ในทางคณิตศาสตร์ การสลับตำแหน่งแบบไม่สลับ ที่ (anticommutativity)เป็นคุณสมบัติเฉพาะของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ที่ไม่ สลับที่ บางอย่าง การสลับตำแหน่งของตัวแปรสองตัวในการดำเนินการแบบสมมาตรผกผันจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นส่วนกลับของผลลัพธ์เมื่อตัวแปรไม่ได้สลับตำแหน่ง แนวคิดเรื่องส่วนกลับหมายถึงโครงสร้างกลุ่มบนโดเมนร่วม ของการดำเนินการนั้น ซึ่งอาจรวมถึงการดำเนินการอื่นด้วยการลบเป็นการดำเนินการแบบสลับตำแหน่งแบบไม่สลับที่ เพราะการสลับตำแหน่งของตัวถูกดำเนินการของการลบจะทำให้ผลลัพธ์ไม่สลับที่กัน${\displaystyle ab}$ให้${\displaystyle ba=-(ab)}$; ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle 2-10=-(10-2)=-8}$อีกหนึ่งตัวอย่างที่โดดเด่นของการดำเนินการแบบสลับที่ตรงข้ามกันคือวงเล็บลี (Lie bracket )

ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ซึ่งสมมาตรมีความสำคัญอย่างยิ่ง หรือแม้แต่ในพีชคณิตหลายเชิงเส้นการดำเนินการเหล่านี้ส่วนใหญ่ (หลายเชิงเส้นเมื่อเทียบกับโครงสร้างเวกเตอร์ บางอย่าง ) เรียกว่าการดำเนินการแบบปฏิสมมาตรและเมื่อจำนวน อาร์กิวเมนต์ไม่ มากกว่าสอง ก็จะถูกขยายใน บริบทแบบ สมาคม เพื่อให้ครอบคลุม อาร์กิวเมนต์มากกว่าสองตัว

ถ้า${\displaystyle A,B}$เป็นกลุ่มอาเบเลียน สองกลุ่ม แผนที่ทวิเชิงเส้น${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$เป็นการสลับที่แบบผกผันถ้าสำหรับทุก${\displaystyle x,y\in A}$เรามี

${\displaystyle f(x,y)=-f(y,x).}$

โดยทั่วไปแล้วแผนที่หลายเส้นตรง${\displaystyle g:A^{n}\to B}$เป็นการสลับที่แบบผกผัน ถ้าสำหรับทุก${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}\in A}$เรามี

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})}$

ที่ไหน${\displaystyle {\text{sgn}}(\sigma )}$คือเครื่องหมายของการเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle \sigma }$.

ถ้ากลุ่มอาเบเลียน${\displaystyle B}$ไม่มีแรงบิด 2- ซึ่งหมายความว่า ถ้า${\displaystyle x=-x}$แล้ว${\displaystyle x=0}$จากนั้นแผนที่ทวิเชิงเส้นแบบแอนติคอมมิวเททีฟใดๆ${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$พอใจ

${\displaystyle f(x,x)=0.}$

โดยทั่วไปแล้วการสลับตำแหน่งขององค์ประกอบสองตัว จะทำให้แผนที่เชิงเส้นหลายตัวแบบแอนติคอมมิวติคใดๆ เกิด ขึ้นได้${\displaystyle g\colon A^{n}\to B}$พอใจ

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0}$

หากข้อใดข้อหนึ่ง${\displaystyle x_{i}}$ถ้าเท่ากัน แผนที่แบบนี้เรียกว่าแผนที่สลับกันในทางกลับกัน การใช้คุณสมบัติพหุเชิงเส้น แผนที่สลับกันใดๆ ก็จะเป็นแผนที่ปฏิการสลับที่ ในกรณีไบนารี การทำงานจะเป็นดังนี้: ถ้า${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$สลับกัน จากนั้นโดยความเป็นเส้นตรงคู่ เราจึงมี

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

และการพิสูจน์ในกรณีหลายเชิงเส้นก็เหมือนกัน แต่ใช้เพียงสองอินพุตเท่านั้น

ถ้า${\displaystyle e_{i}^{2}=1,\quad e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0,i\neq j\ ,}$ แล้ว${\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}.}$^{[ 1 ]}

ตัวอย่างของการดำเนินการทวิภาคแบบสลับที่ได้ ได้แก่:

• ผลคูณไขว้
• วงเล็บ Lie ของพีชคณิต Lie
• วงเล็บเหลี่ยมของแหวนเหลี่ยม
• การลบ
• ผลคูณของ i, j และ k ในควอเทอร์เนียน

• ความสามารถในการสลับที่
• คอมมิวเทเตอร์
• พีชคณิตภายนอก
• วงแหวนสลับเปลี่ยนแบบไล่ระดับ
• การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)
• สมมาตรในคณิตศาสตร์
• สถิติของอนุภาค (สำหรับสมบัติการสลับที่ในฟิสิกส์)

ค้นหาความหมายของคำว่า "สมบัติการสลับที่แบบผกผัน"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมเสรี

• Gainov, AT (2001) [1994], "พีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Pressซึ่งอ้างอิงถึงงานต้นฉบับภาษารัสเซีย
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การสลับที่แบบผกผัน" . MathWorld .