กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 3 นาที

องค์ประกอบดูดซับ

ใน ทางคณิตศาสตร์ องค์ประกอบ ดูดซับ (หรือ องค์ประกอบทำลายล้าง ) คือองค์ประกอบประเภทพิเศษของ เซต ที่เกี่ยวข้องกับ การดำเนินการทวิภาค บนเซตนั้น...

องค์ประกอบดูดซับ

ในทางคณิตศาสตร์องค์ประกอบดูดซับ (หรือองค์ประกอบทำลายล้าง ) คือองค์ประกอบประเภทพิเศษของเซตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทวิภาคบนเซตนั้น ผลลัพธ์ของการรวมองค์ประกอบดูดซับกับองค์ประกอบใดๆ ของเซตคือองค์ประกอบดูดซับนั้นเอง ใน ทฤษฎี เซมิกรุปองค์ประกอบดูดซับเรียกว่าองค์ประกอบศูนย์[ 1 ] [ 2 ]เนื่องจากไม่มีความเสี่ยงที่จะสับสนกับแนวคิดอื่นๆ ของศูนย์ยกเว้นกรณีสำคัญ: ภายใต้สัญกรณ์การบวกศูนย์อาจหมายถึงองค์ประกอบที่เป็นกลางของโมโนอิดได้อย่างเป็นธรรมชาติ ในบทความนี้ "องค์ประกอบศูนย์" และ "องค์ประกอบดูดซับ" มีความหมายเหมือนกัน

คำนิยาม

อย่างเป็นทางการ ให้(เอส,*){\displaystyle (S,*)}เป็นชุดเอส{\displaystyle S}ด้วยการดำเนินการไบนารีแบบปิด*{\displaystyle *}บนนั้น (เรียกว่าแมกมา ) ธาตุศูนย์ (หรือธาตุดูดซับ / ทำลายล้าง ) คือธาตุชนิดหนึ่งz{\displaystyle z}โดยที่สำหรับทั้งหมด{\displaystyle s}ในเอส{\displaystyle S},z*=*z=z{\displaystyle z*s=s*z=z}แนวคิดนี้สามารถปรับปรุงให้ละเอียดขึ้นได้เป็นแนวคิดของศูนย์ทางซ้ายโดยที่ต้องการเพียงแค่ว่าz*=z{\displaystyle z*s=z}และศูนย์ทางขวาโดยที่*z=z{\displaystyle s*z=z}[ 2 ]

องค์ประกอบดูดซับมีความน่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับเซมิกรุปโดยเฉพาะอย่างยิ่งเซมิกรุปแบบทวีคูณของเซมิริงในกรณีของเซมิริงที่มี0{\displaystyle 0}บางครั้งนิยามขององค์ประกอบดูดซับก็ถูกผ่อนปรนลง ทำให้ไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติในการดูดซับเสมอไป0{\displaystyle 0}; มิฉะนั้น,0{\displaystyle 0}จะเป็นองค์ประกอบดูดซับเพียงอย่างเดียว[ 3 ]

คุณสมบัติ

  • ถ้าแมกมามีทั้งศูนย์ทางซ้ายz{\displaystyle z}และศูนย์ทางขวาz{\displaystyle z'}ดังนั้นจึงมีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจากz=z*z=z{\displaystyle z=z*z'=z'}.
  • แมกมาจะมีธาตุศูนย์ได้มากที่สุดเพียงหนึ่งธาตุ

