ในทางคณิตศาสตร์แมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อนคือแมนิโฟลด์เรียบที่มีโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้น เรียบ อยู่บนปริภูมิสัมผัส แต่ละ ปริภูมิ แมนิโฟลด์เชิงซ้อนทุกอันเป็นแมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อน แต่ก็มีแมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อนบางอันที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เชิงซ้อน โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนมีประโยชน์อย่างมากในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก

แนวคิดนี้มาจากCharles EhresmannและHeinz Hopfในช่วงทศวรรษ 1940 ^{[ 1 ]}

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์เรียบโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนJบนMคือโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้น (นั่นคือแผนที่เชิงเส้นที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1) บนปริภูมิสัมผัสแต่ละแห่งของแมนิโฟลด์ ซึ่งแปรผันอย่างราบรื่นบนแมนิโฟลด์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรามีฟิลด์เทนเซอร์เรียบJที่มีดีกรี(1, 1)เช่นนั้น${\displaystyle J^{2}=-1}$เมื่อพิจารณาว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของเวกเตอร์บันเดิล${\displaystyle J\colon TM\to TM}$บนมัดสัมผัสแมนิโฟลด์ที่มีโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนเรียกว่า แมนิโฟล ด์เกือบเชิงซ้อน

ถ้าMยอมรับโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน มันจะต้องเป็นมิติคู่ สามารถพิจารณาได้ดังนี้ สมมติว่าMเป็น มิติ nและให้J  : TM → TMเป็นโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน ถ้าJ² = −1แล้ว(det J ) ^² = (−1) ⁿแต่ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์จริงแล้วdet Jจะเป็นจำนวนจริง ดังนั้นnต้องเป็นจำนวนคู่ถ้าMมีโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน เราสามารถแสดงได้ว่ามันต้องเป็น^ออร์ติคอนเบิลด้วย

แบบฝึกหัดง่ายๆ ในพีชคณิตเชิงเส้นแสดงให้เห็นว่าปริภูมิเวกเตอร์มิติคู่ใดๆ ก็ตามยอมรับโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้นได้ ดังนั้น แมนิโฟลด์มิติคู่จึงยอมรับเทนเซอร์อันดับ(1, 1) ในแต่ละจุด (ซึ่งก็คือการแปลงเชิงเส้นบนปริภูมิสัมผัสแต่ละอัน) เสมอ โดยที่J ² = −1ที่แต่ละจุดpเฉพาะเมื่อเทนเซอร์เฉพาะที่สามารถนำมาต่อกันเพื่อกำหนดได้ในระดับสากลเท่านั้น โครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้นในแต่ละจุดจึงจะให้โครงสร้างเกือบเชิงซ้อน ซึ่งจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน ความเป็นไปได้ของการต่อกันนี้ และดังนั้นการมีอยู่ของโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนบนแมนิโฟลด์Mเทียบเท่ากับการลดกลุ่มโครงสร้างของมัดสัมผัสจากGL(2 n , R )ไปเป็นGL( n , C )ดังนั้นคำถามเรื่องการมีอยู่จึงเป็น คำถาม เชิงพีชคณิต และเชิงโทโพโลยีล้วนๆ และเป็นที่เข้าใจกันค่อนข้างดี

สำหรับจำนวนเต็ม n ทุกตัว ปริภูมิราบR ^{2 n}ยอมรับโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน ตัวอย่างของโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนดังกล่าวคือ (1 ≤ j , k ≤ 2 n ):${\displaystyle J_{jk}=-i\เดลต้า _{j,k-1}}$สำหรับj ที่เป็นเลข คี่${\displaystyle J_{jk}=i\เดลต้า _{j,k+1}}$สำหรับjคู่

ทรงกลมเพียง ทรงกลมเดียวที่ยอมรับโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนคือS ²และS ⁶ ( Borel & Serre (1953) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งS ⁴ไม่สามารถให้โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนได้ (Ehresmann และ Hopf) ในกรณีของS ²โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนมาจากโครงสร้างเชิงซ้อนที่แท้จริงบนทรงกลมรีมันน์ทรงกลม 6 มิติS ⁶เมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตของ อ็ อกโทเนียน จินตนาการบรรทัดฐานหน่วย จะได้รับโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนจากการคูณอ็อกโทเนียน คำถามที่ว่ามันมีโครงสร้างเชิงซ้อน หรือไม่ นั้นเรียกว่าปัญหาฮอปฟ์ตามชื่อของไฮนซ์ ฮอปฟ์^{[ 2 ]}

