วิธีองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์ ( AEM ) เป็น วิธี เชิงตัวเลขที่ใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}วิธีนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดย ODL Strack ที่มหาวิทยาลัยมินนิโซตามีลักษณะคล้ายกับวิธีองค์ประกอบขอบเขต (BEM) เนื่องจากไม่ขึ้นอยู่กับการแบ่งส่วนปริมาตรหรือพื้นที่ในระบบจำลอง โดยจะแบ่งส่วนเฉพาะขอบเขตภายในและภายนอกเท่านั้น ความแตกต่างหลักประการหนึ่งระหว่าง AEM และ BEM คือการคำนวณปริพันธ์ขอบเขตแบบวิเคราะห์ แม้ว่าเดิมทีจะพัฒนาขึ้นเพื่อจำลองการไหลของน้ำใต้ดิน^{[ 4 ]} แต่ AEM ก็ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาการศึกษาอื่นๆ รวมถึงการศึกษาการไหลของความร้อนและการนำความร้อน คลื่นเป็นคาบ และการเสียรูปจากแรง^{[ 5 ]}

หลักการพื้นฐานของวิธีองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์คือ สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นสามารถนำผลเฉลยพื้นฐานมาซ้อนทับกันเพื่อให้ได้ผลเฉลยที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ มีชุดผลเฉลยเชิงวิเคราะห์ 2 มิติและ 3 มิติ ("องค์ประกอบ") ให้เลือกใช้ สำหรับสมการควบคุมที่แตกต่างกัน โดยทั่วไปแล้วองค์ประกอบเหล่านี้จะสอดคล้องกับความไม่ต่อเนื่องในตัวแปรตามหรือความชันของตัวแปรตามตามขอบเขตทางเรขาคณิต (เช่น จุด เส้น วงรี วงกลม ทรงกลม ฯลฯ) ความไม่ต่อเนื่องนี้มีรูปแบบฟังก์ชันเฉพาะ (โดยปกติจะเป็นพหุนามใน 2 มิติ) และสามารถปรับเปลี่ยนเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet, Neumann หรือ Robin (แบบผสม) ได้ ผลเฉลยเชิงวิเคราะห์แต่ละชุดเป็นอนันต์ในอวกาศและ/หรือเวลา

โดยทั่วไปแล้ว วิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์แต่ละวิธีจะมีระดับความเป็นอิสระ (สัมประสิทธิ์) ที่สามารถคำนวณได้เพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดไว้ตามขอบขององค์ประกอบ เพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาโดยรวม (เช่น สัมประสิทธิ์ขององค์ประกอบที่ถูกต้อง) จะต้องแก้ระบบสมการเพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขขอบเขตตลอดทุกองค์ประกอบ (โดยใช้การจัดเรียงจุดการ หา ค่าต่ำสุดกำลังสองหรือวิธีการที่คล้ายกัน) ที่สำคัญคือ วิธีแก้ปัญหาโดยรวมจะให้คำอธิบายที่ต่อเนื่องในเชิงพื้นที่ของตัวแปรตามทุกที่ในโดเมนอนันต์ และสมการควบคุมจะเป็นจริงทุกแห่งยกเว้นตามขอบขององค์ประกอบ ซึ่งสมการควบคุมไม่สามารถนำมาใช้ได้อย่างเคร่งครัดเนื่องจากความไม่ต่อเนื่อง

ความสามารถในการซ้อนทับองค์ประกอบจำนวนมากในโซลูชันเดียวหมายความว่าสามารถสร้างโซลูชันเชิงวิเคราะห์สำหรับเงื่อนไขขอบเขตที่ซับซ้อนได้ตามต้องการ กล่าวคือ สามารถแก้ปัญหาแบบจำลองที่มีรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน ขอบเขตตรงหรือโค้ง ขอบเขตหลายจุด เงื่อนไขขอบเขตชั่วคราว ชั้นหินอุ้มน้ำหลายชั้น คุณสมบัติที่เปลี่ยนแปลงเป็นช่วงๆ และคุณสมบัติที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องได้ สามารถนำองค์ประกอบมาใช้โดยใช้การขยายระยะไกล ทำให้สามารถแก้ปัญหาแบบจำลองที่มีองค์ประกอบหลายพันชิ้นได้อย่างมีประสิทธิภาพและมีความแม่นยำสูง

วิธีองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์ได้ถูกนำมาใช้กับปัญหาการไหลของน้ำใต้ดินที่ควบคุมโดยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นหลากหลายรูปแบบ รวมถึง สมการ ลาปลาสสมการปัวซงสมการเฮล์มโฮลทซ์ที่ดัดแปลง^{[ 6 ]}สมการความร้อนและ สมการไบ ฮาร์มอนิก บ่อยครั้งที่สมการเหล่านี้ได้รับการแก้ไขโดยใช้ตัวแปรเชิงซ้อน ซึ่งช่วยให้สามารถใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในทฤษฎีตัวแปรเชิงซ้อนได้ เทคนิคที่มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเชิงซ้อนคือการใช้การแมปแบบคอนฟอร์มอล ซึ่งแมปขอบเขตของรูปทรงเรขาคณิต เช่น วงรี ไปยังขอบเขตของวงกลมหน่วยที่ทราบคำตอบ

ในวิธีองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์ จะใช้ ศักยภาพการระบายและฟังก์ชันกระแสหรือรวมกันเป็นศักยภาพเชิงซ้อน ศักยภาพนี้เชื่อมโยงคุณสมบัติทางกายภาพของระบบน้ำใต้ดิน เช่น ระดับน้ำหรือขอบเขตการไหล เข้ากับการแสดงศักยภาพทางคณิตศาสตร์ การแสดงศักยภาพทางคณิตศาสตร์นี้สามารถใช้คำนวณศักยภาพในแง่ของตำแหน่ง และแก้ปัญหาการไหลของน้ำใต้ดินได้ด้วย องค์ประกอบต่างๆ ถูกพัฒนาขึ้นโดยการแก้เงื่อนไขขอบเขตสำหรับคุณสมบัติใดคุณสมบัติหนึ่งในสองอย่างนี้ คือ ระดับน้ำหรือขอบเขตการไหล ซึ่งส่งผลให้ได้คำตอบเชิงวิเคราะห์ที่สามารถจัดการกับเงื่อนไขขอบเขตจำนวนมากได้

ดังที่กล่าวไว้ วิธีองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์จึงไม่ขึ้นอยู่กับการแบ่งส่วนปริมาตรหรือพื้นที่ในแบบจำลอง เช่นเดียวกับวิธีองค์ประกอบจำกัดหรือ วิธีผล ต่างจำกัดดังนั้นจึงสามารถจำลองปัญหาที่ซับซ้อนได้โดยมีข้อผิดพลาดในระดับความแม่นยำของเครื่องจักร สิ่งนี้แสดงให้เห็นในงานวิจัยที่จำลองชั้นหินอุ้มน้ำไอโซโทรปิกที่มีความแตกต่างกันสูง โดยรวมความแตกต่างกันทรงกลม 100,000 ชิ้นที่มีค่าการนำไฟฟ้าแบบสุ่มและติดตามอนุภาค 40,000 อนุภาค^{[ 7 ]}วิธีองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์สามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพในการตรวจสอบหรือเป็นเครื่องมือคัดกรองในโครงการขนาดใหญ่ เนื่องจากสามารถคำนวณการไหลของน้ำใต้ดินสำหรับปัญหาที่ซับซ้อนหลายอย่างได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ^{[ 8 ] [ 9 ]}

เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีการจำลองน้ำใต้ดินที่ใช้กันทั่วไปอื่นๆ เช่น วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์หรือ วิธี ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์วิธี AEM ไม่ได้แบ่งโดเมนของแบบจำลองออกเป็นเซลล์ ซึ่งมีข้อดีคือแบบจำลองจะใช้ได้กับจุดใดๆ ในโดเมนของแบบจำลอง อย่างไรก็ตาม ข้อเสียคือโดเมนจะไม่สามารถแบ่งออกเป็นบริเวณที่มีค่าการนำไฟฟ้าทางไฮดรอลิกแตกต่างกันได้ง่ายเหมือนการจำลองด้วยตารางเซลล์ แต่หนึ่งในวิธีแก้ปัญหานี้คือการรวมโดเมนย่อยเข้ากับแบบจำลอง AEM ^{[ 10 ]}นอกจากนี้ยังมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับการนำคุณสมบัติหรือโครงสร้างที่แปรผันตามแนวตั้งในชั้นหินอุ้มน้ำมาใช้ในแบบจำลอง AEM ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

• วิธีองค์ประกอบขอบเขต
• การแปลงคอนฟอร์มอล
• หลักการซ้อนทับ

• Haitjema , HM (1995). การสร้างแบบจำลององค์ประกอบเชิงวิเคราะห์ของการไหลของน้ำใต้ดิน (PDF) . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-316550-3.
• Strack, ODL (1989). กลศาสตร์น้ำใต้ดิน . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
• Fitts, CR (2012). วิทยาศาสตร์น้ำบาดาล (ฉบับที่ 2). ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Elsevier/Academic Press. ISBN 9780123847058.

• เว็บไซต์ชุมชนองค์ประกอบการวิเคราะห์
• เว็บไซต์ของ Fitts Geolsolutions, AnAqSim (โปรแกรมจำลองชั้นหินอุ้มน้ำเชิงวิเคราะห์) และ AnAqSimEDU (ฟรี)