ความละเอียดเชิงมุม

ความละเอียดเชิงมุมหมายถึงความสามารถของอุปกรณ์สร้างภาพ ใดๆ เช่น กล้องโทรทัศน์ แบบใช้แสงหรือวิทยุกล้องจุลทัศน์กล้องถ่ายรูปหรือดวงตาในการแยกแยะรายละเอียดเล็กๆ ของวัตถุ ซึ่งทำให้เป็นปัจจัยสำคัญที่กำหนดความละเอียดของภาพ มีการใช้ในทัศนศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคลื่นแสง ในทฤษฎีเสาอากาศที่เกี่ยวข้องกับคลื่นวิทยุ และในอะคูสติกที่เกี่ยวข้องกับคลื่นเสียง การใช้คำว่า "ความละเอียด" ในภาษาพูดบางครั้งทำให้เกิดความสับสน เมื่อกล่าวว่าระบบทางแสงมีความละเอียดสูงหรือความละเอียดเชิงมุมสูง หมายความว่าระยะทางที่รับรู้ได้ หรือระยะทางเชิงมุมจริง ระหว่างวัตถุที่อยู่ใกล้เคียงกันที่สามารถแยกแยะได้นั้นมีขนาดเล็ก ค่าที่วัดคุณสมบัตินี้θซึ่งกำหนดโดยเกณฑ์ของ Rayleigh จะมีค่าต่ำสำหรับระบบที่มีความละเอียดสูง คำที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด คือ ความละเอียดเชิงพื้นที่หมายถึงความแม่นยำของการวัดเทียบกับพื้นที่ ซึ่งเชื่อมโยงโดยตรงกับความละเอียดเชิงมุมในเครื่องมือสร้างภาพเกณฑ์ของเรย์ลีย์แสดงให้เห็นว่า การกระจายเชิงมุมขั้นต่ำที่ระบบสร้างภาพสามารถแยกแยะได้นั้นถูกจำกัดโดยการเลี้ยวเบนตามอัตราส่วนของความยาวคลื่นต่อความกว้างของรูรับแสงด้วยเหตุนี้ ระบบสร้างภาพความละเอียดสูง เช่นกล้องโทรทัศน์ ดาราศาสตร์ เลนส์กล้องถ่ายภาพระยะไกลและกล้องโทรทัศน์วิทยุจึงมีรูรับแสงขนาดใหญ่

คำจำกัดความของคำศัพท์

กำลังการแยกภาพ (Resolving power)คือความสามารถของอุปกรณ์สร้างภาพในการแยก (กล่าวคือ มองเห็นได้ชัดเจน) จุดต่างๆ ของวัตถุที่อยู่ห่างกันในระยะเชิงมุม เล็กๆ หรือเป็นความสามารถของเครื่องมือทางแสงในการแยกวัตถุที่อยู่ไกลกันแต่ใกล้กัน ออกเป็นภาพแต่ละภาพ คำว่าความละเอียด (Resolution)หรือระยะห่างขั้นต่ำที่สามารถแยกแยะได้ (Minimum resolvable distance)คือระยะห่างขั้นต่ำระหว่างวัตถุที่สามารถแยกแยะได้ในภาพ แม้ว่าผู้ใช้กล้องจุลทรรศน์และกล้องโทรทรรศน์หลายคนจะใช้คำนี้อย่างไม่เคร่งครัดเพื่ออธิบายกำลังการแยกภาพก็ตาม ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ความละเอียดที่จำกัดด้วยการเลี้ยวเบน (Diffraction-limited resolution) ถูกกำหนดโดยเกณฑ์ของเรย์ลี (Rayleigh criterion) ว่าเป็นการแยกเชิงมุมของแหล่งกำเนิดแสงสองจุด เมื่อค่าสูงสุดของแต่ละแหล่งกำเนิดแสงอยู่ในค่าต่ำสุดแรกของรูปแบบการเลี้ยวเบน ( Airy disk ) ของอีกแหล่งกำเนิดแสงหนึ่ง ในการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์โดยทั่วไป คำว่า "ความละเอียด" ใช้เพื่ออธิบายความแม่นยำที่เครื่องมือใดๆ วัดและบันทึก (ในภาพหรือสเปกตรัม) ตัวแปรใดๆ ในตัวอย่างหรือชิ้นงานที่กำลังศึกษา

