ในพีชคณิตนามธรรมไบโมดูลคือกลุ่มอาเบเลียนที่เป็นทั้งโมดูลซ้ายและโมดูล ขวา โดยที่การคูณทางซ้ายและการคูณทางขวาเข้ากันได้ นอกจากจะปรากฏให้เห็นตามธรรมชาติในหลายส่วนของคณิตศาสตร์แล้ว ไบโมดูลยังมีบทบาทในการทำให้ชัดเจนขึ้น ในแง่ที่ว่าความสัมพันธ์หลายอย่างระหว่างโมดูลซ้ายและโมดูลขวาจะง่ายขึ้นเมื่อแสดงในรูปของไบโมดูล

ถ้าRและSเป็นวงแหวน สองวง R - S - bimoduleจะเป็นกลุ่มอาเบเลียน( M , +)ที่มีคุณสมบัติดังนี้:

1. Mคือ โมดูล R ซ้าย ที่มีการดำเนินการ· และโมดูล Sขวาที่มีการดำเนินการ${\displaystyle *}$.
2. สำหรับทุกrในR , sในSและmในM :$${\displaystyle (r\cdot m)*s=r\cdot (m*s).}$$

R - R- bimoduleเรียกอีกอย่างว่าR -bimodule

• สำหรับจำนวนเต็ม บวก nและmเซตM ( R ) ของเมทริกซ์n × m ของจำนวนจริงเป็นR - S -bimoduleโดยที่RคือริงM ( R ) ของ เมทริกซ์ n × nและSคือริงM ( R ) ของ เมทริกซ์ m × mการบวกและการคูณดำเนินการโดยใช้กฎการบวกและการคูณเมทริกซ์ ตามปกติ ความสูงและความกว้างของเมทริกซ์ได้รับการเลือกเพื่อให้การคูณมีนิยาม โปรดทราบว่าM ( R ) เองไม่ใช่ริง (เว้นแต่n = m ) เพราะการคูณ เมทริกซ์ n × mด้วย เมทริกซ์ n × m อีกเมทริกซ์หนึ่ง ไม่มีนิยาม คุณสมบัติ bimodule ที่สำคัญคือ( r . x ). s = r .( x . s )คือข้อความที่ระบุว่าการคูณเมทริกซ์มีคุณสมบัติการสลับที่ (ซึ่งในกรณีของริงเมทริกซ์จะสอดคล้องกับคุณสมบัติการสลับที่ )
• พีชคณิตA ใดๆ บนริงRมีโครงสร้างตามธรรมชาติของR -bimodule โดยมีการคูณทางซ้ายและขวาที่กำหนดโดยr . a = φ ( r ) aและa . r = aφ ( r )ตามลำดับ โดยที่φ  : R → AคือการฝังแบบแคนอนิกของRลงในA
• ถ้าRเป็นริงแล้วRเองก็สามารถถือได้ว่าเป็นR - R -bimoduleโดยการกำหนดให้การกระทำทางซ้ายและขวาเป็นการคูณ – การกระทำเหล่านี้สามารถสลับที่กันได้โดยคุณสมบัติการจัดกลุ่ม สิ่งนี้สามารถขยายไปถึงR ⁿ ( ผลคูณโดยตรงnเท่าของR ) ได้
• ไอเดียลสองด้านใดๆของริงRคือR - R -bimoduleโดยมีการคูณริงเป็นทั้งการคูณทางซ้ายและทางขวา
• โมดูลใดๆ บนริงสลับที่Rจะมีโครงสร้างตามธรรมชาติของไบโมดูล ตัวอย่างเช่น ถ้าMเป็นโมดูลซ้าย เราสามารถกำหนดการคูณทางขวาให้เหมือนกับการคูณทางซ้ายได้ (อย่างไรก็ตาม ไบโมดูล R ทั้งหมดไม่ได้ เกิดขึ้นด้วยวิธีนี้เสมอไป อาจมีการคูณทางขวาที่เข้ากันได้อื่นๆ อีก)
• ถ้าMเป็น โมดูล R ทางซ้าย แล้วMจะเป็นโมดูลR - Z แบบไบโมดูล โดยที่Zคือวงแหวนของจำนวนเต็มในทำนองเดียวกัน โมดูล R ทางขวา อาจถูกตีความว่าเป็นโมดูลZ - R แบบไบโมดูล กลุ่มอาเบเลียนใดๆ ก็สามารถถือได้ว่าเป็น โมดูล Z - Zแบบไบโมดูล
• ถ้าMเป็นโมดูลขวาRแล้ว เซตEnd ( M )ของเอนโดมอร์ ฟิซึม โมดูลRจะเป็นริงที่มีการคูณโดยการประกอบ ริงเอนโดมอร์ฟิซึมEnd ( M ) กระทำต่อMโดยการคูณซ้ายที่กำหนดโดยf . x = f ( x )คุณสมบัติของไบโมดูลที่ว่า( f . x ). r = f .( x . r )ระบุว่าfเป็น โฮโมมอร์ฟิซึมโมดูล RจากMไปยังตัวมันเอง ดังนั้นโมดูล ขวา R ใดๆ M จึง เป็นEnd ( M )- R- ไบโมดูล ในทำนองเดียวกัน โมดูลซ้ายR ใดๆ N ก็ เป็นR -End ( N ) ^op-ไบโมดูล
• ถ้าRเป็นซับริงของSแล้วSจะเป็นR - R-ไบโมดูลนอกจากนี้ยังเป็นR - S-และ S - R-ไบโมดูลด้วย
• ถ้าMเป็นS - R- bimodule และNเป็นR - T- bimoduleแล้วM ⊗ Nก็เป็นS - T -bimodule เช่นกัน

