ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเครือข่ายอพอลโลเนียนคือกราฟแบบไม่มีทิศทางที่เกิดจากกระบวนการแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมเล็กๆ สามรูปอย่างต่อเนื่อง เครือข่ายอพอลโลเนียนอาจนิยามได้อีกอย่างว่า คือต้นไม้ 3 มิติแบบระนาบ กราฟคอร์ดัลแบบระนาบสูงสุด กราฟแบบระนาบ ที่สามารถระบายสีได้ 4 สีอย่างไม่ซ้ำกันและกราฟของรูปหลายเหลี่ยมซ้อนกัน ชื่อของเครือข่าย เหล่านี้ตั้งตามชื่อของอพอลโลเนียสแห่งเปอร์กาผู้ซึ่งศึกษาโครงสร้างการจัดเรียงวงกลมที่เกี่ยวข้อง

สามารถสร้างโครงข่ายอะพอลโลเนียนได้โดยเริ่มจากสามเหลี่ยมเดี่ยวที่ฝังอยู่ในระนาบยูคลิดโดยการเลือกหน้าสามเหลี่ยมของการฝังซ้ำๆ เพิ่มจุดยอดใหม่ภายในหน้าสามเหลี่ยมนั้น และเชื่อมจุดยอดใหม่เข้ากับจุดยอดแต่ละจุดของหน้าสามเหลี่ยมที่บรรจุจุดยอดใหม่นั้น ด้วยวิธีนี้ สามเหลี่ยมที่บรรจุจุดยอดใหม่จะถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมขนาดเล็กสามรูป ซึ่งสามารถแบ่งย่อยต่อไปได้ในลักษณะเดียวกัน

กราฟสมบูรณ์ที่มีจุดยอดสามและสี่จุดK และK ต่างก็เป็นเครือข่ายอพอลโลเนียน โดยK เกิดจากการเริ่มต้นจากรูปสามเหลี่ยมและไม่ทำการแบ่งย่อยใดๆ ในขณะที่K เกิดจากการแบ่งย่อยเพียงครั้งเดียวแล้วหยุด

กราฟGoldner–Hararyเป็นเครือข่าย Apollonian ที่สร้างกราฟระนาบสูงสุดที่ไม่ใช่ Hamiltonian ที่เล็กที่สุด ^{[ 1 ]}เครือข่าย Apollonian ที่ซับซ้อนกว่าอีกเครือข่ายหนึ่งถูกใช้โดยNishizeki (1980)เพื่อเป็นตัวอย่างของกราฟระนาบสูงสุดที่ไม่ใช่ Hamiltonian ที่มีค่า1-tough ^{[ 2 ]}

นอกจากจะถูกกำหนดโดยการแบ่งย่อยสามเหลี่ยมแบบเวียนซ้ำแล้ว เครือข่ายอพอลโลเนียนยังมีลักษณะทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากันอีกหลายประการ ได้แก่กราฟระนาบสูงสุดแบบ คอร์ ดัล กราฟทรงหลายเหลี่ยม แบบคอร์ดัล และต้นไม้ 3 มิติ แบบระนาบ นอกจาก นี้ยังเป็น กราฟระนาบที่ สามารถระบายสีได้ 4 สีอย่างเป็นเอกลักษณ์และเป็นกราฟระนาบที่มี การแยกส่วนแบบ Schnyder wood ที่ไม่ซ้ำกัน เป็นต้นไม้สามต้น เป็นกราฟระนาบสูงสุดที่มีความกว้างของต้นไม้เท่ากับสาม ซึ่งเป็นกลุ่มของกราฟที่สามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยไมเนอร์ต้องห้ามหรือด้วยความสามารถในการลดรูปภายใต้การแปลง Y-Δเป็นกราฟระนาบสูงสุดที่มีความเสื่อมเท่ากับสาม และยังเป็นกราฟระนาบที่มีจำนวนจุดยอดที่กำหนดซึ่งมีจำนวนสามเหลี่ยมมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จำนวนกราฟย่อยทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จำนวนคลิกมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และจำนวนชิ้นส่วนมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้หลังจากแยกส่วนโดยการแยกสามเหลี่ยม