เกณฑ์ของเรย์ลีย์

ความละเอียดของระบบการถ่ายภาพอาจถูกจำกัดได้ทั้งจากความคลาดเคลื่อนหรือการเลี้ยวเบนซึ่งทำให้ภาพเบลอ ปรากฏการณ์ทั้งสองนี้มีที่มาแตกต่างกันและไม่เกี่ยวข้องกัน ความคลาดเคลื่อนสามารถอธิบายได้ด้วย ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตและโดยหลักการแล้วสามารถแก้ไขได้โดยการเพิ่มคุณภาพทางแสงของระบบ ในทางกลับกัน การเลี้ยวเบนเกิดจากธรรมชาติของคลื่นแสงและถูกกำหนดโดยรูรับแสงที่จำกัดขององค์ประกอบทางแสง รู รับแสงทรงกลมของเลนส์ นั้น คล้ายคลึงกับเวอร์ชันสองมิติของการทดลองช่องแคบเดี่ยว แสงที่ผ่านเลนส์จะแทรกสอดกันเองทำให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบนรูปวงแหวนที่เรียกว่ารูปแบบแอร์รีหากถือว่าหน้าคลื่นของแสงที่ส่งผ่านเป็นทรงกลมหรือระนาบเหนือรูรับแสงทางออก

ปฏิสัมพันธ์ระหว่างการเลี้ยวเบนและความคลาดเคลื่อนสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันการกระจายจุด (PSF) ยิ่งรูรับแสงของเลนส์แคบลงเท่าใด PSF ก็ยิ่งมีแนวโน้มที่จะถูกครอบงำด้วยการเลี้ยวเบนมากขึ้นเท่านั้น ในกรณีนั้น ความละเอียดเชิงมุมของระบบออปติคอลสามารถประมาณได้ (จากเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงและความยาวคลื่นของแสง) โดยใช้เกณฑ์ของ Rayleigh ที่กำหนดโดยLord Rayleigh : แหล่งกำเนิดแสงสองจุดจะถือว่าแยกออกจากกันได้เมื่อจุดสูงสุดของการเลี้ยวเบนหลัก (จุดศูนย์กลาง) ของAiry diskของภาพหนึ่งตรงกับจุดต่ำสุดแรกของAiry diskของอีกภาพหนึ่ง^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}ดังแสดงในภาพถ่ายประกอบ (ในภาพด้านล่างทางขวาที่แสดงขีดจำกัดของเกณฑ์ Rayleigh จุดสูงสุดตรงกลางของแหล่งกำเนิดแสงจุดหนึ่งอาจดูเหมือนอยู่นอกจุดต่ำสุดแรกของอีกจุดหนึ่ง แต่การตรวจสอบด้วยไม้บรรทัดยืนยันว่าทั้งสองตัดกัน) หากระยะห่างมากขึ้น จุดทั้งสองจะแยกออกจากกันได้ดี และหากระยะห่างน้อยลง จะถือว่าแยกออกจากกันไม่ได้ เรย์ลีย์ปกป้องเกณฑ์นี้โดยอ้างอิงจากแหล่งที่มาที่มีความแข็งแกร่งเท่ากัน^{[ 2 ]}

เมื่อพิจารณาการเลี้ยวเบนผ่านช่องเปิดทรงกลม จะได้ดังนี้:

\theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{D}}\quad ({\text{โดยพิจารณาว่า}}\,\sin \theta \approx \theta )

