คณิตศาสตร์ในช่วงยุคทองของอิสลามโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงศตวรรษที่ 9 และ 10 สร้างขึ้นบนพื้นฐานของการสังเคราะห์คณิตศาสตร์กรีก ( ยูคลิด , อาร์คิมิดีส , อพอลโลนิอุส ) และคณิตศาสตร์อินเดีย ( อารยภัตตา , พราหมณคุปตะ ) พัฒนาการที่สำคัญของยุคนี้ ได้แก่ การขยายระบบค่าประจำหลักให้ครอบคลุมถึงเศษส่วนทศนิยมการศึกษาพีชคณิตอย่างเป็นระบบ^และความก้าวหน้าในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ [ ^{1 ]}

โลกอิสลามในยุคกลางมีการพัฒนาทางคณิตศาสตร์อย่างมีนัยสำคัญมูฮัมหมัด อิบนุ มูซา อัล-คาวาริซมี มีบทบาทสำคัญในการเปลี่ยนแปลงนี้ โดยได้นำพีชคณิตมาเป็นสาขาที่แยกต่างหากในศตวรรษที่ 9 แนวทางของ อัล-คาวาริซมีซึ่งแตกต่างจากประเพณีทางเลขคณิตก่อนหน้านี้ ได้วางรากฐานสำหรับการใช้เลขคณิตในพีชคณิตและมีอิทธิพลต่อความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นเวลานาน ผู้สืบทอดเช่นอัล-คาราจีได้ขยายงานของเขาและมีส่วนช่วยในการพัฒนาในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ ความสามารถในการใช้งานและการประยุกต์ใช้ในวงกว้างของวิธีการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ได้อำนวยความสะดวกในการเผยแพร่คณิตศาสตร์อาหรับไปยังตะวันตก ซึ่งมีส่วนสำคัญต่อวิวัฒนาการของคณิตศาสตร์ตะวันตก^{[ 2 ]}

ความรู้ทางคณิตศาสตร์ของชาวอาหรับแพร่กระจายผ่านช่องทางต่างๆ ในยุคกลางโดยได้รับแรงผลักดันจากการประยุกต์ใช้ วิธีการของ อัล-คาวาริซมี ในทางปฏิบัติ การ เผยแพร่ความรู้นี้ได้รับอิทธิพลไม่เพียงแต่จากปัจจัยทางเศรษฐกิจและการเมืองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการแลกเปลี่ยนทางวัฒนธรรมด้วย ตัวอย่างเช่น สงครามครูเสดและการเคลื่อนไหวการแปลยุคทองของอิสลามซึ่งกินเวลาตั้งแต่ศตวรรษที่ 8 ถึง 14 เป็นช่วงเวลาแห่งความก้าวหน้าอย่างมากในสาขาวิทยาศาสตร์ต่างๆ ดึงดูดนักวิชาการจากยุโรปยุคกลางที่ต้องการเข้าถึงความรู้นี้ เส้นทางการค้าและการปฏิสัมพันธ์ทางวัฒนธรรมมีบทบาทสำคัญในการแนะนำแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของชาวอาหรับสู่โลกตะวันตก การแปลตำราคณิตศาสตร์ของชาวอาหรับควบคู่ไปกับงานเขียนของกรีกและโรมันในช่วงศตวรรษที่ 14 ถึง 17 มีบทบาทสำคัญในการกำหนดภูมิทัศน์ทางปัญญาของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา

คณิตศาสตร์อาหรับ โดยเฉพาะพีชคณิต พัฒนาขึ้นอย่างมากในช่วงยุคกลางงาน ของ มูฮัมหมัด อิบนุ มูซา อัล-คาวาริซมี ( ภาษาอาหรับ : محمد بن موسى الخوارزمي ; ประมาณ ค.ศ. 780  – ประมาณ ค.ศ. 850 ) ระหว่าง ค.ศ. 813 ถึง 833 ในแบกแดด ถือเป็นจุดเปลี่ยน เขาได้นำคำว่า "พีชคณิต" มาใช้ในชื่อหนังสือของเขา " Kitab al-jabr wa al-muqabala " ซึ่งบ่งชี้ว่าเป็นสาขาวิชาที่แตกต่างออกไป เขาถือว่างานของเขาเป็น "งานสั้นๆ เกี่ยวกับการคำนวณโดย (กฎของ) การเติมเต็มและการลดทอน โดยจำกัดไว้เฉพาะสิ่งที่ง่ายที่สุดและมีประโยชน์ที่สุดในเลขคณิต" ^{[ 3 ]}