เครือข่ายอพอลโลเนียนเป็นตัวอย่างของกราฟระนาบสูงสุด ซึ่งเป็นกราฟที่ไม่สามารถเพิ่มขอบเพิ่มเติมได้โดยไม่ทำลายความเป็นระนาบ หรือเทียบเท่ากับกราฟที่สามารถวาดลงบนระนาบได้โดยที่ทุกหน้า (รวมถึงหน้านอกสุด) เป็นรูปสามเหลี่ยม นอกจากนี้ยังเป็นกราฟคอร์ดัล ซึ่งเป็นกราฟที่ทุกวงจรที่มีจุดยอดสี่จุดขึ้นไปจะมีขอบแนวทแยงที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่ต่อเนื่องกัน และลำดับที่เพิ่มจุดยอดในกระบวนการแบ่งย่อยที่สร้างเครือข่ายอพอลโลเนียนนั้นเป็นลำดับการกำจัดเช่นเดียวกับกราฟคอร์ดัล นี่เป็นการกำหนดลักษณะทางเลือกของเครือข่ายอพอลโลเนียน: พวกมันเป็นกราฟระนาบสูงสุดคอร์ดัลหรือเทียบเท่ากับกราฟทรงหลายเหลี่ยมคอร์ดัล^{[ 3 ]}

ในโครงข่ายอพอลโลเนียนกลุ่มคลิกสูงสุด ทุกกลุ่ม เป็นกราฟสมบูรณ์ที่มีสี่จุดยอด ซึ่งเกิดจากการเลือกจุดยอดใดๆ และจุดยอดข้างเคียงสามจุดก่อนหน้า กลุ่มคั่นคลิก ต่ำสุดทุก กลุ่ม (กลุ่มคลิกที่แบ่งกราฟออกเป็นสองกราฟย่อยที่ไม่เชื่อมต่อกัน) คือหนึ่งในสามเหลี่ยมที่ถูกแบ่งย่อย กราฟคอร์ดัลที่กลุ่มคลิกสูงสุดทั้งหมดและกลุ่มคั่นคลิกต่ำสุดทั้งหมดมีขนาดเท่ากันคือk -treeและโครงข่ายอพอลโลเนียนเป็นตัวอย่างของ 3-tree ไม่ใช่ทุก 3-tree จะเป็นระนาบ แต่ 3-tree ที่เป็นระนาบนั้นก็คือโครงข่ายอพอลโลเนียนนั่นเอง

เครือข่าย Apollonian ทุกเครือข่ายยังเป็นกราฟที่สามารถระบายสีได้ 4 สีอย่างไม่ซ้ำกันเนื่องจากเป็นกราฟระนาบทฤษฎีบทสี่สีจึงบ่งชี้ว่ามีการระบายสีกราฟด้วยสีเพียงสี่สี แต่เมื่อเลือกสีสามสีของสามเหลี่ยมเริ่มต้นแล้ว จะมีเพียงตัวเลือกเดียวที่เป็นไปได้สำหรับสีของแต่ละจุดยอดที่ต่อเนื่องกัน ดังนั้นเมื่อพิจารณาจากการเรียงสับเปลี่ยนของชุดสีแล้ว จึงมีการระบายสี 4 สีเพียงแบบเดียวเท่านั้น การพิสูจน์ว่ากราฟระนาบที่สามารถระบายสีได้ 4 สีอย่างไม่ซ้ำกันทุกกราฟเป็นเครือข่าย Apollonian นั้นยากกว่า แต่ก็เป็นความจริงเช่นกัน ดังนั้น เครือข่าย Apollonian จึงอาจมีลักษณะเฉพาะเป็นกราฟระนาบที่สามารถระบายสีได้ 4 สีอย่างไม่ซ้ำกัน^{[ 4 ]} เครือข่าย Apollonian ยังให้ตัวอย่างของกราฟระนาบที่มีการระบายสี k สี ให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับk > 4 ^{[ 5 ]}

เครือข่าย Apollonian ยังเป็นกราฟระนาบสูงสุดที่ (เมื่อกำหนดหน้าภายนอกแล้ว) มีSchnyder wood ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นการแบ่งขอบของกราฟออกเป็นต้นไม้สามต้นที่สลับกัน โดยมีรากอยู่ที่จุดยอดทั้งสามของหน้าภายนอก^{[ 6 ]}

