ในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงเลขคณิตจุดอะเดลิกของกลุ่มพีชคณิต${\displaystyle G}$ในสนามระดับโลก${\displaystyle K}$ก่อตัวเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$, ที่ไหน${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$แหวนอะเดลเป็นของอะไร${\displaystyle K}$สำหรับกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$อาจกล่าวได้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ที่ถูกจำกัดของกลุ่มท้องถิ่น${\displaystyle G(K_{v})}$เหนือทุกสถานที่${\displaystyle v}$ของ${\displaystyle K}$โดยคำนึงถึงกลุ่มย่อยแบบเปิดขนาดกะทัดรัด${\displaystyle G({\คณิตศาสตร์ {O}__{v})}$เกือบทุกตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน

กลุ่มอะเดลิกเป็นสภาพแวดล้อมที่เหมาะสมสำหรับรูปแบบออโตมอร์ฟิกและการแสดงแทนออโตมอร์ฟิก ผลหารพื้นฐานของกลุ่มเหล่านี้ เช่น${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$เข้ารหัสข้อมูลทางคณิตศาสตร์จากผลลัพธ์ทั้งหมดของการคำนวณ${\displaystyle K}$ทันที ตัวอย่างที่สำคัญได้แก่กลุ่มอุดมคติ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\mathbb {G} _{m}(\mathbb {A} _{K})}$กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของอะเดลิก${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {A} _{K})}$รวมถึงทอรัสอะเดลิกและจุดอะเดลิกของกลุ่มลดรูปมาตรวัดทามากาวะและจำนวนทามากาวะถูกกำหนดโดยใช้มาตรวัดฮาร์บนกลุ่มดังกล่าว

ในอดีตidèles ( / ɪ ˈ d ɛ l z / ) ถูกนำเสนอโดยChevalley ( 1936 )ภายใต้ชื่อ "élément idéal" ซึ่งแปลว่า "องค์ประกอบในอุดมคติ" ในภาษาฝรั่งเศส ต่อมาChevalley (1940)ได้ย่อเป็น "idèle" ตามคำแนะนำของHasse (ในเอกสารเหล่านี้ เขายังได้กำหนดโทโพโลยีที่ไม่ใช่แบบ Hausdorff ให้กับ idèles ด้วย ) นี่เป็นการกำหนดทฤษฎีฟิลด์คลาสสำหรับส่วนขยายอนันต์ในแง่ของกลุ่มโทโพโลยีWeil (1938)ได้นิยาม (แต่ไม่ได้ตั้งชื่อ) วงแหวนของ adeles ในกรณีฟิลด์ฟังก์ชัน และชี้ให้เห็นว่ากลุ่มIdealelemente ของ Chevalley คือกลุ่มขององค์ประกอบที่ผกผันได้ของวงแหวนนี้Tate (1950)ได้นิยามวงแหวนของ adeles ว่าเป็นผลคูณโดยตรงแบบจำกัด แม้ว่าเขาจะเรียกองค์ประกอบของมันว่า "เวกเตอร์การประเมินค่า" แทนที่จะเป็น adeles 

เชอวาลเลย์ (1951)ได้นิยามวงแหวนของอะเดลในกรณีของฟิลด์ฟังก์ชัน ภายใต้ชื่อ "การแบ่งส่วนใหม่" คำว่าอะเดล ในปัจจุบัน หมายถึง 'อิเดลแบบบวก' และอาจเป็นชื่อผู้หญิงชาวฝรั่งเศสได้ด้วย คำว่าอะเดลถูกนำมาใช้ในเวลาต่อมาไม่นาน( จาฟฟาร์ด 1953 )และอาจได้รับการแนะนำโดยอังเดร เวลการสร้างกลุ่มพีชคณิตอะเดลโดยทั่วไปโดยโอโน (1957)เป็นไปตามทฤษฎีกลุ่มพีชคณิตที่ก่อตั้งโดยอาร์มันด์ โบเรลและฮาริช-จันทรา