เช่นเดียวกับโครงสร้างเชิงซ้อนบนปริภูมิเวกเตอร์Vที่อนุญาตให้แยกV ^Cออกเป็นV ⁺และV ⁻ ( ปริภูมิไอเกนของJที่สอดคล้องกับ + iและ − iตามลำดับ) โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนบนMก็อนุญาตให้แยกบันเดิลสัมผัสเชิงซ้อนTM ^C (ซึ่งเป็นบันเดิลเวกเตอร์ของปริภูมิสัมผัสเชิงซ้อน ณ แต่ละจุด) ออกเป็นTM ⁺และTM ⁻ส่วนของTM ⁺เรียกว่าฟิลด์เวกเตอร์ชนิด (1, 0) ในขณะที่ส่วนของTM ⁻คือฟิลด์เวกเตอร์ชนิด (0, 1) ดังนั้นJจึงสอดคล้องกับการคูณด้วยiบนฟิลด์เวกเตอร์ (1,  0) ของบันเดิลสัมผัสเชิงซ้อน และการคูณด้วย − iบนฟิลด์เวกเตอร์ (0,  1)

เช่นเดียวกับที่เราสร้างรูปแบบเชิงอนุพันธ์จากกำลังภายนอกของบันเดิลโคแทนเจนต์เราก็สามารถสร้างกำลังภายนอกของบันเดิลโคแทนเจนต์เชิงซ้อนได้ (ซึ่งสมมาตรเชิงแคนอนิกกับบันเดิลของปริภูมิคู่ของบันเดิลแทนเจนต์เชิงซ้อน) โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนเหนี่ยวนำให้เกิดการแยกส่วนของปริภูมิแต่ละแห่งของรูปแบบr

${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง Ω ^r ( M ) ^C แต่ละอัน สามารถแยกออกเป็นผลรวมของ Ω ^{( p , q )}  ( M ) โดยที่r  = p + q   

เช่นเดียวกับผลรวมโดยตรง ใดๆ ก็ตาม มีการฉายภาพเชิงแคนอนิก π จาก Ω ^r ( M ) ^Cไปยัง Ω ^{( p , q )}นอกจากนี้เรายังมีอนุพันธ์ภายนอกdซึ่งแมป Ω ^r ( M ) ^Cไปยัง Ω ^{r +1} ( M ) ^Cดังนั้นเราจึงสามารถใช้โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนเพื่อปรับปรุงการกระทำของอนุพันธ์ภายนอกให้เป็นรูปแบบประเภทที่แน่นอนได้

${\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

ดังนั้น${\displaystyle \partial }$เป็นแผนที่ที่เพิ่มส่วนโฮโลมอร์ฟิกของประเภทขึ้นหนึ่ง (แปลงรูปแบบของประเภท ( p , q ) ไปเป็นรูปแบบของประเภท ( p +1, q )) และ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$เป็นแผนที่ที่เพิ่มส่วนแอนติโฮโลมอร์ฟิกของชนิดขึ้นหนึ่ง ตัวดำเนินการเหล่านี้เรียกว่าตัวดำเนินการดอลโบต์ (Dolbeault operators )

เนื่องจากผลรวมของการฉายภาพทั้งหมดต้องเป็นแผนที่เอกลักษณ์เราจึงสังเกตได้ว่าอนุพันธ์ภายนอกสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$

แมนิโฟลด์เชิงซ้อนทุกอัน ล้วน เป็นแมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อนในตัวเอง ในพิกัดโฮโลมอร์ฟิกเฉพาะที่${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$สามารถกำหนดแผนที่ได้

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(เหมือนกับการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม π/2) หรือ

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าแผนที่นี้กำหนดโครงสร้างที่เกือบจะซับซ้อน ดังนั้นโครงสร้างที่ซับซ้อนใดๆ บนแมนิโฟลด์จะก่อให้เกิดโครงสร้างที่เกือบจะซับซ้อน ซึ่งกล่าวได้ว่าถูก "เหนี่ยวนำ" โดยโครงสร้างที่ซับซ้อน และโครงสร้างที่ซับซ้อนนั้นกล่าวได้ว่า "เข้ากันได้กับ" โครงสร้างที่เกือบจะซับซ้อน

