ในทางคณิตศาสตร์แอนติโฮโมมอร์ฟิซึม คือ ฟังก์ชันชนิดหนึ่งที่กำหนดบนเซตที่มีการคูณ ซึ่งจะกลับลำดับการคูณ แอ นติออโตมอร์ฟิซึมคือ แอนติโฮโมมอร์ฟิซึมที่ ผกผันได้ กล่าว คือ แอ นติ ไอโซมอร์ฟิซึมจากเซตหนึ่งไปยังตัวมันเอง จากคุณสมบัติความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จึงสรุปได้ว่าแอนติออโตมอร์ฟิซึมมีตัวผกผัน และตัวผกผันของแอนติออโตมอร์ฟิซึมก็เป็นแอนติออโตมอร์ฟิซึมเช่นกัน

โดยทั่วไปแล้ว แอนติโฮโมมอร์ฟิซึมคือแผนที่ที่สลับลำดับการคูณ ในทางคณิตศาสตร์ แอนติโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างต่างๆ${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle \phi \colon X\to Y^{\text{op}}}$, ที่ไหน${\displaystyle Y^{\text{op}}}$เท่ากับ${\displaystyle Y}$ในฐานะเซต แต่การคูณของมันกลับด้านตามที่กำหนดไว้บน${\displaystyle Y}$. หมายถึงการคูณ (โดยทั่วไปไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่ ) บน${\displaystyle Y}$โดย${\displaystyle \cdot }$การคูณบน${\displaystyle Y^{\text{op}}}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle *}$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle x*y:=y\cdot x}$วัตถุ${\displaystyle Y^{\text{op}}}$เรียกว่าวัตถุตรงข้ามกับ${\displaystyle Y}$(เช่นกลุ่มตรงข้ามพีชคณิตตรงข้ามหมวดหมู่ตรงข้ามเป็นต้น)

นิยามนี้เทียบเท่ากับนิยามของโฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle \phi \colon X^{\text{op}}\to Y}$(การย้อนกลับการดำเนินการก่อนหรือหลังการใช้แผนที่นั้นเทียบเท่ากัน) ในเชิงรูปแบบ การส่ง${\displaystyle X}$ถึง${\displaystyle X^{\text{op}}}$และการทำหน้าที่เป็นเอกลักษณ์บนแผนที่คือฟังก์ชัน (ที่จริงแล้วคือการผกผัน )

ในทฤษฎีกลุ่มแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันระหว่างสองกลุ่มที่กลับลำดับการคูณ ดังนั้น ถ้าφ  : X → Yเป็นแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

สำหรับทุกx , yในX

แผนที่ที่ส่งxไปยังx ⁻¹เป็นตัวอย่างของกลุ่มแอนติออโตมอร์ฟิซึม อีกตัวอย่างที่สำคัญคือ การดำเนินการ ทรานสโพสในพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งแปลงเวกเตอร์แถวเป็นเวก เตอร์คอลัมน์ สมการเวกเตอร์-เมทริกซ์ใดๆ ก็สามารถทรานสโพสเป็นสมการที่เทียบเท่ากันได้ โดยที่ลำดับของตัวประกอบจะกลับกัน

ในกรณีของเมทริกซ์ ตัวอย่างของแอนติออโตมอร์ฟิซึมคือแผนที่ทรานสโพส เนื่องจากทั้งการผกผันและการทรานสโพสต่างก็ให้แอนติออโตมอร์ฟิซึม ดังนั้นการประกอบกันของทั้งสองจึงเป็นออโตมอร์ฟิซึม การผกผันนี้มักเรียกว่าแผนที่คอนทราเกรเดียนต์ และเป็นตัวอย่างของออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของ กลุ่ม เชิงเส้นทั่วไปGL( n , F )โดยที่Fเป็นฟิลด์ ยกเว้นเมื่อ| F | = 2และn = 1 หรือ 2หรือ| F | = 3และn = 1 (เช่น สำหรับกลุ่มGL(1, 2) , GL(2, 2)และGL(1, 3) )

ในทฤษฎีริง แอนติโฮโมมอร์ฟิซึมคือแผนที่ระหว่างสองริงที่รักษาการบวกไว้ แต่กลับลำดับการคูณ ดังนั้นφ  : X → Yเป็นแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมของริงก็ต่อเมื่อ:

φ (1) = 1

φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y )

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

^{สำหรับ} x , yทั้งหมดในX ^{[ 1} ]

สำหรับพีชคณิตบนฟิลด์Kนั้นφต้องเป็นแผนที่เชิงเส้น K ของปริภูมิเวกเตอร์ พื้นฐาน หากฟิลด์พื้นฐานมีการผกผัน เราสามารถขอให้φเป็นเชิงเส้นสังยุคแทน ได้ เช่นเดียวกับการสลับตำแหน่งสังยุค ดังที่จะกล่าวต่อไป

ถ้าตัวดำเนินการต้นทางXหรือตัวดำเนินการเป้าหมายYมีคุณสมบัติการสลับที่ได้ แล้วแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมก็จะเหมือนกับโฮโมมอร์ฟิซึม

การประกอบกันของแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมสองตัวจะให้ผลลัพธ์เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเสมอ เนื่องจากเมื่อสลับลำดับสองครั้งจะยังคงรักษาลำดับเดิมไว้ การประกอบกันของแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมกับโฮโมมอร์ฟิซึมจะให้ผลลัพธ์เป็นแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมอีกตัวหนึ่ง

• เซมิกรุปที่มีการผกผัน