ถ้าMและNเป็นR - S -bimodule แล้ว ฟังก์ชันf  : M → Nจะเป็นhomomorphism ของ bimodule ก็ต่อเมื่อมันเป็น homomorphism ของทั้งR -module ทางซ้ายและ S -module ทางขวา

R - S -bimodule นั้นแท้จริงแล้วก็คือ left module บนริงR ⊗ S ^opนั่นเองโดยที่S ^opคือริงตรงข้ามของS (ซึ่งการคูณนั้นกำหนดโดยการสลับอาร์กิวเมนต์) โฮโมมอร์ฟิซึมของ bimodule ก็เหมือนกับโฮโมมอร์ฟิซึมของ left R ⊗ S ^op module ด้วยข้อเท็จจริงเหล่านี้ นิยามและข้อความเกี่ยวกับ module จำนวนมากสามารถแปลเป็นนิยามและข้อความเกี่ยวกับ bimodule ได้ทันที ตัวอย่างเช่นหมวดหมู่ ของ R - S -bimoduleทั้งหมดเป็นabelianและทฤษฎีบท isomorphism มาตรฐาน นั้นใช้ได้กับ bimodule

อย่างไรก็ตาม มีปรากฏการณ์ใหม่บางอย่างในโลกของไบโมดูล โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพูดถึงผลคูณเทนเซอร์ : ถ้าMเป็นR - S-ไบโมดูลและNเป็นS - T-ไบโมดูลผลคูณเทนเซอร์ของMและN (ที่กระทำบนริงS ) จะเป็นR - T-ไบโมดูลในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ ผลคูณเทนเซอร์ของไบโมดูลนี้มีคุณสมบัติการสลับที่ ( โดยมีไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว) และด้วยเหตุนี้จึงสามารถสร้างหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นริงและมีมอร์ฟิซึมเป็นไบโมดูลได้ อันที่จริงนี่คือ2-หมวดหมู่ในแบบแคนอนิก – มอร์ฟิซึม 2 ตัวระหว่างR - S-ไบโมดูลMและNคือโฮโมมอร์ฟิซึมของไบโมดูลอย่างแม่นยำ กล่าวคือ ฟังก์ชัน

${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

ที่ทำให้พึงพอใจ

1. ${\displaystyle f(m+m')=f(m)+f(m')}$
2. ${\displaystyle f(rms)=rf(m).s}$,

สำหรับm ∈ M , r ∈ Rและs ∈ Sเราสามารถตรวจสอบกฎการสลับเปลี่ยนสำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมแบบไบโมดูลได้ทันที นั่นคือ

${\displaystyle (f'\otimes g')\circ (f\otimes g)=(f'\circ f)\otimes (g'\circ g)}$

เป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่ด้านใดด้านหนึ่งของสมการ (และด้วยเหตุนี้อีกด้านหนึ่ง) ถูกกำหนดไว้ และในกรณีที่${\displaystyle \circ }$คือการประกอบกันตามปกติของโฮโมมอร์ฟิซึม ในการตีความนี้ หมวดหมู่End ( R ) = Bimod ( R , R )คือหมวดหมู่โมโนอิดัลของR - R -bimodules ที่มี ผลคูณเทนเซอร์ ตาม ปกติเหนือR ซึ่งก็คือ ผลคูณเทนเซอร์ของหมวดหมู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าRเป็นวงแหวนสลับที่ ทุกR -module ซ้ายหรือขวาจะเป็นR - R -bimodule ตามหลักการ ซึ่งให้การฝังแบบโมโนอิดัลของหมวดหมู่R - ModลงในBimod ( R , R )กรณีที่Rเป็นฟิลด์Kเป็นตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดหมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตร ซึ่งในกรณีนี้R - Mod = K - Vectหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือKที่มีผลคูณเทนเซอร์ตามปกติ⊗ = ⊗ ซึ่งให้โครงสร้างโมโนอิดัล และมีเอกลักษณ์Kเรายังเห็นว่าโมโนอิดในBimod ( R , R )คือR -algebra อย่างแท้จริง ^{[ 1 ]} ยิ่งไปกว่านั้น หากMเป็นR - S -bimoduleและLเป็นT - S -bimoduleแล้วเซตHom ( M , L )ของ โฮโมมอร์ฟิซึม S -module ทั้งหมดจากMไปยังL จะกลายเป็นT - R -bimoduleในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ ข้อความเหล่านี้ขยายไปยังฟังก์ชันอนุพันธ์ExtและTor

โปรฟังก์ชันเตอร์สามารถมองได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปเชิงหมวดหมู่ของไบโมดูล

โปรดทราบว่า ไบโมดูลไม่เกี่ยวข้องกับไบอัลจีบราเลย

• โปรฟังก์เตอร์