แหวนขนาดเล็กที่สุดในลักษณะดังกล่าว${\displaystyle R}$มีองค์ประกอบแปดตัวและเป็นวงแหวนที่ไม่สลับที่ เพียงวงเดียว ในบรรดาวงแหวน 11 วงที่มีเอกลักษณ์อันดับ 8 จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 5 ]}มีกลุ่มบวก⁠${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{3}}$[ ³ ] ^{: 76}ชัดเจน^​​${\displaystyle R^{\text{op}}}$มีสมมาตรตรงข้ามกับ⁠${\displaystyle R}$เช่นเดียวกับที่เคยเป็นมาเสมอ แต่มันก็มีโครงสร้างสมมาตรกับ ⁠ ด้วย${\displaystyle R}$ตารางการบวกและการคูณใน ... ด้านล่างนี้คือตารางการบวกและการคูณใน ...${\displaystyle R}$⁠ , ^{[ d ]}และการคูณในวงแหวนตรงข้าม ซึ่งเป็นตารางสลับตำแหน่ง

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 0 6 7 5 4 2 3 2 2 6 0 4 3 7 1 5 3 3 7 4 0 2 6 5 1 4 4 5 3 2 0 1 7 6 5 5 4 7 6 1 0 3 2 6 6 2 1 5 7 3 0 4 7 7 3 5 1 6 2 4 0

การคูณ ${\displaystyle \cdot }$ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 1 3 7 5 6 4 3 0 3 5 3 6 5 6 0 4 0 4 4 0 4 0 0 4 5 0 5 3 3 0 5 6 6 6 0 6 6 0 6 0 0 6 7 0 7 7 0 7 0 0 7

การคูณตรงข้าม ${\displaystyle \diamond }$ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 1 5 4 3 6 7 3 0 3 3 3 0 3 0 0 4 0 4 7 6 4 0 6 7 5 0 5 5 5 0 5 0 0 6 0 6 6 6 0 6 0 0 7 0 7 4 0 4 6 6 7

เพื่อพิสูจน์ว่าวงแหวนทั้งสองสมมาตรกัน ให้ใช้แผนที่หนึ่ง${\displaystyle f:R^{\text{op}}\to R}$กำหนดโดยตาราง

ไอโซมอร์ฟิซึมระหว่าง${\displaystyle R}$และ${\displaystyle R^{\text{op}}}$

${\displaystyle x}$	0	1	2	3	4	5	6	7
${\displaystyle f(x)}$	0	1	2	4	3	7	6	5

แผนที่นี้สลับองค์ประกอบเพียงสองคู่เท่านั้น:${\displaystyle 3\leftrightarrow 4}$และ​${\displaystyle 5\leftrightarrow 7}$เปลี่ยนชื่อองค์ประกอบในตารางการคูณให้เหมาะสมสำหรับ${\displaystyle \diamond }$(อาร์กิวเมนต์และค่าต่างๆ) จากนั้น จัดเรียงแถวและคอลัมน์ใหม่เพื่อให้ค่าอาร์กิวเมนต์เรียงลำดับจากน้อยไปมาก ตารางจะกลายเป็นตารางการคูณของ⁠ อย่างถูกต้อง${\displaystyle R}$การเปลี่ยนแปลงที่คล้ายกันในตารางของกลุ่มบวกจะให้ผลลัพธ์เป็นตารางเดียวกันดังนั้น${\displaystyle f}$เป็นออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มนี้ และเนื่องจาก${\displaystyle f(1)=1}$มันเป็นการสมมาตรของวงแหวนอย่างแท้จริง

แผนที่นี้เป็นแบบผกผัน กล่าวคือ⁠${\displaystyle f\circ f={\text{id}}}$ดังนั้น​${\displaystyle f^{-1}}$=${\displaystyle f}$และมันเป็นไอโซมอร์ฟิซึมจาก${\displaystyle R}$ถึง${\displaystyle R^{\text{op}}}$ได้ดีพอๆ กัน

ดังนั้น การเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle f}$สามารถตีความใหม่เพื่อกำหนดนิยามของไอโซมอร์ฟิซึมได้${\displaystyle f:(R,\cdot )\rightarrow (R,\diamond )}$แล้วก็${\displaystyle q=\iota \circ f}$เป็นแอนติออโตมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle (R,\cdot )}$กำหนดให้โดยการเรียงสับเปลี่ยนแบบเดียวกัน${\displaystyle q=(3,4)(5,7)}$⁠ .