เครือข่าย Apollonian ไม่ได้สร้างตระกูลของกราฟที่ปิดภายใต้การดำเนินการของการหาไมเนอร์ของกราฟเนื่องจากการลบขอบแต่ไม่ลบจุดยอดออกจากเครือข่าย Apollonian จะสร้างกราฟที่ไม่ใช่เครือข่าย Apollonian อย่างไรก็ตาม ต้นไม้3-tree บางส่วน แบบระนาบ ซึ่งเป็นกราฟย่อยของเครือข่าย Apollonian นั้นปิดภายใต้ไมเนอร์ ดังนั้น ตามทฤษฎีบท Robertson–Seymour พวกมันสามารถระบุลักษณะได้ด้วย ไมเนอร์ต้องห้ามจำนวนจำกัดไมเนอร์ต้องห้ามขั้นต่ำสำหรับต้นไม้ 3-tree บางส่วนแบบระนาบคือกราฟขั้นต่ำสี่กราฟในบรรดาไมเนอร์ต้องห้ามสำหรับกราฟระนาบและต้นไม้ 3-tree บางส่วน ได้แก่กราฟสมบูรณ์K กราฟ สองส่วนสมบูรณ์K กราฟของทรงแปดเหลี่ยมและกราฟของปริซึมห้าเหลี่ยมกราฟ Apollonian คือกราฟสูงสุดที่ไม่มีกราฟทั้งสี่นี้เป็นไมเนอร์^{[ 7 ]}

การแปลง Y-Δซึ่งเป็นการดำเนินการที่แทนที่จุดยอดที่มีดีกรีสามในกราฟด้วยรูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดยอดข้างเคียงนั้น เพียงพอ (ร่วมกับการลบขอบขนาน) ที่จะลดเครือข่าย Apollonian ใดๆ ให้เหลือเพียงรูปสามเหลี่ยมเดียว และโดยทั่วไปแล้ว กราฟระนาบที่สามารถลดให้เหลือขอบเดียวได้ด้วยการแปลง Y-Δ การลบขอบขนาน การลบจุดยอดที่มีดีกรีหนึ่ง และการบีบอัดจุดยอดที่มีดีกรีสอง ก็คือต้นไม้ 3-tree บางส่วนแบบระนาบนั่นเอง กราฟคู่ของต้นไม้ 3-tree บางส่วนแบบระนาบก่อให้เกิดตระกูลกราฟปิดไมเนอร์อีกตระกูลหนึ่ง และก็คือกราฟระนาบที่สามารถลดให้เหลือขอบเดียวได้ด้วยการแปลง Δ-Y การลบขอบขนาน การลบจุดยอดที่มีดีกรีหนึ่ง และการบีบอัดจุดยอดที่มีดีกรีสอง^{[ 8 ]}

ในทุกกราฟย่อยของเครือข่ายอพอลโลเนียน จุดยอดที่เพิ่มเข้ามาล่าสุดจะมีดีกรีไม่เกินสาม ดังนั้นเครือข่ายอพอลโลเนียนจึงมีความเสื่อมสาม ลำดับการเพิ่มจุดยอดเพื่อสร้างเครือข่ายจึงเป็นลำดับความเสื่อม และเครือข่ายอพอลโลเนียนจึงสอดคล้องกับกราฟระนาบสูงสุดที่มีความเสื่อม 3

ลักษณะเฉพาะอีกประการหนึ่งของเครือข่ายอพอลโลเนียนเกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อ ของมัน กราฟระนาบสูงสุดใดๆ ก็สามารถแยกย่อยออกเป็นกราฟระนาบสูงสุดย่อยที่เชื่อมต่อกันด้วย 4 จุดยอดได้ โดยการแบ่งตามสามเหลี่ยมคั่น (สามเหลี่ยมที่ไม่ใช่หน้าของกราฟ): เมื่อกำหนดสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่หน้าใดๆ แล้ว เราสามารถสร้างกราฟระนาบสูงสุดขนาดเล็กกว่าสองกราฟได้ กราฟหนึ่งประกอบด้วยส่วนที่อยู่ภายในสามเหลี่ยม และอีกกราฟหนึ่งประกอบด้วยส่วนที่อยู่นอกสามเหลี่ยม กราฟระนาบสูงสุดที่ไม่มีสามเหลี่ยมคั่นซึ่งอาจสร้างขึ้นโดยการแบ่งซ้ำๆ ในลักษณะนี้ บางครั้งเรียกว่าบล็อก แม้ว่าชื่อนั้นจะถูกนำไปใช้กับส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองจุด ของกราฟที่ไม่ใช่กราฟที่เชื่อมต่อกันสองจุด ด้วย เครือข่ายอพอลโลเนียนคือกราฟระนาบสูงสุดที่บล็อกทั้งหมดมีโครงสร้างเหมือนกับกราฟสมบูรณ์  K⁴