แนวทางของ อัล-คาวาริซมีถือเป็นแนวทางบุกเบิก เนื่องจากไม่ได้เกิดขึ้นจากประเพณี "เลขคณิต" ใดๆ ก่อนหน้านี้ รวมถึงของดิโอแฟนตัสด้วย เขาได้พัฒนาคำศัพท์ใหม่สำหรับพีชคณิต โดยแยกความแตกต่างระหว่างคำศัพท์พีชคณิตล้วนๆ กับคำศัพท์ที่ใช้ร่วมกับเลขคณิต อัล-คาวาริซมีสังเกตเห็นว่าการแสดงตัวเลขมีความสำคัญในชีวิตประจำวัน ดังนั้นเขาจึงต้องการค้นหาหรือสรุปวิธีการทำให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น ซึ่งต่อมาเรียกว่าพีชคณิต^{[ 3 ]}พีชคณิตของเขาในตอนแรกมุ่งเน้นไปที่สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง และเลขคณิตเบื้องต้นของพหุนามทวินามและพหุนามไตรนาม แนวทางนี้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแก้สมการโดยใช้รากและการคำนวณพีชคณิตที่เกี่ยวข้อง มีอิทธิพลต่อความคิดทางคณิตศาสตร์มานานหลังจากที่เขาเสียชีวิต

การพิสูจน์กฎการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบ (ax² ⁺ bx = c) ของอัล-คาวาริซมี ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า "กำลังสองบวกรากเท่ากับจำนวน" ถือเป็นความสำเร็จครั้งสำคัญในประวัติศาสตร์ของพีชคณิต ความก้าวหน้านี้ได้วางรากฐานสำหรับแนวทางที่เป็นระบบในการแก้สมการกำลังสอง ซึ่งกลายเป็นแง่มุมพื้นฐานของพีชคณิตที่พัฒนาขึ้นในโลกตะวันตก^{[ 4 ]}วิธีการของอัล-คาวาริซมี ซึ่งเกี่ยวข้องกับการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ไม่เพียงแต่ให้วิธีแก้ปัญหาที่ใช้ได้จริงสำหรับสมการประเภทนี้เท่านั้น แต่ยังแนะนำแนวทางที่เป็นนามธรรมและทั่วไปสำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์อีกด้วย ผลงานของเขาซึ่งสรุปไว้ในตำราสำคัญของเขา "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" (หนังสือสรุปเกี่ยวกับการคำนวณโดยการทำให้สมบูรณ์และสมดุล) ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในศตวรรษที่ 12 การแปลนี้มีบทบาทสำคัญในการถ่ายทอดความรู้พีชคณิตไปยังยุโรป ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากต่อนักคณิตศาสตร์ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา และมีส่วนในการกำหนดวิวัฒนาการของคณิตศาสตร์สมัยใหม่^{[ 4 ]}

การแพร่กระจายของคณิตศาสตร์อาหรับไปยังตะวันตกได้รับการอำนวยความสะดวกจากหลายปัจจัย ความสามารถในการใช้งานและการประยุกต์ใช้ในวงกว้างของวิธีการของอัล-คาวาริซมีนั้นโดดเด่นเป็นพิเศษ วิธีการเหล่านี้แปลงปัญหาเชิงตัวเลขและเรขาคณิตให้เป็นสมการในรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งนำไปสู่สูตรการแก้ปัญหาแบบแคนอนิก งานของเขาร่วมกับงานของผู้สืบทอดเช่นอัล-คาราจีได้วางรากฐานสำหรับความก้าวหน้าในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ รวมถึงทฤษฎีจำนวนการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์เชิงตรรกะ^{[ 5 ]}

พีชคณิตของอัล-คาวาริซมีเป็นศาสตร์ที่เป็นอิสระ มีมุมมองทางประวัติศาสตร์ และนำไปสู่ ​​"การทำให้พีชคณิตเป็นเชิงเลขคณิต" ในที่สุด ผู้สืบทอดของเขาได้ต่อยอดงานของเขา ปรับให้เข้ากับความท้าทายทางทฤษฎีและเทคนิคใหม่ๆ และปรับทิศทางไปสู่แนวทางเชิงเลขคณิตมากขึ้นสำหรับการคำนวณพีชคณิตนามธรรม

คณิตศาสตร์ของชาวอาหรับมีบทบาทสำคัญในการกำหนดทิศทางของคณิตศาสตร์ การแพร่กระจายไปยังโลกตะวันตกส่งผลกระทบอย่างมากต่อคณิตศาสตร์ตะวันตก