แหวน${\displaystyle R}$มีออโตมอร์ฟิซึมสองตัวพอดี: เอกลักษณ์${\displaystyle \operatorname {id} _{R}}$และ${\displaystyle p=(3,5)(4,7)}$นั่นคือ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R)=\{\operatorname {id} _{R},p\}}$ดังนั้นจึงเป็นกลุ่มทั้งหมด${\displaystyle G}$มีองค์ประกอบสี่อย่าง โดยสองอย่างเป็นแอนติออโตมอร์ฟิซึม หนึ่งในนั้นคือ${\displaystyle q}$และประการที่สอง ให้ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle r}$สามารถคำนวณได้

${\displaystyle r=q\circ p=(3,4)(5,7)(3,5)(4,7)=(3,7)(4,5)}$

${\displaystyle G=\{\operatorname {id} _{R},p,q,r\}=\{\operatorname {id} _{R},(3,5)(4,7),(3,4)(5,7),(3,7)(4,5)\}}$

ไม่มีสมาชิกที่มีอันดับ 4 ดังนั้นกลุ่มนี้จึงไม่ใช่กลุ่มวัฏจักรและต้องเป็นกลุ่มอื่น${\displaystyle \mathrm {D} _{2}}$( กลุ่มไคลน์)${\displaystyle \mathrm {K} _{4}}$ซึ่งสามารถยืนยันได้ด้วยการคำนวณ กลุ่มสมมาตรของวงแหวนนี้มีลักษณะเหมือนกับกลุ่มสมมาตรของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วงแหวนของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนขนาด2 × 2เหนือฟิลด์ที่มี 3 องค์ประกอบ${\displaystyle {\text{F}}_{3}}$มีสมาชิก 27 ตัวและเป็นวงแหวนไม่สลับที่กัน เป็นเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม กล่าวคือ วงแหวนไม่สลับที่กันทั้งหมดที่มีเอกลักษณ์และสมาชิก 27 ตัวเป็นไอโซมอร์ฟิซึมกับวงแหวนนี้^{[ 5 ] [ 6 ]}วงแหวนไม่สลับที่กันที่ใหญ่ที่สุด${\displaystyle S}$ที่ระบุไว้ใน "คัมภีร์แห่งแหวน" มี 27 องค์ประกอบ และเป็นไอโซมอร์ฟิกด้วย ในส่วนนี้จะแสดงสัญลักษณ์จาก "คัมภีร์" สำหรับองค์ประกอบของ${\displaystyle S}$มีการใช้งาน ควรคำนึงถึงสองสิ่งคือ องค์ประกอบที่ระบุโดย${\displaystyle 18}$คือความเป็นเอกภาพของ${\displaystyle S}$และนั่น${\displaystyle 1}$ไม่ใช่เอกภาพ^{[ 4 ] : 369}กลุ่มบวกของ${\displaystyle S}$คือ​${\displaystyle \mathrm {C} _{3}^{3}}$⁠ . ^{[ 4 ] : 330}

กลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมด${\displaystyle \operatorname {Aut} (S)}$ประกอบด้วย 6 องค์ประกอบ:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=\operatorname {id} _{S}\\h_{2}&=(1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\h_{3}&=(1,25,13)(2,14,26)(4,19,16)(5,17,20)(7,22,10)(8,11,23)=h_{2}^{-1}=h_{2}^{2}\\h_{4}&=(4,16)(5,17)(7,22)(8,23)(13,25)(14,26)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{5}&=(1,13)(2,26)(4,19)(8,11)(10,22)(17,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{6}&=(1,25)(2,14)(5,20)(7,10)(11,23)(16,19)(3,15)(6,21)(12,24).\end{aligned}}}$