ตัวอย่าง

  • ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของตัวประกอบดูดซับมาจากพีชคณิตเบื้องต้น ซึ่งจำนวนใดๆ คูณด้วยศูนย์จะได้เท่ากับศูนย์ ดังนั้นศูนย์จึงเป็นตัวประกอบดูดซับ
  • ศูนย์ของวงแหวน ใดๆ ก็เป็นองค์ประกอบที่ดูดซับได้เช่นกัน สำหรับองค์ประกอบหนึ่ง{\displaystyle r}ของแหวนอาร์{\displaystyle R},0=(0+0)=0+0{\displaystyle r0=r(0+0)=r0+r0}, ดังนั้น0=0{\displaystyle 0=r0}เนื่องจากศูนย์เป็นองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันเอ{\displaystyle a}ซึ่ง=เอ{\displaystyle rr=a}สำหรับใดๆ{\displaystyle r}ในเวทีอาร์{\displaystyle R}คุณสมบัตินี้ยังคงเป็นจริงใน ตัวสร้างเลขสุ่ม ( RNG)เนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์การคูณ
  • การคำนวณ เลขทศนิยมตามที่กำหนดไว้ในมาตรฐาน IEEE-754 มีค่าพิเศษที่เรียกว่า Not-a-Number (เอ็นเอเอ็น{\displaystyle \mathrm {NaN} }มันเป็นองค์ประกอบที่ดูดซับพลังงานสำหรับทุกการดำเนินการ กล่าวคือx+เอ็นเอเอ็น=เอ็นเอเอ็น+x=เอ็นเอเอ็น{\displaystyle x+\mathrm {NaN} =\mathrm {NaN} +x=\mathrm {NaN} },xเอ็นเอเอ็น=เอ็นเอเอ็นx=เอ็นเอเอ็น{\displaystyle x-\mathrm {NaN} =\mathrm {NaN} -x=\mathrm {NaN} }เป็นต้น
  • เซตของความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตหนึ่งX{\displaystyle X}เมื่อรวมกับการประกอบความสัมพันธ์จะก่อให้เกิดโมโนอิดที่มีศูนย์ โดยที่องค์ประกอบศูนย์คือความสัมพันธ์ว่าง ( เซตว่าง )
  • ช่วงปิดชม=[0,1]{\displaystyle H=[0,1]}กับx*y=นาที(x,y){\displaystyle x*y=\min(x,y)}เป็นโมโนอิดที่มีศูนย์ด้วย และสมาชิกที่เป็นศูนย์คือ0{\displaystyle 0}.
  • ตัวอย่างเพิ่มเติม:
โดเมนการดำเนินการตัวดูดซับ
ตัวเลขจริง{\displaystyle \cdot }การคูณ0
จำนวนเต็มจีซีดี{\displaystyle \gcd }ตัวหารร่วมมากที่สุด1
n{\displaystyle n}-โดย-n{\displaystyle n}เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสการคูณเมทริกซ์เมทริกซ์ที่มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด
จำนวนจริงที่ขยายนาที,ข้อมูล{\displaystyle \min ,\inf }ขั้นต่ำ/อินฟิมัม{\displaystyle -\infty }
สูงสุด,จีบ{\displaystyle \max ,\sup }ค่าสูงสุด/ค่าสูงสุด+{\displaystyle +\infty }
ชุด{\displaystyle \cap }จุดตัด{\displaystyle \varnothing }เซตว่าง
เซตย่อยของเซตเอ็ม{\displaystyle M}{\displaystyle \cup }สหภาพเอ็ม{\displaystyle M}
ตรรกะบูลีน{\displaystyle \land }ตรรกะและ{\displaystyle \bot }ความเท็จ
{\displaystyle \lor }ตรรกะหรือ{\displaystyle \top }ความจริง

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. Howie 1995 , หน้า 2–3
  2. 1 2 Kilp, Knauer & Mikhalev 2000 , หน้า 14–15
  3. โกลัน 1999หน้า 67
  • องค์ประกอบดูดซับที่ PlanetMath
ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Absorbing_element&oldid=1360606610 "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ องค์ประกอบดูดซับ

ใน ทางคณิตศาสตร์ องค์ประกอบ ดูดซับ (หรือ องค์ประกอบทำลายล้าง ) คือองค์ประกอบประเภทพิเศษของ เซต ที่เกี่ยวข้องกับ การดำเนินการทวิภาค บนเซตนั้น...

คำนิยาม

อย่างเป็นทางการ ให้ ( เอส , * ) {\displaystyle (S,*)} เป็นชุด เอส {\displaystyle S} ด้วยการดำเนินการไบนารีแบบปิด * {\displaystyle *} บนนั้น (เรียกว่า แมกมา ) ธาตุศูนย์ (หรือ ธาตุ ดูดซับ / ทำลายล้าง ) คือธาตุชนิดหนึ่ง z {\displaystyle z} โดยที่สำหรับทั้งหมด ส...

คุณสมบัติ

ถ้าแมกมามีทั้งศูนย์ทางซ้าย z {\displaystyle z} และศูนย์ทางขวา z ′ {\displaystyle z'} ดังนั้นจึงมีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจาก z = z * z ′ = z ′ {\displaystyle z=z*z'=z'} . แมกมาจะมีธาตุศูนย์ได้มากที่สุดเพียงหนึ่งธาตุ

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของตัวประกอบดูดซับมาจากพีชคณิตเบื้องต้น ซึ่งจำนวนใดๆ คูณด้วยศูนย์จะได้เท่ากับศูนย์ ดังนั้นศูนย์จึงเป็นตัวประกอบดูดซับ ศูนย์ของ วงแหวน ใดๆ ก็เป็นองค์ประกอบที่ดูดซับได้เช่นกัน สำหรับองค์ประกอบหนึ่ง ร {\displaystyle r} ของแหวน อาร์...