ช่วงเวลาที่รู้จักกันในชื่อยุคทองของอิสลาม ( ศตวรรษที่ 8 ถึง 14) โดดเด่นด้วยความก้าวหน้าอย่างมากในหลากหลายสาขา รวมถึงคณิตศาสตร์นักวิชาการในโลกอิสลามได้สร้างคุณูปการอย่างมากมายให้กับคณิตศาสตร์ดาราศาสตร์การแพทย์และวิทยาศาสตร์ อื่นๆ ส่งผลให้ความสำเร็จทางปัญญาของนักวิชาการอิสลามดึงดูดความสนใจของนักวิชาการในยุโรปยุคกลางที่ต้องการเข้าถึงความรู้มากมายนี้ เส้นทางการค้า เช่นเส้นทางสายไหมช่วยอำนวยความสะดวกในการเคลื่อนย้ายสินค้า ความคิด และความรู้ระหว่างตะวันออกและตะวันตก เมืองต่างๆ เช่นแบกแดดไคโรและคอร์โดบากลายเป็นศูนย์กลางการเรียนรู้และดึงดูดนักวิชาการจากภูมิหลังทางวัฒนธรรมที่แตกต่างกัน ดังนั้น ความรู้ทางคณิตศาสตร์จากโลกอิสลามจึงเข้าถึงยุโรปผ่านช่องทางต่างๆ ในขณะเดียวกันสงครามครูเสดได้เชื่อมโยงชาวยุโรปตะวันตกกับโลกอิสลาม แม้ว่าจุดประสงค์หลักของสงครามครูเสดคือด้านการทหาร แต่ก็มีการแลกเปลี่ยนทางวัฒนธรรมและการเปิดรับความรู้ของอิสลาม รวมถึงคณิตศาสตร์ด้วย นักวิชาการชาวยุโรปที่เดินทางไปยังดินแดนศักดิ์สิทธิ์และส่วนอื่นๆ ของโลกอิสลามได้เข้าถึงต้นฉบับภาษาอาหรับและตำราคณิตศาสตร์ ในช่วงศตวรรษที่ 14 ถึง 17 การแปลตำราคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับควบคู่ไปกับ ตำราภาษา กรีกและโรมันมีบทบาทสำคัญในการกำหนดภูมิทัศน์ทางปัญญาของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา บุคคลสำคัญอย่างฟิโบนาชชีซึ่งศึกษาในแอฟริกาเหนือและตะวันออกกลาง ได้ช่วยแนะนำและเผยแพร่ตัวเลขและแนวคิดทางคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับในยุโรป

การศึกษาพีชคณิตซึ่งชื่อนี้มาจาก คำภาษา อาหรับที่หมายถึงการทำให้สมบูรณ์หรือ "การรวมส่วนที่แตกหักเข้าด้วยกัน" ^{[ 6 ]}เฟื่องฟูในช่วงยุคทองของอิสลามมูฮัมหมัด อิบนุ มูซา อัล-ควาริซมีนักวิชาการชาวอาหรับในหอแห่งปัญญาในแบกแดดเป็นผู้ก่อตั้งพีชคณิต ร่วมกับนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกดิโอแฟนตัสซึ่งเป็นที่รู้จักในฐานะบิดาแห่งพีชคณิต ในหนังสือของเขาชื่อ " หนังสือสรุปเกี่ยวกับการคำนวณโดยการทำให้สมบูรณ์และการปรับสมดุล " อัล-ควาริซมีกล่าวถึงวิธีการหาคำตอบของรากบวกของสมการพหุนามดีกรีหนึ่งและดีกรีสอง (เชิงเส้นและกำลังสอง) เขาแนะนำวิธีการลดรูปและแตกต่างจากดิโอแฟนตัส เขายังให้คำตอบทั่วไปสำหรับสมการที่เขากล่าวถึงด้วย^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

พีชคณิตของอัล-ควาริซมีเป็นแบบวาทศิลป์ ซึ่งหมายความว่าสมการถูกเขียนออกมาเป็นประโยคเต็ม ซึ่งแตกต่างจากงานพีชคณิตของดิโอแฟนตัสที่เป็นแบบซิงโคเพต หมายความว่ามีการใช้สัญลักษณ์บางอย่าง การเปลี่ยนผ่านไปสู่พีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ ซึ่งใช้เฉพาะสัญลักษณ์เท่านั้น สามารถเห็นได้ในงานของอิบนุ อัล-บันนา อัล-มารากูชีและอบู อัล-ฮาซัน อิบนุ อาลี อัล-กาลาซาดี^{[ 10 ] [ 9 ]}

เกี่ยวกับผลงานของ Al-Khwarizmi, JJ O'Connor และEdmund F. Robertsonกล่าวว่า: ^{[ 11 ]}

“บางทีความก้าวหน้าที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์อาหรับเริ่มต้นขึ้นในช่วงเวลานี้ด้วยผลงานของอัล-ควาริซมี นั่นคือจุดเริ่มต้นของพีชคณิต สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าแนวคิดใหม่นี้มีความสำคัญเพียงใด มันเป็นการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่จากแนวคิดคณิตศาสตร์ของกรีกซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือเรขาคณิต พีชคณิตเป็นทฤษฎีที่รวมทุกสิ่งเข้าด้วยกัน ทำให้สามารถพิจารณาจำนวนตรรกยะจำนวนอตรรกยะขนาดทางเรขาคณิต ฯลฯ เป็น “วัตถุทางพีชคณิต” ได้ทั้งหมด มันทำให้คณิตศาสตร์มีเส้นทางการพัฒนาใหม่ที่กว้างขวางกว่าที่เคยมีมาก่อน และเป็นเครื่องมือสำหรับการพัฒนาในอนาคตของวิชานี้ อีกแง่มุมที่สำคัญของการนำแนวคิดพีชคณิตมาใช้คือ มันทำให้คณิตศาสตร์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับตัวมันเองในแบบที่ไม่เคยเกิดขึ้นมาก่อน”

นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ในช่วงเวลานั้นได้ต่อยอดพีชคณิตของอัล-คาวาริซมี อบู กามิล ชูจาอ์ได้เขียนหนังสือพีชคณิตพร้อมภาพประกอบทางเรขาคณิตและบทพิสูจน์ เขายังได้ระบุคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับปัญหาบางข้อของเขาด้วยอบู อัล-จูด , โอมาร์ คัยยัม และ ชารัฟ อัล-ดิน อัล-ตูซี ได้ค้น พบคำตอบหลายคำตอบของสมการกำลังสามโอมาร์ คัยยัม ได้ค้นพบคำตอบทางเรขาคณิตทั่วไปของสมการกำลังสาม