คำถามตรงกันข้ามที่ว่า โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนบ่งบอกถึงการมีอยู่ของโครงสร้างเชิงซ้อนหรือไม่นั้น ซับซ้อนกว่ามาก และโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นความจริง บนแมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อนใดๆ เราสามารถหาพิกัดที่ทำให้โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนมีรูปแบบมาตรฐานดังกล่าว ณ จุดp ใดๆ ได้เสมอ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะหาพิกัดที่ทำให้Jมีรูปแบบมาตรฐานบนบริเวณใกล้เคียง ทั้งหมด ของpพิกัดดังกล่าว หากมีอยู่ จะเรียกว่า 'พิกัดโฮโลมอร์ฟิกเฉพาะที่สำหรับ J' ถ้าMยอมรับพิกัดโฮโลมอร์ฟิกเฉพาะที่สำหรับJรอบทุกจุด พิกัดเหล่านี้จะรวมกันเพื่อสร้างแอตลาสโฮโลมอ ร์ฟิก สำหรับMทำให้มันมีโครงสร้างเชิงซ้อน ซึ่งยิ่งไปกว่านั้นยังเหนี่ยวนำให้เกิดJ ด้วย Jจึงกล่าวได้ว่า ' สามารถหาปริพันธ์ได้ ' ถ้าJถูกเหนี่ยวนำโดยโครงสร้างเชิงซ้อน มันก็จะถูกเหนี่ยวนำโดยโครงสร้างเชิงซ้อนที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว

กำหนดให้แผนที่เชิงเส้นA ใดๆ บนปริภูมิสัมผัสแต่ละปริภูมิของMกล่าวคือAเป็นฟิลด์เทนเซอร์อันดับ (1,  1) แล้วเทนเซอร์ Nijenhuisคือฟิลด์เทนเซอร์อันดับ (1, 2) ที่กำหนดโดย

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

หรือในกรณีปกติของโครงสร้างที่ซับซ้อนเกือบสมบูรณ์A=Jเช่นนั้น${\displaystyle J^{2}=-Id}$,

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

นิพจน์แต่ละตัวทางด้านขวานั้นขึ้นอยู่กับการเลือกเวกเตอร์ฟิลด์เรียบXและYแต่ด้านซ้ายนั้นขึ้นอยู่กับค่าเฉพาะจุดของXและY เท่านั้น ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมN จึงเป็นเทนเซอร์ สิ่งนี้ยังชัดเจนจากสูตรส่วนประกอบด้วย

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

ในแง่ของวงเล็บ Frölicher–Nijenhuisซึ่งเป็นการขยายวงเล็บ Lie ของฟิลด์เวกเตอร์ เทนเซอร์ Nijenhuis N ก็คือครึ่งหนึ่งของ [ A , A ] 

ทฤษฎีบท นิวแลนเดอร์-นิเรนเบิร์กกล่าวว่า โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนJสามารถหาปริพันธ์ได้ก็ต่อเมื่อN   =  0 โครงสร้างเชิงซ้อนที่เข้ากันได้นั้นมีเพียงหนึ่งเดียว ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เนื่องจากความมีอยู่ของโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนที่สามารถหาปริพันธ์ได้นั้นเทียบเท่ากับความมีอยู่ของโครงสร้างเชิงซ้อน ดังนั้นบางครั้งจึงถือว่านี่เป็นนิยามของโครงสร้างเชิงซ้อน

มีเกณฑ์อื่นๆ อีกหลายประการที่เทียบเท่ากับการหายไปของเทนเซอร์ Nijenhuis และด้วยเหตุนี้จึงเป็นวิธีการตรวจสอบความสามารถในการหาปริพันธ์ของโครงสร้างที่เกือบจะเป็นเชิงซ้อน (และในความเป็นจริงแล้ว สามารถพบเกณฑ์เหล่านี้ได้ในเอกสารทางวิชาการ):

• วงเล็บ Lie ของ ฟิลด์เวกเตอร์ (1, 0) สองตัวใดๆ ก็เป็นประเภท (1,  0) เช่นกัน
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

เงื่อนไขใดๆ เหล่านี้บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของโครงสร้างเชิงซ้อนที่เข้ากันได้อย่างเป็นเอกลักษณ์

การมีอยู่ของโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนเป็นคำถามเชิงโทโพโลยีและค่อนข้างง่ายที่จะตอบ ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ในทางกลับกัน การมีอยู่ของโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนที่สามารถหาปริพันธ์ได้นั้นเป็นคำถามเชิงวิเคราะห์ที่ยากกว่ามาก ตัวอย่างเช่น ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าS ⁶ยอมรับโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนที่สามารถหาปริพันธ์ได้หรือไม่ แม้จะมีประวัติอันยาวนานของการกล่าวอ้างที่ท้ายที่สุดแล้วไม่ได้รับการพิสูจน์ก็ตาม ประเด็นเรื่องความเรียบมีความสำคัญ สำหรับJ เชิงวิเคราะห์จริง ทฤษฎีบท Newlander–Nirenberg เป็นผลมาจากทฤษฎีบท FrobeniusสำหรับJ เชิง C ^∞ (และเรียบน้อยกว่า) จำเป็นต้องมีการวิเคราะห์ (ด้วยเทคนิคที่ยากขึ้นเมื่อสมมติฐานเรื่องความสม่ำเสมออ่อนลง)