อนุญาต${\displaystyle K}$เป็นสาขาระดับโลกและปล่อยให้${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$เป็นแหวนอะเดล ของมัน ถ้า${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มพีชคณิตเหนือ${\displaystyle K}$สัญลักษณ์ ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$หมายถึงกลุ่มของจุดอะเดลิกของ${\displaystyle G}$อย่างไม่เป็นทางการ คือองค์ประกอบหนึ่งของ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$เป็นชุดจุดท้องถิ่นที่เข้ากันได้ของ${\displaystyle G}$หนึ่งเหนือการเสร็จสิ้นแต่ละครั้ง${\displaystyle K_{v}}$ของ${\displaystyle K}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

สำหรับกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นกลุ่มอะเดลิกสามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลคูณแบบจำกัด$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})=\prod _{v}'G(K_{v}),}$$ ที่ไหน${\displaystyle v}$วิ่งผ่านสถานที่ต่างๆ${\displaystyle K}$เกือบทุกสถานที่ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน${\displaystyle v}$โดยที่ผลิตภัณฑ์ที่ถูกจำกัดนั้นจะถูกพิจารณาโดยสัมพันธ์กับกลุ่มย่อยแบบเปิดขนาดกะทัดรัด${\displaystyle G({\คณิตศาสตร์ {O}__{v})}$, ที่ไหน${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{v}}$คือวงแหวนประเมินมูลค่าของ${\displaystyle K_{v}}$หลังจากเลือกแบบจำลองแบบบูรณาการของ${\displaystyle G}$นอกเซตจำกัดของสถานที่^{[ 2 ]}ดังนั้นองค์ประกอบของ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$เป็นทูเปิล $${\displaystyle (g_{v})_{v}\in \prod _{v}G(K_{v})}$$ โดยที่${\displaystyle g_{v}\in G({\mathcal {O}__{v})}$สำหรับสถานที่ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนเกือบทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด${\displaystyle v}$.

โครงสร้างผลิตภัณฑ์ที่ถูกจำกัดทำให้${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$กลุ่มโทโพโลยีแบบกระชับเฉพาะที่ในกรณีพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}}$, แล้ว $${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {A} _{K})=\prod _{v}'\operatorname {GL} _{n}(K_{v}),}$$ โดยคำนึงถึงกลุ่มย่อยแบบเปิดขนาดกะทัดรัด${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}({\mathcal {O}__{v})}$เกือบทุกตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน

ประเด็นเชิงเหตุผล${\displaystyle G(K)}$ฝังในแนวทแยงมุม${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$สำหรับกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น ภาพแนวทแยงนี้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องภายใต้โทโพโลยีอะเดลิก^{[ 1 ] [ 2 ]}ผลหารที่ได้ $${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$$ เป็นหนึ่งในพื้นที่พื้นฐานที่ใช้ในการกำหนดรูปแบบอัตโนมัติและการแสดงแทนอัตโนมัติ^{[ 3 ]}

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือกลุ่มการบวกและกลุ่มการคูณ สำหรับกลุ่มการบวก${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$, $${\displaystyle \mathbb {G} _{a}(\mathbb {A} _{K})=\mathbb {A} _{K}.}$$ สำหรับกลุ่มการคูณ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$, $${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(\mathbb {A} _{K})=\mathbb {A} _{K}^{\times },}$$ กลุ่มอุดมคติของ${\displaystyle K}$โทโพโลยีบน${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$คือโครงสร้างผลิตภัณฑ์ที่ถูกจำกัดโดยสัมพันธ์กับ${\displaystyle {\mathcal {O}__{v}^{\times }}$แทบทุกตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นโทโพโลยีที่เกิดจากการฝังตัว $${\displaystyle x\longmapsto (x,x^{-1})}$$ ของ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$เข้าไปข้างใน${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$โดยทั่วไปแล้วมันจะละเอียดกว่าโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจาก${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$[ ^{1 ]​}

อนุญาต${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นที่เชื่อมต่อกันเหนือฟิลด์ทั่วโลก${\displaystyle K}$และปล่อยให้${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$เป็นแหวนอะเดลของ${\displaystyle K}$การวัดแบบทามากาวะ (Tamagawa measure) คือการวัดแบบฮาร์ (Haar measure) ที่ได้รับการปรับให้เป็นมาตรฐานตามหลักการ บนกลุ่มอะเดลิก (adelic group)${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$สร้างขึ้นจากรูปแบบเชิงอนุพันธ์พีชคณิตบน${\displaystyle G}$[ ^{1 ] [ 4 ]​}

