ในทางคณิตศาสตร์ วิธี เร่งการลู่เข้าของอนุกรมคือการแปลงลำดับ อย่างใดอย่างหนึ่งในหลายๆ วิธี เพื่อปรับปรุงอัตราการลู่เข้าของอนุกรมเทคนิคการเร่งการลู่เข้าของอนุกรมมักถูกนำไปใช้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขโดยใช้เพื่อปรับปรุงความเร็วของการอินทิเกรตเชิงตัวเลขเทคนิคการเร่งการลู่เข้าของอนุกรมอาจถูกนำมาใช้ เช่น เพื่อหาเอกลักษณ์ต่างๆ ของฟังก์ชันพิเศษ ตัวอย่าง เช่นการแปลงออยเลอร์ที่ใช้กับอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกจะให้เอกลักษณ์อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบคลาสสิกที่รู้จักกันดีบางส่วน

กำหนดให้มีอนุกรม อนันต์ที่ มีลำดับของผลรวมย่อย

${\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

มีขีดจำกัด

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S,}$

อนุกรมเร่ง คือ อนุกรมอนันต์ที่มีลำดับที่สองของผลรวมย่อย

${\displaystyle (S'_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

ซึ่ง ลู่เข้า สู่ค่าอสิมโทติกได้เร็วกว่า${\displaystyle S}$ซึ่งแตกต่างจากลำดับผลรวมย่อยดั้งเดิม:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {S'_{n}-S}{S_{n}-S}}=0.}$

วิธีการเร่งอนุกรมคือการแปลงลำดับที่แปลงลำดับลู่เข้าของผลรวมย่อยของอนุกรมหนึ่งไปเป็นลำดับลู่เข้าที่เร็วขึ้นของผลรวมย่อยของอนุกรมที่เร่งแล้วซึ่งมีลิมิตเดียวกัน หากใช้วิธีการเร่งอนุกรมกับอนุกรมลู่ออก ลิมิตที่แท้จริงของอนุกรมจะไม่สามารถหาได้ แต่การแปลงลำดับยังคงสามารถใช้เป็น วิธีการประมาณค่าไปยังแอนติลิมิตของอนุกรมได้อย่างมีประโยชน์

การแปลงจากอนุกรมดั้งเดิมไปสู่อนุกรมที่แปลงแล้วอาจเป็นการแปลงลำดับเชิงเส้นหรือการแปลงลำดับที่ไม่เป็นเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้ว การแปลงลำดับที่ไม่เป็นเชิงเส้นมักจะมีประสิทธิภาพมากกว่า

เทคนิคคลาสสิกสองวิธีสำหรับการเร่งความเร็วอนุกรมคือการแปลงอนุกรมของออยเลอร์^{[ 1 ]}และการแปลงอนุกรมของคุมเมอร์ [ ^{2 ] ได้}มีการพัฒนาเครื่องมือที่ลู่เข้าอย่างรวดเร็วและกรณีพิเศษต่างๆ มากมายในศตวรรษที่ 20 รวมถึงการประมาณค่าแบบริชาร์ดสันซึ่งแนะนำโดยลูอิส ฟราย ริชาร์ดสันในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แต่เป็นที่รู้จักและใช้โดยคาตาฮิโร ทาเคเบะในปี 1722; กระบวนการเดลต้ากำลังสองของไอท์เคนซึ่งแนะนำโดยอเล็กซานเดอร์ ไอท์เคนในปี 1926 แต่เป็นที่รู้จักและใช้โดยทาคาคาซึ เซกิในศตวรรษที่ 18; วิธีเอปซิลอน ที่ปี เตอร์ วินน์เสนอในปี 1956; การแปลงยูของเลวิน; และวิธีวิลฟ์-ไซล์เบอร์เกอร์-เอคฮัด หรือวิธี WZ

สำหรับอนุกรมสลับมีเทคนิคที่มีประสิทธิภาพหลายอย่าง ซึ่งให้ค่าอัตราการล convergence ตั้งแต่${\displaystyle 5.828^{-n}}$ตลอดทางจนถึง${\displaystyle 17.93^{-n}}$สำหรับผลรวมของ${\displaystyle n}$เงื่อนไขต่างๆ ได้รับการอธิบายโดย Cohen et al . ^{[ 3 ]}

ตัวอย่างพื้นฐานของการแปลงลำดับเชิงเส้นที่ให้การลู่เข้าที่ดีขึ้นคือการแปลงของออยเลอร์ การแปลงนี้มีจุดประสงค์เพื่อใช้กับอนุกรมสลับเครื่องหมาย โดยมีสูตรดังนี้