เนื่องจาก${\displaystyle S}$เป็นสิ่งที่ตรงข้ามกับตัวเอง และยังมีแอนติออโตมอร์ฟิซึม 6 ตัว มีไอโซมอร์ฟิซึม 1 ตัว${\displaystyle f:(S,\cdot )\to (S,\diamond )}$คือ​${\displaystyle f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตารางการดำเนินการใน "หนังสือ" เช่นเดียวกับตัวอย่างแรก โดยการเปลี่ยนชื่อและจัดเรียงใหม่ ในครั้งนี้ การเปลี่ยนแปลงควรทำในตารางการดำเนินการดั้งเดิมของ${\displaystyle S=(S,\cdot )}$ผลลัพธ์ที่ได้คือตารางการคูณของ${\displaystyle S^{\operatorname {op} }=(S,\diamond )}$และตารางการบวกยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงมีแอนติออโตมอร์ฟิซึมหนึ่งตัว

${\displaystyle q_{1}=\iota \circ f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$

ได้มาจากการเรียงสับเปลี่ยนแบบเดียวกัน ส่วนอีกห้าค่าสามารถคำนวณได้ (ในสัญกรณ์การคูณจะใช้สัญลักษณ์การประกอบ)${\displaystyle \circ }$สามารถทิ้งได้):

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{2}=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[(1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5,20,17)]\\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,26)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(4,17)(5,16)(7,23)(8,22)(10,11)(13,26)(14,25)(19,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{3}=(1,26,25,2,13,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^{-1}\\q_{4}&=q_{1}h_{4}=(1,14)(2,25)(4,17)(5,19)(7,11)(8,22)(10,23)(13,26)(16,20)\\q_{5}&=q_{1}h_{5}=(1,2)(4,5)(7,8)(10,11)(13,14)(16,17)(19,20)(22,23)(25,26)\\q_{6}&=q_{1}h_{6}=(1,26)(2,13)(4,20)(5,16)(7,23)(8,10)(11,22)(14,25)(17,19)\end{aligned}}}$

${\displaystyle G=\{h_{1},h_{2},h_{3},h_{4},h_{5},h_{6},q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5},q_{6}\}.}$

กลุ่ม${\displaystyle G}$มีสมาชิกอันดับ 2 จำนวน 7 ตัว (ออโตมอร์ฟิซึม 3 ตัว และแอนติออโตมอร์ฟิซึม 4 ตัว) และสามารถระบุได้ว่าเป็นกลุ่มไดเฮดรัล${\displaystyle \mathrm {D} _{6}}$^{[ e ]} (ดูรายชื่อกลุ่มเล็ก ๆ) ในเชิงเปรียบเทียบทางเรขาคณิต วงแหวน${\displaystyle S}$มี "กลุ่มสมมาตร"${\displaystyle G}$^{ไอ โซม}อร์ฟิกกับกลุ่มสมมาตรของ3-แอนติปริซึม [ ^{f ]}ซึ่งเป็นกลุ่มจุด${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathrm {3d} }}$ในสัญกรณ์ของ Schoenfliesหรือ${\displaystyle {\overline {3}}m}$กล่าวโดยย่อคือ สัญกรณ์เฮอร์มันน์-โมแกงสำหรับพื้นที่สามมิติ

วงแหวนทั้งหมดที่มีเอกภาพที่มีอันดับตั้งแต่ 9 ถึง 15 นั้นเป็นแบบสลับที่ได้^{[ 5 ]}ดังนั้นจึงเป็นแบบตรงข้ามในตัวเอง วงแหวนที่ไม่เป็นแบบตรงข้ามในตัวเองปรากฏขึ้นเป็นครั้งแรกในวงแหวนที่มีอันดับ 16 มีวงแหวนที่ไม่เป็นแบบตรงข้ามในตัวเองที่แตกต่างกัน 4 วงจากจำนวนวงแหวนทั้งหมด 50 วงที่มีเอกภาพ^{[ 7 ]}ซึ่งมี 16 องค์ประกอบ (37 ^{[ 8 ]}เป็นแบบสลับที่ได้และ 13 ^{[ 5 ]}เป็นแบบสลับที่ไม่ได้) ^{[ 6 ]} วงแหวน เหล่านี้สามารถจับคู่กันได้เป็นสองคู่ของวงแหวนที่ตรงข้ามกัน และจำเป็นต้องมีกลุ่มบวกเดียวกัน เนื่องจากแอนติไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนคือไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มบวกของวงแหวนเหล่านั้น