ในทฤษฎีกราฟสุดขั้วเครือข่าย Apollonian ก็คือ กราฟระนาบ nจุดยอดที่จำนวนบล็อกมีค่าสูงสุดn − 3และกราฟระนาบที่จำนวนสามเหลี่ยมมีค่าสูงสุด3 n − 8เนื่องจาก กราฟย่อย K แต่ละ กราฟของกราฟระนาบต้องเป็นบล็อก ดังนั้นกราฟเหล่านี้จึงเป็นกราฟระนาบที่จำนวน กราฟย่อย K มีค่าสูงสุดn − 3และกราฟที่จำนวนคลิกทุกประเภทมีค่าสูงสุด8 n − 16 ^{[ 9 ]}

เครือข่ายอพอลโลเนียนตั้งชื่อตามอพอลโลเนียสแห่งเปอร์กาผู้ศึกษาปัญหาของอพอลโลเนียสเกี่ยวกับการสร้างวงกลมที่สัมผัสกับวงกลมอีกสามวง วิธีหนึ่งในการสร้างเครือข่ายอพอลโลเนียนคือการเริ่มต้นด้วยวงกลมสามวงที่สัมผัสกัน จากนั้นวาดวงกลมอีกวงหนึ่งซ้ำๆ ภายในช่องว่างที่เกิดจากวงกลมสามวงที่วาดไว้ก่อนหน้านี้ กลุ่มวงกลมแบบแฟร็กทัลที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้เรียกว่าปะเก็นอพอลโลเนียน

หากกระบวนการสร้างปะเก็น Apollonian หยุดลงก่อนกำหนด โดยมีเพียงชุดวงกลมจำนวนจำกัด กราฟที่มีจุดยอดหนึ่งจุดสำหรับแต่ละวงกลมและขอบหนึ่งเส้นสำหรับแต่ละคู่ของวงกลมสัมผัสจะเป็นเครือข่าย Apollonian ^{[ 10 ]}การมีอยู่ของชุดวงกลมสัมผัสซึ่งการสัมผัสกันแสดงถึงเครือข่าย Apollonian ที่กำหนด ก่อให้เกิดตัวอย่างง่ายๆ ของทฤษฎีบทการบรรจุวงกลม Koebe–Andreev–Thurstonซึ่งระบุว่ากราฟระนาบใดๆ ก็สามารถแสดงด้วยวงกลมสัมผัสในลักษณะเดียวกันได้^{[ 11 ]}

เครือข่ายอพอลโลเนียนเป็นกราฟระนาบที่เชื่อมต่อกัน 3 จุด ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของสไตน์นิทซ์ จึง สามารถแสดงได้เสมอในรูปกราฟของทรง หลายเหลี่ยมนูน ทรงหลายเหลี่ยมนูนที่แสดงถึงเครือข่ายอพอลโลเนียนคือ ทรงหลายเหลี่ยมซ้อนกัน 3 มิติทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถได้มาจากทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วโดยการติดทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วเพิ่มเติมทีละอันลงบนหน้าสามเหลี่ยมของมัน ดังนั้น เครือข่ายอพอลโลเนียนจึงอาจนิยามได้ว่าเป็นกราฟของทรงหลายเหลี่ยมซ้อนกัน 3 มิติ^{[ 12 ]}เป็นไปได้ที่จะหาการแสดงแทนของเครือข่ายอพอลโลเนียนใดๆ ในรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน 3 มิติ ซึ่งพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มที่มีขนาดพหุนาม ดีกว่าที่ทราบสำหรับกราฟระนาบอื่นๆ^{[ 13 ]}