โอมาร์ คัยยัม (ราว ค.ศ. 1038/48 ในอิหร่าน – ค.ศ. 1123/24) ^{[ 12 ]}ได้เขียนตำราว่าด้วยการพิสูจน์ปัญหาของพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยวิธีการแก้สมการกำลังสามหรือสมการอันดับสามอย่าง เป็นระบบ โดยก้าวข้ามพีชคณิตของอัล-คาวาริซมี^{[ 13 ]}คัยยัมได้วิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยการหาจุดตัดของภาคตัดกรวยสองภาควิธีนี้เคยถูกใช้โดยชาวกรีก^{[ 14 ]}แต่พวกเขาไม่ได้ขยายวิธีการนี้ให้ครอบคลุมสมการทั้งหมดที่มีรากบวก^{[ 13 ]}

Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (? ในเมือง Tus ประเทศอิหร่าน – 1213/4) ได้พัฒนาแนวทางใหม่ในการตรวจสอบสมการกำลังสาม ซึ่งเป็นแนวทางที่เกี่ยวข้องกับการหาจุดที่พหุนามกำลังสามมีค่าสูงสุด ตัวอย่างเช่น ในการแก้สมการโดยที่aและbเป็นค่าบวก เขาจะสังเกตว่าจุดสูงสุดของเส้นโค้งเกิดขึ้นที่และสมการจะมีคำตอบเป็นศูนย์ คำตอบเดียว หรือสองคำตอบ ขึ้นอยู่กับว่าความสูงของเส้นโค้ง ณ จุดนั้นน้อยกว่า เท่ากับ หรือมากกว่าaผลงานที่เหลืออยู่ของเขาไม่ได้บ่งชี้ว่าเขาค้นพบสูตรสำหรับค่าสูงสุดของเส้นโค้งเหล่านี้ได้อย่างไร มีการเสนอข้อสันนิษฐานต่างๆ เพื่ออธิบายการค้นพบของเขา^{[ 15 ]}${\displaystyle \ x^{3}+a=bx}$${\displaystyle \ y=bx-x^{3}}$${\displaystyle x=\textstyle {\sqrt {\frac {b}{3}}}}$

ร่องรอยโดยนัยที่เก่าแก่ที่สุดของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ใน บทพิสูจน์ ของยูคลิดที่ว่าจำนวนของจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์ (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) การกำหนดหลักการอุปนัยอย่างชัดเจนครั้งแรกนั้นมาจากปาสคาล ใน หนังสือ Traité du triangle arithmétique (1665) ของเขา

ในระหว่างนั้นอัล-คาราจี (ประมาณ ค.ศ. 1000) ได้นำเสนอการพิสูจน์โดยนัยด้วยการอุปมานสำหรับลำดับเลขคณิต และ อัล-ซามาวาล ได้พัฒนาต่อยอด โดย เขาใช้การพิสูจน์นี้กับกรณีพิเศษของทฤษฎีบททวินามและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมปาสคาล

ชาวกรีกได้ค้นพบจำนวนอตรรกยะแต่พวกเขาไม่พอใจกับจำนวนเหล่านั้นและสามารถรับมือได้โดยการแยกแยะความแตกต่างระหว่างขนาดและจำนวนเท่านั้น ในมุมมองของชาวกรีก ขนาดจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องและสามารถใช้กับสิ่งต่างๆ เช่น ส่วนของเส้นตรง ในขณะที่จำนวนเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้น จำนวนอตรรกยะจึงสามารถจัดการได้เฉพาะในเชิงเรขาคณิตเท่านั้น และแท้จริงแล้วคณิตศาสตร์ของกรีกส่วนใหญ่เป็นเชิงเรขาคณิต นักคณิตศาสตร์ชาวอิสลาม รวมถึงAbū Kāmil Shujāʿ ibn AslamและIbn Tahir al-Baghdadiค่อยๆ ขจัดความแตกต่างระหว่างขนาดและจำนวน ทำให้ปริมาณอตรรกยะปรากฏเป็นสัมประสิทธิ์ในสมการและเป็นคำตอบของสมการพีชคณิตได้^{[ 16 ] [ 17 ]}พวกเขาทำงานกับจำนวนอตรรกยะในฐานะวัตถุทางคณิตศาสตร์ได้อย่างอิสระ แต่พวกเขาไม่ได้ตรวจสอบธรรมชาติของมันอย่างใกล้ชิด^{[ 18 ]}