สมมติว่าMมีรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกω , เมตริกแบบรีมันน์gและโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนJเนื่องจากωและgไม่เสื่อมสภาพแต่ละตัวจึงเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิ ล TM → T*Mโดยที่แผนที่แรกซึ่งแสดงด้วยφ นั้นกำหนดโดยผลคูณภายในφ ( u )  = i ω = ω ( u , •) และอีกแผนที่หนึ่งซึ่งแสดงด้วยφ นั้นกำหนดโดยการดำเนินการที่คล้ายคลึงกันสำหรับgด้วยความเข้าใจเช่นนี้ โครงสร้างทั้งสาม ( g , ω , J ) จะก่อให้เกิดสามสิ่งที่เข้ากันได้เมื่อแต่ละโครงสร้างสามารถระบุได้โดยอีกสองโครงสร้างดังต่อไปนี้:    

• g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
• ω( u , v ) = g ( Ju , v )
• เจ ( ยู ) = ( φ ) ⁻¹ ( φ ( ยู ))

ในแต่ละสมการเหล่านี้ โครงสร้างสองแบบทางด้านขวามือเรียกว่าเข้ากันได้เมื่อการสร้างที่สอดคล้องกันให้ผลลัพธ์เป็นโครงสร้างประเภทที่ระบุ ตัวอย่างเช่นωและJเข้ากันได้ก็ต่อเมื่อω (•, J •) เป็นเมตริกแบบรีมันน์ บันเดิลบนMซึ่งส่วนตัดเป็นโครงสร้างเชิงซ้อนเกือบสมบูรณ์ที่เข้ากันได้กับωมีไฟเบอร์ที่หดตัวได้ : โครงสร้างเชิงซ้อนบนไฟเบอร์สัมผัสที่เข้ากันได้กับการจำกัดไปยังรูปแบบเชิงซิมเพล็กติก

โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของรูปแบบซิมเพล็กติกωเราสามารถแสดงได้ว่าโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนที่เข้ากันได้Jเป็นโครงสร้างเกือบคาห์เลอร์สำหรับเมตริกรีมันน์ω ( u , Jv ) นอกจากนี้ หากJสามารถหาปริพันธ์ได้ แล้ว ( M , ω , J ) ก็เป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ด้วย

สามสิ่งเหล่านี้เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติ 2 ใน 3 ของกลุ่มเอกภาพ (unitary group )

ไนเจล ฮิตชินได้นำเสนอแนวคิดของโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนแบบทั่วไปบนแมนิโฟลด์Mซึ่งได้รับการพัฒนาต่อยอดในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของมาร์โก กวาลติเอรีและกิล คาวาลคานติ นักศึกษาของเขา โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนแบบธรรมดาคือการเลือก พื้นที่ย่อยครึ่งมิติของแต่ละไฟเบอร์ของบันเดิลสัมผัส เชิงซ้อน TM โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนแบบทั่วไปคือการเลือกพื้นที่ย่อย ไอโซโทรปิกครึ่งมิติของแต่ละไฟเบอร์ของ ผล รวมโดยตรงของบันเดิลสัมผัสและโคสัมผัส เชิงซ้อน ในทั้งสองกรณี จำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่าผลรวมโดยตรงของบันเดิลย่อยและ บันเดิ ลเชิงซ้อนคู่ ของมัน จะต้องให้ผลลัพธ์เป็นบันเดิลดั้งเดิม

โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนจะรวมเข้ากับโครงสร้างเชิงซ้อนได้ก็ต่อเมื่อปริภูมิย่อยครึ่งมิติปิดภายใต้วงเล็บ Lieโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนแบบทั่วไปจะรวมเข้ากับโครงสร้างเชิงซ้อนแบบทั่วไปได้ก็ต่อเมื่อปริภูมิย่อยปิดภายใต้วงเล็บ Courantยิ่งไปกว่านั้น หากปริภูมิครึ่งมิตินี้เป็นตัวทำลายของสปินเนอร์บริสุทธิ์ ที่ไม่มีที่ใดเป็นศูนย์ แล้วMจะเป็น แมนิโฟล ด์Calabi–Yau แบบทั่วไป

• แมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียนเกือบสมบูรณ์– แนวคิดในเรขาคณิตหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• คลาสเชิร์น– คลาสลักษณะเฉพาะของมัดเวกเตอร์ 
• วงเล็บ Frölicher–Nijenhuis
• แมนิโฟลด์คาห์เลอร์– แมนิโฟลด์ที่มีโครงสร้างแบบรีมันน์ เชิงซ้อน และเชิงซิมเพล็กติก 
• แมนิโฟลด์ปัวซง– โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ 
• ท่อร่วมริซซ่า
• แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก– ประเภทของแมนิโฟลด์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์