โดยที่θคือความละเอียดเชิงมุม ( เรเดียน ) λคือความยาวคลื่นของแสง และDคือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงของเลนส์ ค่าตัวประกอบ 1.22 ได้มาจากการคำนวณตำแหน่งของวงแหวนวงกลมสีดำวงแรกที่ล้อมรอบจานAiry ตรงกลาง ของ รูปแบบ การเลี้ยวเบนตัวเลขนี้ถูกต้องกว่าคือ 1.21966989... ( OEIS : A245461 ) ซึ่งเป็นศูนย์แรกของฟังก์ชันเบสเซลอันดับหนึ่งชนิดแรก $J_{1}(x)$ หารด้วยπ

เกณฑ์เรย์ลีอย่างเป็นทางการนั้นใกล้เคียงกับ ขีดจำกัดความละเอียด เชิงประจักษ์ที่พบก่อนหน้านี้โดยนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษWR Dawesซึ่งทดสอบผู้สังเกตการณ์มนุษย์กับดาวคู่ที่อยู่ใกล้กันและมีความสว่างเท่ากัน ผลลัพธ์θ = 4.56/ Dโดยที่Dมีหน่วยเป็นนิ้วและθมีหน่วยเป็นอาร์คเซคอนด์นั้นแคบกว่าที่คำนวณด้วยเกณฑ์เรย์ลีเล็กน้อย การคำนวณโดยใช้จาน Airy เป็นฟังก์ชันการกระจายจุดแสดงให้เห็นว่าที่ขีดจำกัดของ Dawesมีการลดลง 5% ระหว่างจุดสูงสุดสองจุด ในขณะที่เกณฑ์ของเรย์ลีมีการลดลง 26.3% ^{[ 3 ]}เทคนิคการประมวลผลภาพสมัยใหม่ รวมถึง การดีคอนโวลูชันของฟังก์ชันการกระจายจุด ช่วยให้สามารถแยกแยะดาวคู่ที่มีระยะห่างเชิงมุมน้อยลงได้

โดยใช้ การประมาณมุมเล็กความละเอียดเชิงมุมสามารถแปลงเป็นความละเอียดเชิงพื้นที่ Δℓ ได้โดยการคูณมุม (ในหน่วยเรเดียน) กับระยะห่างจากวัตถุ สำหรับกล้องจุลทรรศน์ ระยะห่างนั้นจะใกล้เคียงกับความยาวโฟกัสfของเลนส์วัตถุในกรณีนี้ เกณฑ์ของเรย์ลีมีดังนี้:

\Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}

.

นี่คือรัศมีในระนาบการสร้างภาพของจุดที่เล็กที่สุดที่ลำแสงขนานสามารถโฟกัสได้ ซึ่งสอดคล้องกับขนาดของวัตถุที่เล็กที่สุดที่เลนส์สามารถแยกแยะได้[ ^{4 ] ขนาด}เป็นสัดส่วนกับความยาวคลื่นλดังนั้น ตัวอย่างเช่น แสง สีน้ำเงินสามารถโฟกัสไปยังจุดที่เล็กกว่า แสง สีแดงได้ หากเลนส์กำลังโฟกัสลำแสงที่มีขอบเขตจำกัด (เช่น ลำแสง เลเซอร์ ) ค่าของDจะสอดคล้องกับเส้นผ่านศูนย์กลางของลำแสง ไม่ใช่เลนส์^{[หมายเหตุ 1 ]}เนื่องจากความละเอียดเชิงพื้นที่เป็นสัดส่วนผกผันกับDจึงนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจเล็กน้อยที่ว่าลำแสงกว้างอาจถูกโฟกัสไปยังจุดที่เล็กกว่าลำแสงแคบ ผลลัพธ์นี้เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติฟูริเยร์ของเลนส์

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับเซ็นเซอร์ขนาดเล็กที่ถ่ายภาพวัตถุที่อยู่ไกลมาก: ความละเอียดเชิงมุมสามารถแปลงเป็นความละเอียดเชิงพื้นที่บนเซ็นเซอร์ได้โดยใช้fเป็นระยะห่างจากเซ็นเซอร์รับภาพซึ่งจะเชื่อมโยงความละเอียดเชิงพื้นที่ของภาพกับค่า f , f / #:

\Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}=1.22\lambda \cdot (f/\#)

.