แหวนหนึ่งคู่${\displaystyle R_{1}}$^{[ 3 ] : 330}และ${\displaystyle R_{2}=R_{1}^{\text{op}}}$มีหมู่สารเติมแต่ง${\displaystyle \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$^{[ 3 ] : 262}และคู่อื่น${\displaystyle R_{3}}$^{[ 3 ] : 535}และ⁠${\displaystyle R_{4}=R_{3}^{\text{op}}}$, ^{[ 3 ] : 541}กลุ่ม ⁠​${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{4}}$[ ^{3 ] : 433 ตารางการ ดำเนิน} การของพวกเขาไม่ได้นำเสนอในบทความนี้ เนื่องจากสามารถพบ ได้ในแหล่งที่มาที่อ้างถึง และสามารถตรวจสอบได้ว่า${\displaystyle R_{3}^{\text{op}}=R_{4}}$พวกมันตรงข้ามกัน แต่ไม่เหมือนกันทุกประการ เช่นเดียวกับคู่${\displaystyle R_{1}}$และ​${\displaystyle R_{2}}$อย่างไรก็ตามแหวนวงนั้น${\displaystyle {\widetilde {R}}_{2}}$^{[ 3 ] : 335}ที่ระบุไว้ใน "The Book of the Rings" ไม่เท่ากันแต่เป็นเพียงไอโซมอร์ฟิกกับ⁠${\displaystyle R_{2}}$⁠ .

วงแหวนไม่สลับ ที่ที่เหลืออีก13 − 4 = 9 วงเป็นวงแหวนที่ตรงข้ามกันเอง

พีชคณิตอิสระ${\displaystyle k\langle x,y\rangle }$เหนือทุ่งนา${\displaystyle k}$พร้อมเครื่องกำเนิดไฟฟ้า${\displaystyle x,y}$มีการคูณมาจากการคูณคำ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)\cdot (xyxy+1)=&{\text{ }}2x^{2}yx^{2}yxy+2x^{2}yx\\&+3yxyxyxy+3yxy.\end{aligned}}}$

จากนั้นพีชคณิตตรงข้ามจะมีค่าการคูณที่กำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)*(xyxy+1)&=(xyxy+1)\cdot (2x^{2}yx+3yxy)\\&=2xyxyx^{2}yx+3xyxy^{2}xy+2x^{2}yx+3yxy,\end{aligned}}}$

ซึ่งไม่ใช่องค์ประกอบที่เท่ากัน

พีชคณิตควอเทอร์เนียน${\displaystyle H(a,b)}$^{[ 9 ]}เหนือทุ่งนา${\displaystyle F}$กับ${\displaystyle a,b\in F^{\times }}$เป็นพีชคณิตการหารที่กำหนดโดยตัวสร้างสามตัว${\displaystyle i,j,k}$ด้วยความสัมพันธ์

${\displaystyle i^{2}=a,\ j^{2}=b,\ k=ij=-ji}$

องค์ประกอบทั้งหมด${\displaystyle x\in H(a,b)}$อยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k}$, ที่ไหน${\displaystyle x_{0},x_{i},x_{j},x_{k}\in F}$

ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle F=\mathbb {R} }$, แล้ว${\displaystyle H(-1,-1)}$คือพีชคณิตควอเทอร์เนียนแบบปกติ

ถ้าการคูณของ${\displaystyle H(a,b)}$ถูกกำหนดไว้${\displaystyle \cdot }$มันมีตารางการคูณอยู่ด้วย

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle aj}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -bi}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle -aj}$	${\displaystyle bi}$	${\displaystyle -ab}$

จากนั้นก็เป็นพีชคณิตตรงข้าม${\displaystyle H(a,b)^{\text{op}}}$โดยมีการคูณกำกับไว้${\displaystyle *}$มีโต๊ะ

${\displaystyle *}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -aj}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle bi}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle aj}$	${\displaystyle -bi}$	${\displaystyle -ab}$

วงแหวนสลับที่${\displaystyle (R,\cdot )}$มีโครงสร้างเหมือนกับวงแหวนตรงข้าม${\displaystyle (R,*)=R^{\text{op}}}$เนื่องจาก${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x*y}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ใน​${\displaystyle R}$พวกเขามีความเท่าเทียมกันด้วยซ้ำ${\displaystyle (R,*)=(R,\cdot )}$เนื่องจากการดำเนินการของพวกมันเท่ากันกล่าวคือ${\displaystyle *=\cdot }$⁠ .