ในศตวรรษที่สิบสองการแปลเลขคณิตของอัล-ควาริซมีเป็นภาษาละตินโดยใช้ตัวเลขอินเดียได้นำระบบเลขฐานสิบแบบ ตำแหน่ง มาสู่โลกตะวันตก [ ^{19 ] หนังสือ}สรุปเกี่ยวกับการคำนวณโดยการเติมเต็มและการปรับสมดุลของเขา ได้นำเสนอวิธีแก้ปัญหา สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบเป็นครั้งแรกในยุคฟื้นฟู ศิลปวิทยาการ ของยุโรป เขาได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้คิดค้นพีชคณิตคนแรก แม้ว่าปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่างานของเขามีพื้นฐานมาจากแหล่งข้อมูลอินเดียหรือกรีกที่เก่ากว่า^{[ 20 ] [ 21 ]}เขาได้แก้ไขภูมิศาสตร์ของปโตเลมีและเขียนเกี่ยวกับดาราศาสตร์และโหราศาสตร์ อย่างไรก็ตามซี.เอ. นัลลิโนแนะนำว่างานดั้งเดิมของอัล-ควาริซมีไม่ได้มีพื้นฐานมาจากปโตเลมี แต่มีพื้นฐานมาจากแผนที่โลกที่ดัดแปลง^{[ 22 ]}ซึ่งสันนิษฐานว่าอยู่ในภาษาซีเรียหรือภาษา อาหรับ

กฎไซน์ทรง กลม ถูกค้นพบในศตวรรษที่ 10 โดยมีผู้ค้นพบหลายคน ได้แก่อบู-มะห์มุด โคจันดี , นาซีร์ อัล-ดิน อัล-ตูซีและอบู นัสร์ มันซูร์โดยมีอบู อัล-วาฟา บูซจานีเป็นผู้ร่วมให้ข้อมูล^{[ 16 ]}หนังสือเกี่ยวกับส่วนโค้งที่ไม่รู้จักของทรงกลมของอิบนุ มุอาธ อัล-จายานีในศตวรรษที่ 11 ได้นำเสนอกฎไซน์ทั่วไป^{[ 23 ]}กฎไซน์ระนาบได้รับการอธิบายในศตวรรษที่ 13 โดยนาซีร์ อัล-ดิน อัล-ตูซีในหนังสือของเขาเรื่อง On the Sector Figureเขาได้กล่าวถึงกฎไซน์สำหรับสามเหลี่ยมระนาบและสามเหลี่ยมทรงกลม และได้ให้หลักฐานสำหรับกฎนี้^{[ 24 ]}

ในศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์อิสลามคุ้นเคยกับจำนวนลบจากผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย แต่การรับรู้และการใช้จำนวนลบในช่วงเวลานี้ยังค่อนข้างลังเล^{[ 25 ]}อัล-ควาริซมีไม่ได้ใช้จำนวนลบหรือสัมประสิทธิ์ลบ^{[ 25 ]}แต่ภายในห้าสิบปีอบู กามิลได้อธิบายกฎของเครื่องหมายสำหรับการขยายการคูณ[ ^{26 ] อั}ล-คาราจีเขียนไว้ในหนังสืออัล-ฟัครี ของเขา ว่า "ปริมาณลบต้องนับเป็นพจน์" ^{[ 25 ]}ในศตวรรษที่ 10 อบู อัล-วาฟา อัล-บูซจานีพิจารณาหนี้สินเป็นจำนวนลบในหนังสือว่าด้วยสิ่งที่จำเป็นจากวิทยาศาสตร์เลขคณิตสำหรับอาลักษณ์และนักธุรกิจ^{[ 26 ]}${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$

ในศตวรรษที่ 12 ผู้สืบทอดของอัล-คาราจีได้ระบุถึงกฎทั่วไปของเครื่องหมายและนำมาใช้แก้ปัญหาการหารพหุนาม [ ^{25 ] ดัง}ที่อัล-ซามาวาลเขียนไว้ว่า:

ผลคูณของจำนวนลบ— อัล-นาคิษ —กับจำนวนบวก— อัล-ซาอิด —จะเป็นลบ และผลคูณของจำนวนลบกับจำนวนบวกจะเป็นบวก ถ้าเราลบจำนวนลบออกจากจำนวนลบที่มากกว่า เศษที่เหลือจะเป็นผลต่างลบ ผลต่างจะยังคงเป็นบวกถ้าเราลบจำนวนลบออกจากจำนวนลบที่น้อยกว่า ถ้าเราลบจำนวนลบออกจากจำนวนบวก เศษที่เหลือจะเป็นผลรวมบวก ถ้าเราลบจำนวนบวกออกจากเลขยกกำลังว่างเปล่า ( มาร์ตะบะ คอลียะฮ์ ) เศษที่เหลือจะเป็นลบเช่นเดิม และถ้าเราลบจำนวนลบออกจากเลขยกกำลังว่างเปล่า เศษที่เหลือจะเป็นบวกเช่นเดิม^{[ 25 ]}