เนื่องจากนี่คือรัศมีของจานแอรี่ ความละเอียดจึงควรประเมินจากเส้นผ่านศูนย์กลางมากกว่า $2.44\lambda \cdot (f/\#)$

กรณีเฉพาะ

กล้องโทรทัศน์เดี่ยว

แหล่งกำเนิดแสงแบบจุดที่อยู่ห่างกันเป็นมุมเล็กกว่าความละเอียดเชิงมุมจะไม่สามารถแยกแยะได้ กล้องโทรทรรศน์แบบออปติคอลเดี่ยวอาจมีความละเอียดเชิงมุมน้อยกว่าหนึ่งอาร์คเซคอนด์แต่สภาพการมองเห็นทางดาราศาสตร์และผลกระทบอื่นๆ จากชั้นบรรยากาศทำให้การบรรลุเป้าหมายนี้ทำได้ยากมาก

โดยทั่วไปแล้ว ความละเอียดเชิงมุมRของกล้องโทรทรรศน์สามารถประมาณได้โดย

R={\frac {\lambda }{D}}

โดยที่λคือความยาวคลื่นของรังสีที่สังเกตได้ และD คือเส้นผ่านศูนย์กลางของ เลนส์วัตถุของกล้องโทรทรรศน์ ค่า Rที่ได้จะ มีหน่วย เป็นเรเดียนตัวอย่างเช่น ในกรณีของแสงสีเหลืองที่มีความยาวคลื่น 580 นาโนเมตรสำหรับความละเอียด 0.1 อาร์คเซคอนด์ เราต้องการ D = 1.2 เมตร แหล่งกำเนิดแสงที่มีขนาดใหญ่กว่าความละเอียดเชิงมุมเรียกว่าแหล่งกำเนิดแสงแบบขยายหรือแหล่งกำเนิดแสงแบบกระจาย และแหล่งกำเนิดแสงที่มีขนาดเล็กกว่าเรียกว่าแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด

สูตรนี้สำหรับแสงที่มีความยาวคลื่นประมาณ 562 นาโนเมตร เรียกอีกอย่างว่าขีดจำกัดของดอว์ส (Dawes' limit )

หน่วยหนึ่งสำหรับความละเอียดเชิงมุมในกรณีของการกระจายแบบเกาส์เซียนจากการมองเห็นทางดาราศาสตร์คือเส้นผ่านศูนย์กลางครึ่งกำลังซึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมที่ครึ่งหนึ่งของกำลังจากกล้องโทรทรรศน์อยู่ตรงกลาง^{[ 5 ]}

อาร์เรย์กล้องโทรทรรศน์

ความละเอียดเชิงมุมสูงสุดสำหรับกล้องโทรทรรศน์สามารถทำได้โดยใช้ชุดกล้องโทรทรรศน์ที่เรียกว่าอินเตอร์เฟอโรเมตรทางดาราศาสตร์ : เครื่องมือเหล่านี้สามารถให้ความละเอียดเชิงมุม 0.001 อาร์คเซคอนด์ที่ความยาวคลื่นแสง และมีความละเอียดสูงกว่ามากที่ความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์ ในการสร้างภาพด้วยการสังเคราะห์รูรับแสงจำเป็นต้องใช้กล้องโทรทรรศน์จำนวนมากที่จัดเรียงในรูปแบบ 2 มิติ โดยมีความแม่นยำเชิงมิติที่ดีกว่าเศษส่วน (0.25 เท่า) ของความละเอียดของภาพที่ต้องการ

โดยทั่วไปแล้ว ความละเอียดเชิงมุมRของอาร์เรย์อินเตอร์เฟอโรเมตรสามารถประมาณได้โดย

R={\frac {\lambda }{B}}

โดยที่λคือความยาวคลื่นของรังสีที่สังเกตได้ และBคือความยาวของระยะห่างทางกายภาพสูงสุดของกล้องโทรทรรศน์ในอาร์เรย์ ซึ่งเรียกว่าฐานเส้น (baseline ) ค่า Rที่ได้จะมี หน่วย เป็นเรเดียนแหล่งกำเนิดที่มีขนาดใหญ่กว่าความละเอียดเชิงมุมเรียกว่าแหล่งกำเนิดแบบขยายหรือแหล่งกำเนิดแบบกระจาย และแหล่งกำเนิดที่มีขนาดเล็กกว่าเรียกว่าแหล่งกำเนิดแบบจุด