การแบ่งสามเหลี่ยมแบบวนซ้ำออกเป็นสามเหลี่ยมย่อยสามรูปได้รับการศึกษาในฐานะ เทคนิค การแบ่งส่วนภาพในคอมพิวเตอร์วิชั่นโดยElcock, Gargantini & Walsh (1987)ในบริบทนี้ พวกเขาเรียกมันว่าการแบ่งสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าแบบ สามส่วน พวกเขาสังเกตว่า โดยการวางจุดยอดใหม่แต่ละจุดไว้ที่จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบ การสร้างสามเหลี่ยมสามารถเลือกได้ในลักษณะที่สามเหลี่ยมทั้งหมดมีพื้นที่เท่ากัน แม้ว่าพวกมันจะไม่ได้มีรูปร่างเหมือนกันทั้งหมดก็ตาม^{[ 14 ]}โดยทั่วไปแล้ว เครือข่าย Apollonian สามารถวาดลงบนระนาบได้โดยมีพื้นที่ที่กำหนดไว้ในแต่ละหน้า หากพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะพิกัดจุดยอดทั้งหมดก็จะเป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน^{[ 15 ]}

นอกจากนี้ ยังสามารถดำเนินการแบ่งย่อยสามเหลี่ยมเพื่อสร้างเครือข่าย Apollonian ในลักษณะที่ว่า ในแต่ละขั้นตอน ความยาวของขอบจะเป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นปัญหาที่ยังเปิดอยู่ว่ากราฟระนาบทุกกราฟมีภาพวาดที่มีคุณสมบัตินี้หรือไม่^{[ 16 ]}เป็นไปได้ที่จะหาภาพวาดของต้นไม้ 3 มิติระนาบที่มีพิกัดจำนวนเต็ม ใน เวลาพหุนาม ซึ่งทำให้พื้นที่ของ กล่องล้อมรอบภาพวาดมีขนาดเล็กที่สุด และทดสอบว่าต้นไม้ 3 มิติระนาบที่กำหนดสามารถวาดโดยให้จุดยอดอยู่บนเซตของจุดที่กำหนดได้หรือไม่^{[ 17 ]}

พลัมเมอร์ (1992)ใช้เครือข่ายอพอลโลเนียนเพื่อสร้างตระกูลอนันต์ของกราฟระนาบสูงสุดที่มีจำนวนจุดยอดเป็นเลขคู่ แต่ไม่มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบกราฟของพลัมเมอร์ถูกสร้างขึ้นในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เริ่มจากสามเหลี่ยมabcจะทำการแบ่งย่อยหน้าสามเหลี่ยมของการแบ่งย่อยที่ประกอบด้วยขอบbc ซ้ำ ๆ ผลลัพธ์ที่ได้คือกราฟที่ประกอบด้วยเส้นทางจากaไปยังจุดยอดสุดท้ายของการแบ่งย่อย พร้อมกับขอบจากจุดยอดแต่ละจุดไปยังbและcในขั้นตอนที่สอง แต่ละหน้าสามเหลี่ยมของกราฟระนาบที่ได้จะถูกแบ่งย่อยอีกครั้งหนึ่ง หากเส้นทางจากaไปยังจุดยอดสุดท้ายของการแบ่งย่อยในขั้นตอนแรกมีความยาวเป็นเลขคู่ จำนวนจุดยอดในกราฟโดยรวมก็จะเป็นเลขคู่เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ประมาณ 2/3 ของจุดยอดเป็นจุดยอดที่ถูกแทรกในขั้นตอนที่สอง สิ่งเหล่านี้ก่อตัวเป็นเซตอิสระและไม่สามารถจับคู่กันได้ อีกทั้งยังไม่มีจุดยอดเพียงพอนอกเซตอิสระที่จะหาการจับคู่สำหรับพวกมันทั้งหมด^{[ 18 ]}

แม้ว่าเครือข่าย Apollonian เองอาจไม่มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ แต่ กราฟ คู่ระนาบของเครือข่าย Apollonian เป็นกราฟ 3-regularที่ไม่มีขอบตัดดังนั้นตามทฤษฎีบทของPetersen (1891)จึงรับประกันได้ว่าจะมีอย่างน้อยหนึ่งการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้เป็นที่ทราบกันมากขึ้นว่า กราฟคู่ของเครือข่าย Apollonian มีจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบเป็นเลขชี้กำลังเสมอ^{[ 19 ]} László LovászและMichael D. Plummerตั้งข้อสันนิษฐานว่าขอบเขตล่างเลขชี้กำลังที่คล้ายกันนี้ใช้ได้ทั่วไปกับกราฟ 3-regular ทุกกราฟที่ไม่มีขอบตัด ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ได้รับการพิสูจน์ในภายหลัง