สมมติก่อนว่า${\displaystyle G}$มีมิติที่เรียบเนียน${\displaystyle d}$และปล่อยให้${\displaystyle \omega }$เป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์ตรรกยะแบบซ้ายคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ที่มีดีกรีสูงสุดบน${\displaystyle G}$กำหนดไว้เหนือ${\displaystyle K}$ในที่นี้ "มีเหตุผล" หมายความว่า${\displaystyle \omega }$เป็นส่วนตรรกยะของชีฟแคนอนิก${\displaystyle \Omega _{G/K}^{d}}$หรือเทียบเท่ากับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ระดับสูงสุดที่กำหนด ณ จุดทั่วไปของ${\displaystyle G}$โดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ฟังก์ชัน${\displaystyle K(G)}$สำหรับแต่ละสถานที่${\displaystyle v}$ของ${\displaystyle K}$รูปแบบ${\displaystyle \omega }$กำหนดมาตรวัด Haar เฉพาะที่${\displaystyle |\omega |_{v}}$ในกลุ่มขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น${\displaystyle G(K_{v})}$ด้วยการปรับค่าการบรรจบกันตามปกติในเกือบทุกที่ มาตรการเฉพาะที่เหล่านี้จะกำหนดมาตรการบนผลคูณที่จำกัด${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$[ ^{1 ]​}

โครงสร้างนี้ไม่ขึ้นอยู่กับการคูณ${\displaystyle \omega }$โดยองค์ประกอบหนึ่งของ${\displaystyle K^{\times }}$อันที่จริง ถ้าหาก${\displaystyle \omega }$ถูกแทนที่ด้วย${\displaystyle a\omega }$, กับ${\displaystyle a\in K^{\times }}$จากนั้นจึงวัดค่าในพื้นที่${\displaystyle v}$ถูกคูณด้วย${\displaystyle |a|_{v}}$สูตรผลิตภัณฑ์สำหรับการประเมินมูลค่า $${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1,}$$ หมายความว่าการวัดแบบ adelic ที่ได้จะไม่เปลี่ยนแปลง ข้อสังเกตนี้เป็นหนึ่งในแรงจูงใจพื้นฐานในการกำหนดการวัดแบบ Tamagawa adelically ^{[ 1 ]}

เมื่อผลหารมีขนาดจำกัด จำนวนทามากาวะของ${\displaystyle G}$ถูกกำหนดให้เป็น $${\displaystyle \tau (G)=\operatorname {vol} {\bigl (}G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K}){\bigr )},}$$ โดยปริมาตรจะวัดเทียบกับมาตรวัดทามากาวะ ผู้เขียนบางคนใช้สัญลักษณ์ผลหารแบบตรงกันข้าม${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})/G(K)}$; สัญลักษณ์ทั้งสองแบบหมายถึงปริภูมิผลหารเดียวกันหลังจากเลือกใช้แบบแผนซ้ายหรือขวา แต่${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$เป็นมาตรฐานในทฤษฎีของรูปแบบอัตโนมัติ^{[ 1 ] [ 3 ]}

สำหรับกลุ่มลดรูปจำนวนมาก จำนวนทามากาวะจะเข้ารหัสข้อมูลทางเลขคณิต ในกรณีของทอรัส จำนวนเหล่านี้เกี่ยวข้องกับกลุ่มชั้นและโคฮอโมโลยีของกาโลอิสในขณะที่สำหรับกลุ่มกึ่งง่าย จำนวนเหล่านี้เชื่อมโยงกับเลขคณิตของรูปแบบกำลังสองและปริมาตรของผลหารเลขคณิต^{[ 5 ] [ 1 ]}ไวล์ตั้งข้อสันนิษฐานว่าถ้า${\displaystyle G}$ถ้าเป็นกลุ่มพีชคณิตกึ่งง่ายที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายเหนือฟิลด์จำนวนแล้ว $${\displaystyle \tau (G)=1.}$$ ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในฟิลด์จำนวนโดยงานที่จบลงด้วยการพิสูจน์ของRobert Kottwitz ซึ่งสร้างขึ้นจากงานก่อนหน้าของ Robert Langlands ^{[ 6 ]}