ตัวอย่างเช่น ในการสร้างภาพด้วยแสงสีเหลืองที่มีความยาวคลื่น 580 นาโนเมตร เพื่อให้ได้ความละเอียด 1 มิลลิอาร์กเซคอนด์ เราจำเป็นต้องใช้กล้องโทรทรรศน์ที่จัดเรียงเป็นแถวขนาด 120 เมตร × 120 เมตร โดยมีความแม่นยำเชิงมิติที่ดีกว่า 145 นาโนเมตร

กล้องจุลทรรศน์

ความละเอียดR (ในที่นี้วัดเป็นระยะทาง ไม่ควรสับสนกับความละเอียดเชิงมุมในหัวข้อก่อนหน้านี้) ขึ้นอยู่กับรูรับแสงเชิงมุม $\alpha$ : ^{[ 6 ]}

R={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{คอนเดนเซอร์}}+\mathrm {NA} _{\text{วัตถุประสงค์}}}}

ที่ไหน

\mathrm {NA} =n\sin \theta

.

ในที่นี้ NA คือค่ารูรับแสงเชิงตัวเลข (numerical aperture ) $\theta$ คือครึ่งหนึ่งของมุมที่รวมอยู่ $\alpha$ ของเลนส์ ซึ่งขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลางของเลนส์และระยะโฟกัสของเลนส์ $n$ คือดัชนีหักเหของตัวกลางระหว่างเลนส์กับชิ้นงาน และ $\lambda$ คือความยาวคลื่นของแสงที่ส่องสว่างหรือแผ่ออกมาจาก (ในกรณีของกล้องจุลทรรศน์ฟลูออเรสเซนต์) ตัวอย่าง

ดังนั้น ค่า NA ของทั้งเลนส์วัตถุและเลนส์รวมแสงควรมีค่าสูงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อให้ได้ความละเอียดสูงสุด ในกรณีที่ค่า NA ทั้งสองเท่ากัน สมการอาจลดรูปได้เป็น:

R={\frac {0.61\lambda }{\mathrm {NA} }}\approx {\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}

ขีดจำกัดในทางปฏิบัติสำหรับ $\theta$ มุมประมาณ 70° ในเลนส์วัตถุหรือคอนเดนเซอร์แบบแห้ง จะได้ค่า NA สูงสุดที่ 0.95 ในเลนส์แช่น้ำมัน ความละเอียดสูง ค่า NA สูงสุดโดยทั่วไปจะอยู่ที่ 1.45 เมื่อใช้น้ำมันแช่ที่มีดัชนีหักเห 1.52 เนื่องจากข้อจำกัดเหล่านี้ ขีดจำกัดความละเอียดของกล้องจุลทรรศน์แบบใช้แสงที่มองเห็นได้จึงอยู่ที่ประมาณ 200 นาโนเมตรเนื่องจากความยาวคลื่นที่สั้นที่สุดของแสงที่มองเห็นได้คือสีม่วง ( $\lambda \approx 400\,\mathrm {nm}$ ),

R={\frac {1.22\times 400\,{\mbox{nm}}}{1.45\ +\ 0.95}}=203\,{\mbox{nm}}

ซึ่งอยู่ที่ประมาณ 200 นาโนเมตร

เลนส์วัตถุแบบจุ่มน้ำมันอาจมีปัญหาในการใช้งานเนื่องจากความชัดลึก ที่ตื้น และระยะการทำงานที่สั้นมาก ทำให้ต้องใช้แผ่นกระจกปิดตัวอย่างที่บางมาก (0.17 มม.) หรือในกรณีของกล้องจุลทรรศน์แบบกลับหัว ต้องใช้จานเพาะเชื้อที่มี ก้นแก้วบางๆ