ระหว่างศตวรรษที่ 9 และ 10 นักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์อบู กามิลได้เขียนตำราที่ปัจจุบันสูญหายไปแล้วเกี่ยวกับการใช้หลักการตำแหน่งเท็จคู่ ซึ่งรู้จักกันในชื่อ " หนังสือแห่งความผิดพลาดสองประการ " ( Kitāb al-khaṭāʾayn ) งานเขียนที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่เกี่ยวกับหลักการตำแหน่งเท็จคู่จากตะวันออกกลางคือ งานเขียนของกุสตา อิบนุ ลูคา (ศตวรรษที่ 10) นักคณิตศาสตร์ ชาวอาหรับจากเมืองบาอัลเบกประเทศเลบานอนเขาได้พิสูจน์เทคนิคนี้ด้วยการพิสูจน์ทางเรขาคณิตแบบยุคลิด อย่างเป็นทางการ ในประเพณีของคณิตศาสตร์มุสลิมยุคทอง หลักการตำแหน่งเท็จคู่เป็นที่รู้จักในชื่อhisāb al-khaṭāʾayn ("การคำนวณด้วยความผิดพลาดสองประการ") เทคนิคนี้ถูกใช้มานานหลายศตวรรษเพื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ เช่น ปัญหาทางการค้าและทางกฎหมาย (การแบ่งมรดกตามกฎการสืบทอดมรดกในคัมภีร์อัลกุรอาน ) รวมถึงปัญหาเพื่อความบันเทิงด้วย อัลกอริทึมมักจะถูกจดจำด้วยความช่วยเหลือของวิธีช่วยจำเช่น บทกวีที่อ้างถึงอิบนุ อัล-ยาซามินและแผนภาพตาชั่งที่อธิบายโดยอัล-ฮัสซาร์และอิบนุ อัล-บันนาซึ่งทั้งสองเป็นนักคณิตศาสตร์เชื้อสายโมร็อกโก^{[ 27 ]}

อิทธิพลของคณิตศาสตร์อาหรับ-อิสลามในยุคกลางที่มีต่อส่วนอื่นๆ ของโลกนั้นกว้างขวางและลึกซึ้ง ทั้งในด้านวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ความรู้ของชาวอาหรับได้แพร่ไปสู่โลกตะวันตกผ่านทางสเปนและซิซิลีในช่วงการเคลื่อนย้ายการแปล “ชาวมัวร์ (ชาวมุสลิมตะวันตกจากส่วนหนึ่งของแอฟริกาเหนือที่เคยรู้จักกันในชื่อมอริเตเนีย) ข้ามไปยังสเปนในช่วงต้นศตวรรษที่ 7 โดยนำทรัพยากรทางวัฒนธรรมของโลกอาหรับมาด้วย” ^{[ 28 ]}ในศตวรรษที่ 13 พระเจ้าอัลฟอนโซที่ 10 แห่งกัสติยาได้ก่อตั้งโรงเรียนนักแปลโตเลโดขึ้นในราชอาณาจักรกัสติยาซึ่งนักวิชาการได้แปลงานทางวิทยาศาสตร์และปรัชญาจำนวนมากจากภาษาอาหรับเป็นภาษา ละติน การแปลเหล่านี้รวมถึงผลงานของอิสลามเกี่ยวกับตรีโกณมิติซึ่งช่วยเหลือนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวยุโรปในการศึกษาของพวกเขา นักวิชาการชาวยุโรปเช่นเจอราร์ดแห่งเครโมนา (1114–1187) มีบทบาทสำคัญในการแปลและเผยแพร่ผลงานเหล่านี้ ทำให้ผลงานเหล่านี้เข้าถึงผู้ชมได้กว้างขึ้น กล่าวกันว่าเครโมนาได้แปลเป็นภาษาละติน "ข้อความภาษาอาหรับที่สมบูรณ์ไม่น้อยกว่า 90 รายการ" ^{[ 28 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปได้สร้างพื้นฐานที่นักวิชาการอิสลามวางไว้ และได้พัฒนาตรีโกณมิติเชิงปฏิบัติเพิ่มเติมสำหรับการประยุกต์ใช้ในการนำทาง การทำแผนที่ และการนำทางทางดาราศาสตร์ ซึ่งผลักดันยุคแห่งการค้นพบและการปฏิวัติวิทยาศาสตร์ไปข้างหน้า การประยุกต์ใช้ตรีโกณมิติเชิงปฏิบัติสำหรับการนำทางและดาราศาสตร์มีความสำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ ในยุคแห่งการสำรวจ

อัล-บัตตานีเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์อิสลามผู้มีส่วนสำคัญในการพัฒนาตรีโกณมิติ เขา "คิดค้นฟังก์ชันตรีโกณมิติใหม่ สร้างตารางโคแทนเจนต์ และสร้างสูตรบางอย่างในตรีโกณมิติเชิงทรงกลม" ^{[ 29 ]}การค้นพบเหล่านี้ ร่วมกับผลงานทางดาราศาสตร์ของเขาซึ่งได้รับการยกย่องในด้านความแม่นยำ ได้พัฒนาการคำนวณและเครื่องมือทางดาราศาสตร์ให้ก้าวหน้าอย่างมาก

อัล-คายยาม (ค.ศ. 1048–1131) เป็นนักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ และกวีชาวเปอร์เซีย ผู้มีชื่อเสียงจากผลงานด้านพีชคณิตและเรขาคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งการวิจัยเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสาม เขาเป็น "คนแรกในประวัติศาสตร์ที่พัฒนาทฤษฎีเรขาคณิตของสมการที่มีดีกรี ≤ 3" ^{[ 30 ]}และมีอิทธิพลอย่างมากต่องานของเดส์การ์ต นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ซึ่งมักได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ก่อตั้งเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อันที่จริง "การอ่าน Géométrie ของ เดส์การ์ตคือการมองย้อนกลับไปที่อัล-คายยามและอัล-ตูซี และมองลงไปที่นิวตัน ไลบ์นิซ คราเมอร์ เบซูต์ และพี่น้องเบอร์นูลลี" ^{[ 30 ]}ปัญหามากมายที่ปรากฏใน "La Géométrie" (เรขาคณิต) มีรากฐานมาจากอัล-คายยาม