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \Delta }$คือตัวดำเนินการผลต่างไปข้างหน้าซึ่งมีสูตรดังนี้

${\displaystyle (\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{nk}.}$

หากอนุกรมดั้งเดิมทางด้านซ้ายมือลู่เข้าอย่างช้าๆ ผลต่างไปข้างหน้าจะ cenderung มีค่าน้อยลงอย่างรวดเร็ว และกำลังสองที่เพิ่มเข้ามาจะช่วยเพิ่มอัตราการลู่เข้าของด้านขวามือให้ดียิ่งขึ้นไปอีก

การนำการแปลงออยเลอร์ไปใช้เชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษคือ การ แปลงแวนวิงการ์เดน^{[ 4 ]}

ชุดหนึ่ง

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

สามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle f(1)}$โดยที่ฟังก์ชันfถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

ฟังก์ชัน${\displaystyle f(z)}$อาจมีจุดเอกฐานในระนาบเชิงซ้อน ( จุด เอกฐานแบบจุด แตก แขนง จุดขั้วหรือจุดเอกฐานสำคัญ ) ซึ่งจำกัดรัศมีของการลู่เข้าของอนุกรม หากจุดนั้น${\displaystyle z=1}$อยู่ใกล้หรืออยู่บนขอบของดิสก์ของการบรรจบกัน อนุกรมสำหรับ${\displaystyle S}$การลู่เข้าจะช้ามาก จากนั้นเราสามารถปรับปรุงการลู่เข้าของอนุกรมได้โดยใช้การแปลงแบบคอนฟอร์มอลที่เคลื่อนย้ายจุดเอกฐานเพื่อให้จุดที่ถูกแปลงไปนั้น${\displaystyle z=1}$สุดท้ายแล้วจะเข้าไปลึกกว่าเดิมในจานบรรจบใหม่

การแปลงคอนฟอร์มอล${\displaystyle z=\Phi (w)}$จำเป็นต้องเลือกให้เหมาะสมดังนี้${\displaystyle \Phi (0)=0}$และโดยปกติแล้วเราจะเลือกฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ จำกัด ที่w = 0 เราสามารถสมมติได้ว่า${\displaystyle \Phi (1)=1}$โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เพราะเราสามารถปรับขนาดwเพื่อกำหนดนิยามใหม่ ได้เสมอ${\displaystyle \Phi }$จากนั้นเราจะพิจารณาฟังก์ชัน

${\displaystyle g(w)=f(\Phi (w)).}$

เนื่องจาก${\displaystyle \Phi (1)=1}$เรามี${\displaystyle f(1)=g(1)}$เราสามารถหาการกระจายอนุกรมของ${\displaystyle g(w)}$โดยการวาง${\displaystyle z=\Phi (w)}$ในการขยายชุด${\displaystyle f(z)}$เพราะ${\displaystyle \Phi (0)=0}$แรก${\displaystyle n}$เงื่อนไขของการขยายอนุกรมสำหรับ${\displaystyle f(z)}$จะให้ผลลัพธ์แรก${\displaystyle n}$เงื่อนไขของการขยายอนุกรมสำหรับ${\displaystyle g(w)}$ถ้า${\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}$การพัตต์${\displaystyle w=1}$การขยายอนุกรมดังกล่าวจะให้ผลลัพธ์เป็นอนุกรมที่หากลู่เข้า ก็จะลู่เข้าสู่ค่าเดียวกับอนุกรมเดิม

ตัวอย่างของการแปลงลำดับแบบไม่เชิงเส้นดังกล่าว ได้แก่ตัวประมาณค่าพาเด (Padé approximants) การแปลงแชงค์ (Shanks transformation ) และการแปลงลำดับแบบเลวิน (Levin-type sequence transformations )

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงลำดับที่ไม่เป็นเชิงเส้น มักให้วิธีการเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพสำหรับการหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมเชิงเส้นกำกับซึ่งเกิดขึ้นตัวอย่างเช่นในทฤษฎีการรบกวนและดังนั้นจึงอาจใช้เป็นวิธีการประมาณค่าภายนอกที่ มีประสิทธิภาพได้

• การแปลงแชงค์
• การประมาณค่าพหุนามขั้นต่ำ
• การเปลี่ยนแปลงของฟาน ไวจ์นการ์เดน

• การเร่งความเร็วการลู่เข้าของอนุกรม
• ไลบรารีวิทยาศาสตร์ GNU, การเร่งความเร็วแบบอนุกรม
• ห้องสมุดดิจิทัลของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์