อย่างไรก็ตาม ความละเอียดที่ต่ำกว่าขีดจำกัดทางทฤษฎีนี้สามารถทำได้โดยใช้กล้องจุลทรรศน์ความละเอียดสูงพิเศษซึ่งรวมถึงสนามแสงใกล้ ( กล้องจุลทรรศน์แสงสแกนสนามใกล้ ) หรือเทคนิคการเลี้ยวเบนที่เรียกว่ากล้องจุลทรรศน์ 4Pi STEDวัตถุที่มีขนาดเล็กถึง 30 นาโนเมตรสามารถมองเห็นได้ด้วยทั้งสองเทคนิค^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}นอกจากนี้กล้องจุลทรรศน์ระบุตำแหน่งด้วยการกระตุ้นด้วยแสงยังสามารถมองเห็นโครงสร้างที่มีขนาดดังกล่าวได้ แต่ยังสามารถให้ข้อมูลในทิศทาง z (3 มิติ) ได้อีกด้วย

รายชื่อกล้องโทรทรรศน์และอาร์เรย์เรียงตามความละเอียดเชิงมุม

ชื่อ	ความละเอียดเชิงมุม ( วินาทีเชิงมุม )	ความยาวคลื่น	พิมพ์	เว็บไซต์	ปี
Global mm-VLBI Array (รุ่นต่อจากCoordinated Millimeter VLBI Array )	0.000012 (12 ไมโครวินาที)	วิทยุ (ที่ 1.3 ซม.)	อาร์เรย์อินเตอร์เฟอโรเมตรีฐานยาวมากของกล้องโทรทัศน์วิทยุ หลายตัว	สถานที่ต่างๆ บนโลกและในอวกาศ^{[ 9 ]}	2002 -
กล้องโทรทรรศน์ขนาดใหญ่มาก / ไพโอเนียร์	0.001 (1 มิลลิวินาที)	แสง (1-2 ไมโครเมตร ) ^{[ 10 ]}	ชุดกล้องโทรทรรศน์สะท้อนแสงขนาดใหญ่ที่สุด ประกอบด้วย กล้องโทรทรรศน์สะท้อนแสง 4 ตัว	หอดูดาว Paranal ภูมิภาคอันโตฟากัสตาประเทศชิลี	2002/2010 -
กล้องโทรทัศน์อวกาศฮับเบิล	0.04	แสง (ใกล้ 500 นาโนเมตร) ^{[ 11 ]}	กล้องโทรทัศน์อวกาศ	วงโคจรของโลก	1990 -
กล้องโทรทัศน์อวกาศเจมส์ เวบบ์	0.1 ^{[ 12 ]}	อินฟราเรด (ที่ 2000 นาโนเมตร) ^{[ 13 ]}	กล้องโทรทัศน์อวกาศ	ดวงอาทิตย์-โลก L2	2022 -

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ในกรณีของลำแสงเลเซอร์ การวิเคราะห์ด้วยทฤษฎี ทัศนศาสตร์แบบเกาส์เซียนมีความเหมาะสมมากกว่าเกณฑ์ของเรย์ลี และอาจเผยให้เห็นขนาดจุดที่จำกัดด้วยการเลี้ยวเบนที่เล็กกว่าที่ระบุโดยสูตรข้างต้น

ลิงก์ภายนอก

"แนวคิดและสูตรในกล้องจุลทรรศน์: ความละเอียด"โดย Michael W. Davidson, Nikon MicroscopyU (เว็บไซต์)

[GaussianNote-5] ในกรณีของลำแสงเลเซอร์ การวิเคราะห์ด้วยทฤษฎี ทัศนศาสตร์แบบเกาส์เซียนมีความเหมาะสมมากกว่าเกณฑ์ของเรย์ลี และอาจเผยให้เห็นขนาดจุดที่จำกัดด้วยการเลี้ยวเบนที่เล็กกว่าที่ระบุโดยสูตรข้างต้น

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4 ] ขนาด

[หมายเหตุ 1 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]