อะบู กามิล (ภาษาอาหรับ: أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاعหรือที่รู้จักกันในชื่อ อัล-ฮาซิบ อัล-มิศรี—แปลว่า "นักคำนวณชาวอียิปต์") (ประมาณ ค.ศ. 850 – ประมาณ ค.ศ. 930) ศึกษาพีชคณิตตามแบบของอั ล-คาวาริซมี ผู้เขียน หนังสือพีชคณิต หนังสือพีชคณิตของเขา(Kitāb fī al-jabr wa al-muqābala) นั้น "โดยพื้นฐานแล้วเป็นคำอธิบายและขยายความงานของอัล-คาวาริซมี ด้วยเหตุผลนั้นส่วนหนึ่งและด้วยคุณค่าของตัวหนังสือเอง หนังสือเล่มนี้จึงได้รับความนิยมอย่างแพร่หลายในโลกมุสลิม" ^{[ 28 ]}ประกอบด้วยโจทย์ 69 ข้อ ซึ่งมากกว่าที่อัล-คาวาริซมีมี 40 ข้อในหนังสือของเขา^{[ 28 ]}พีชคณิตของอบู กามิลมีบทบาทสำคัญในการกำหนดทิศทางของคณิตศาสตร์ตะวันตก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในผลกระทบต่องานของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เลโอนาร์โดแห่งปิซา ซึ่งเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางในนามฟิโบนาชชี ในหนังสือลิเบอร์ อาบาชี (ค.ศ. 1202) ฟิโบนาชชีได้นำแนวคิดจากนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับมาใช้อย่างกว้างขวาง โดยใช้โจทย์ประมาณ 29 ข้อจากหนังสือพีชคณิตโดยมีการดัดแปลงเพียงเล็กน้อย^{[ 28 ]}

แม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับจะมีผลงานพื้นฐานมากมายในการพัฒนาพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่นักประวัติศาสตร์ชาวตะวันตกในศตวรรษที่ 18 และต้นศตวรรษที่ 19 ก็ยังคงถือว่าวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์แบบคลาสสิกเป็นปรากฏการณ์เฉพาะของตะวันตก แม้ว่าบางครั้งจะมีการยอมรับผลงานทางคณิตศาสตร์ของนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับบ้าง แต่ก็ถือว่า "อยู่นอกเหนือประวัติศาสตร์หรือบูรณาการเฉพาะในส่วนที่สนับสนุนวิทยาศาสตร์ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นของยุโรป" ^{[ 31 ]}และเป็นเพียงนวัตกรรมทางเทคนิคบางอย่างต่อ มรดก ของกรีกมากกว่าที่จะเปิดสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมด ในงานของนักปรัชญาชาวฝรั่งเศสErnest Renanคณิตศาสตร์ของชาวอาหรับเป็นเพียง "ภาพสะท้อนของกรีกผสมผสานกับ อิทธิพล ของเปอร์เซียและอินเดีย" และตามDuhem "วิทยาศาสตร์ของชาวอาหรับเป็นเพียงการจำลองคำสอนที่ได้รับจากวิทยาศาสตร์ของกรีก" นอกจากจะถูกมองว่าเป็นเพียงส่วนเพิ่มเติมหรือภาพสะท้อนเล็กน้อยจากประเพณีอันยิ่งใหญ่ของวิทยาศาสตร์คลาสสิกของกรีกแล้ว ผลงานคณิตศาสตร์ของนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับยังถูกตำหนิว่าขาดความเข้มงวดและมุ่งเน้นไปที่การประยุกต์ใช้และการคำนวณเชิงปฏิบัติมากเกินไป และนี่คือเหตุผลที่นักประวัติศาสตร์ตะวันตกโต้แย้งว่าพวกเขาไม่สามารถบรรลุระดับเดียวกับนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกได้^{[ 31 ]}ดังที่Tanneryเขียนไว้ว่า คณิตศาสตร์ของชาวอาหรับ "ไม่ได้เหนือกว่าระดับที่ Diophantus บรรลุได้เลย" ในทางกลับกัน พวกเขามองว่านักคณิตศาสตร์ชาวตะวันตกดำเนินไปในแนวทางที่แตกต่างออกไปมาก ทั้งในวิธีการที่ใช้และจุดประสงค์สุดท้าย "ลักษณะเด่นของวิทยาศาสตร์ตะวันตกในต้นกำเนิดของกรีก เช่นเดียวกับการฟื้นฟูสมัยใหม่ คือการปฏิบัติตามมาตรฐานที่เข้มงวด" ^{[ 31 ]}ดังนั้น การพิสูจน์ที่ไม่เข้มงวดในหนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับจึงอนุญาตให้Bourbakiยกเว้นช่วงเวลาของชาวอาหรับเมื่อเขาย้อนรอยวิวัฒนาการของพีชคณิต^{[ 31 ]}และในทางกลับกัน ประวัติศาสตร์ของพีชคณิตคลาสสิกถูกเขียนขึ้นในฐานะผลงานของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาและต้นกำเนิดของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตถูกสืบย้อนไปถึงเดส์การ์ตในขณะที่ผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับถูกละเลย ตามคำพูดของราชิด: "เพื่อที่จะให้เหตุผลในการไม่รวมวิทยาศาสตร์ที่เขียนเป็นภาษาอาหรับออกจากประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ มีการอ้างถึงการขาดความเข้มงวด ลักษณะการคำนวณ และจุดมุ่งหมายเชิงปฏิบัติ ยิ่งไปกว่านั้น นักวิทยาศาสตร์ในยุคนั้นพึ่งพาวิทยาศาสตร์กรีกอย่างเคร่งครัด และสุดท้าย ไม่สามารถนำบรรทัดฐานการทดลองมาใช้ได้ จึงถูกลดบทบาทลงเหลือเพียงผู้พิทักษ์พิพิธภัณฑ์เฮลเลนิสติกที่เอาใจใส่" ^{[ 31 ]}

