*}\oคูณ V}$

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

สัญกรณ์ดัชนีนามธรรมจัดการกับการถักเปียดังนี้ สำหรับผลคูณเทนเซอร์เฉพาะเจาะจง ลำดับของดัชนีนามธรรมจะถูกกำหนดไว้ (โดยปกติจะเป็นลำดับแบบพจนานุกรม ) จากนั้นการถักเปียจะถูกแทนด้วยสัญกรณ์โดยการสลับป้ายกำกับของดัชนี ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเทนเซอร์รีมันน์

${\displaystyle R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\oคูณ V^{*}\oคูณ V^{*}\oคูณ V,}$

เอกลักษณ์ของเบียนคีกลายเป็น

${\displaystyle R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.}$

เทนเซอร์ทั่วไปอาจถูกทำให้เป็นแบบสมมาตรผกผันหรือสมมาตร และมีสัญลักษณ์ที่ใช้สัมพันธ์กัน

เราจะสาธิตสัญลักษณ์โดยใช้ตัวอย่าง ลองทำการแปลงเทนเซอร์ประเภท (0,3) ให้เป็นแอนติสมมาตรโดยที่เป็นกลุ่มสมมาตรบนองค์ประกอบสามตัว ${\displaystyle \omega _{abc}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

ในทำนองเดียวกัน เราอาจทำให้สมมาตรได้:

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

• สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส
• สัญกรณ์ของไอน์สไตน์
• สัญกรณ์ดัชนี
• เทนเซอร์
• เทนเซอร์แบบแอนติสมมาตร
• การปรับขึ้นและปรับลงดัชนี
• ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์