Andrade et al. (2005)ศึกษาเกี่ยวกับกฎกำลังในลำดับดีกรีของเครือข่ายประเภทพิเศษนี้ ซึ่งเกิดจากการแบ่งสามเหลี่ยมทั้งหมดออกเป็นจำนวนครั้งเท่ากัน พวกเขาใช้เครือข่ายเหล่านี้ในการจำลองการบรรจุพื้นที่ด้วยอนุภาคที่มีขนาดแตกต่างกัน จากผลงานของพวกเขา ผู้เขียนคนอื่นๆ ได้นำเสนอเครือข่าย Apollonian แบบสุ่ม ซึ่งเกิดจากการเลือกหน้าแบบสุ่มเพื่อแบ่งซ้ำๆ และพวกเขาแสดงให้เห็นว่าเครือข่ายเหล่านี้ก็เป็นไปตามกฎกำลังในการกระจายดีกรีเช่นกัน^{[ 20 ]} และมีระยะทางเฉลี่ยเล็กน้อย^{[ 21 ]} Alan M. Friezeและ Charalampos E. Tsourakakis ได้วิเคราะห์ดีกรีสูงสุดและค่าลักษณะเฉพาะของเครือข่าย Apollonian แบบสุ่ม^{[ 22 ]} Andrade et al. ยังสังเกตเห็นว่าเครือข่ายของพวกเขาสอดคล้องกับปรากฏการณ์โลกขนาดเล็กกล่าวคือ จุดยอดทั้งหมดอยู่ห่างกันในระยะทางเล็กน้อย จากหลักฐานเชิงตัวเลข พวกเขาประเมินระยะทางเฉลี่ยระหว่างคู่จุดยอดที่เลือกแบบสุ่มใน เครือข่าย n จุด ยอดประเภทนี้ให้เป็นสัดส่วนกับ(log n ) ^3/4แต่นักวิจัยในภายหลังแสดงให้เห็นว่าระยะทางเฉลี่ยเป็นสัดส่วนกับlog nจริงๆ^{[ 23 ]}

Butler & Graham (2010)สังเกตว่าหากจุดยอดใหม่แต่ละจุดถูกวางไว้ที่จุดศูนย์กลางภายในของสามเหลี่ยม โดยที่ขอบของจุดยอดใหม่จะแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม ชุดของสามมุมของสามเหลี่ยมในการแบ่งย่อย เมื่อตีความใหม่เป็นสามพิกัดแบรีเซนทริกของจุดในสามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีรูปร่างที่ลู่เข้าสู่สามเหลี่ยม Sierpinskiเมื่อจำนวนระดับของการแบ่งย่อยเพิ่มขึ้น^{[ 24 ]}

Takeo (1960)อ้างอย่างผิดพลาดว่าเครือข่าย Apollonian ทั้งหมดมีวงจร Hamiltonianอย่างไรก็ตามกราฟ Goldner–Hararyเป็นตัวอย่างที่ขัดแย้ง หากเครือข่าย Apollonian มีค่าความเหนียวมากกว่าหนึ่ง (หมายความว่าการลบชุดจุดยอดใดๆ ออกจากกราฟจะทำให้จำนวนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันน้อยกว่าจำนวนจุดยอดที่ถูกลบออก) เครือข่ายนั้นจะต้องมีวงจร Hamiltonian แต่ก็มีเครือข่าย Apollonian ที่ไม่ใช่ Hamiltonian ซึ่งมีค่าความเหนียวเท่ากับหนึ่ง^{[ 25 ]}

ปัญหาการนับเชิงการจัดเรียงแบบ Apollonian ได้รับการศึกษาโดยTakeo (1960)ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันก่อกำเนิด แบบง่าย f ( x )ที่อธิบายโดยสมการf ( x ) = 1 + x ( f ( x )) ^³ในฟังก์ชันก่อกำเนิดนี้ เทอมที่มีดีกรีnจะนับจำนวนเครือข่าย Apollonian ที่มีสามเหลี่ยมด้านนอกคงที่และ มีจุดยอด n + 3จุด ดังนั้น จำนวนเครือข่าย Apollonian (ที่มีสามเหลี่ยมด้านนอกคงที่) ที่มีจุดยอด 3, 4, 5, ... คือ:

1, 1, 3, 12, 55, 273, 1428, 7752, 43263, 246675, ... (ลำดับA001764ในOEIS )