ในเยอรมนีและฝรั่งเศส ในศตวรรษที่ 18 มุมมอง แบบตะวันออกนิยมที่แพร่หลายคือ "ตะวันออกและตะวันตกขัดแย้งกัน ไม่ใช่ในเชิงภูมิศาสตร์ แต่เป็นในเชิงประวัติศาสตร์" ^{[ 31 ]}ซึ่งเรียก " ลัทธิเหตุผลนิยม " ว่าเป็นแก่นแท้ของตะวันตก ในขณะที่ขบวนการ "เสียงเรียกร้องจากตะวันออก " ที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 ถูกตีความว่า "ต่อต้านลัทธิเหตุผลนิยม" ^{[ 31 ]}และเป็นการกลับไปสู่วิถีชีวิตที่ "มีจิตวิญญาณและกลมกลืน" มากขึ้น ดังนั้น ลัทธิตะวันออก นิยมที่แพร่หลาย ในยุคนั้นจึงเป็นหนึ่งในเหตุผลหลักที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับมักถูกมองข้ามในผลงานของพวกเขา เนื่องจากผู้คนนอกตะวันตกถูกมองว่าขาดเหตุผลและจิตวิญญาณทางวิทยาศาสตร์ที่จำเป็นในการสร้างคุณูปการที่สำคัญต่อคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์

• อับดุลฮามิด อิบนุ เติร์ก (มีชีวิตอยู่ราวปี 830) (สมการกำลังสอง)
• สินด์ อิบนุ อาลี (เสียชีวิตหลังปี 864)
• ษะบิต อิบนุ กุรรอ (ค.ศ. 826–901)
• อัล-บัตตานี (ก่อน ค.ศ. 858 – 929)
• อาบู กามิล (ประมาณ ค.ศ. 850 – ประมาณ ค.ศ. 930)
• อบูล์ฮะซัน อัลอุคลิดีซี (ชั้น 952) (เลขคณิต)
• อับดุลอะซิซ อัลกอบีซี (เสียชีวิต ค.ศ. 967)
• อะบู ซาห์ล อัล-กูฮี (ประมาณ ค.ศ. 940–1000) (จุดศูนย์ถ่วง)
• อิบนุ อัล-ฮัยษัม (ประมาณ ค.ศ. 965–1040)
• อบู อัล-รัยฮาน อัล-บีรูนี (973–1048) (ตรีโกณมิติ)
• อัล-คัยยาม (ค.ศ. 1048–1131)
• อิบนุ มาฮาʾ (ค.ศ. 1116–1196)
• อิสมาอิล อัล-จาซารี (1136–1206)
• จัมชีด อัล-กาชี (ประมาณ ค.ศ. 1380–1429) (ระบบเลขฐานสิบและการประมาณค่าคงที่ของวงกลม)

• 
  ภาพแกะสลักเข็มทิศอันสมบูรณ์แบบของอบู ซาห์ล อัล-กูฮีสำหรับวาดภาคตัดกรวย
• 
  ทฤษฎีบทของอิบนุฮัยษัม

• ตัวเลขอาหรับ
• อิทธิพลของอินเดียต่อคณิตศาสตร์อิสลามในยุคกลาง
• ประวัติศาสตร์ของแคลคูลัส
• ประวัติศาสตร์ของเรขาคณิต
• วิทยาศาสตร์ในโลกอิสลามยุคกลาง
• ลำดับเหตุการณ์ด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมในโลกมุสลิม

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ในยุคทองของอิสลาม

• Hogendijk, Jan P. (มกราคม 1999). "บรรณานุกรมคณิตศาสตร์ในอารยธรรมอิสลามยุคกลาง" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-12-24 . สืบค้นเมื่อ2011-02-14 .
• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. (1999), "คณิตศาสตร์อาหรับ: ความฉลาดที่ถูกลืมเลือน?" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• ริชาร์ด โควิงตัน, การค้นพบวิทยาศาสตร์อาหรับอีกครั้ง , 2007, Saudi Aramco World