ลำดับนี้ยังนับต้นไม้ไตรภาคและการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านเป็นเลขคี่ด้วย ตัวอย่างเช่น มีเครือข่ายอพอลโลเนียน 6 จุดยอด 12 เครือข่าย: สามเครือข่ายเกิดจากการแบ่งสามเหลี่ยมด้านนอกหนึ่งครั้งแล้วแบ่งสามเหลี่ยมที่ได้ออกเป็นสองส่วน และเก้าเครือข่ายเกิดจากการแบ่งสามเหลี่ยมด้านนอกหนึ่งครั้ง แบ่งสามเหลี่ยมภายในออกเป็นส่วนย่อยๆ แล้วแบ่งสามเหลี่ยมที่เล็กลงอีกส่วนหนึ่งออกเป็นส่วนย่อยๆ

Birkhoff (1930)เป็นบทความแรกๆ ที่ใช้รูปแบบคู่ของเครือข่าย Apollonian ซึ่งเป็นแผนที่ระนาบที่เกิดจากการวางพื้นที่ใหม่ซ้ำๆ ที่จุดยอดของแผนที่ที่เรียบง่ายกว่า เป็นตัวอย่างหนึ่งของแผนที่ระนาบที่มีการระบายสีน้อย

โครงสร้างทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเครือข่าย Apollonian ได้รับการศึกษาในสาขาการจัดเรียงเชิงโพลีเฮดรัลมา ตั้งแต่ช่วงต้นทศวรรษ 1960 เป็นอย่างน้อย เมื่อ Grünbaum (1963)ใช้มันเพื่ออธิบายกราฟที่สามารถสร้างขึ้นเป็นกราฟของโพลีโทปได้เพียงวิธีเดียว โดยไม่มีความกำกวมเชิงมิติหรือการจัดเรียง และMoon & Moser (1963)ใช้เพื่อค้นหาโพลีโทปเชิงซิมพลิเชีย ล ที่ไม่มีเส้นทางยาว ในทฤษฎีกราฟความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างความเป็นระนาบและความกว้างของต้นไม้ ย้อนกลับไปถึงRobertson & Seymour (1984)ซึ่งแสดงให้เห็นว่ากราฟตระกูลปิดไมเนอร์ทุกตระกูลจะมีความกว้างของต้นไม้ที่จำกัด หรือมีกราฟระนาบทั้งหมดอยู่ภายใน ต้นไม้ 3 มิติแบบระนาบ ในฐานะคลาสของกราฟ ได้รับการพิจารณาอย่างชัดเจนโดยHakimi & Schmeichel (1979) , Alon & Caro (1984) , Patil (1986)และผู้เขียนอีกหลายคนนับตั้งแต่นั้นมา

ชื่อ "เครือข่ายอพอลโลเนียน" ได้รับการตั้งโดยAndrade et al. (2005)สำหรับเครือข่ายที่พวกเขาศึกษาซึ่งระดับการแบ่งย่อยของสามเหลี่ยมมีความสม่ำเสมอทั่วทั้งเครือข่าย เครือข่ายเหล่านี้สอดคล้องทางเรขาคณิตกับรูปทรงหลายเหลี่ยมซ้อนกันชนิดหนึ่งที่เรียกว่าKleetope [ ^{26 ] ผู้}เขียนคนอื่นๆ ได้นำชื่อเดียวกันนี้ไปใช้ในวงกว้างมากขึ้นกับ 3-tree ระนาบในงานของพวกเขาซึ่งเป็นการขยายแบบจำลองของ Andrade et al. ไปยังเครือข่ายอพอลโลเนียนแบบสุ่ม^{[ 21 ]}การสร้างสามเหลี่ยมในลักษณะนี้ยังได้รับการตั้งชื่อว่า "การสร้างสามเหลี่ยมซ้อนกัน" ^{[ 27 ]}หรือ "การสร้างสามเหลี่ยมซ้อนกัน" ^{[ 28 ]}

• การแบ่งย่อย แบบแบรีเซนทริก (Barycentric subdivision ) คือวิธีการแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมขนาดเล็กอีกวิธีหนึ่ง
• พื้นผิวแบ่งย่อยแบบลูป (Loop subdivision surface)เป็นอีกวิธีหนึ่งในการแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมขนาดเล็กกว่า

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "เครือข่ายอะพอลโลเนียน" , MathWorld
• รหัสจำลอง Matlab