ในพีชคณิตการหารยาวพหุนามเป็นอัลกอริทึมสำหรับการหารพหุนามหนึ่งด้วยพหุนามอีกตัวหนึ่งที่มีดีกรี เท่ากันหรือต่ำกว่า ซึ่งเป็นรูปแบบทั่วไปของเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่คุ้นเคยกันดีที่เรียกว่าการหารยาวสามารถทำได้ง่ายด้วยมือ เนื่องจากเป็นการแบ่งปัญหาการหารที่ซับซ้อนออกเป็นปัญหาย่อยๆ การหารยาวพหุนามเป็นอัลกอริทึมที่ใช้การหารแบบยุคลิดของพหุนามโดยเริ่มต้นจากพหุนามสองตัวA ( ตัวตั้งหาร ) และB ( ตัวหาร ) ถ้าBไม่เป็นศูนย์ จะได้ผล หาร QและเศษเหลือRโดยที่

A = BQ + R ,

และR = 0 หรือดีกรีของRต่ำกว่าดีกรีของBเงื่อนไขเหล่านี้กำหนด ค่า QและR ได้อย่างเฉพาะ เจาะจง ผลลัพธ์R = 0 เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อพหุนามAมีBเป็นตัวประกอบ เท่านั้น ดังนั้น การหารยาวจึงเป็นวิธีการทดสอบว่าพหุนามหนึ่งมีพหุนามอีกพหุนามหนึ่งเป็นตัวประกอบหรือไม่ และถ้ามี ก็สามารถแยกตัวประกอบพหุนามนั้นออกมาได้

บางครั้งการใช้รูปแบบย่อที่เรียกว่าการหารสังเคราะห์จะเร็วกว่า เขียนน้อยกว่า และคำนวณน้อยกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวหารเป็นพหุนามเชิงเส้น

การหารยาวพหุนามเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของพหุนามอยู่ในฟิลด์ เดียวกัน ซึ่งหมายความว่าการหารด้วยสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์นั้นเป็นไปได้เสมอ ตัวอย่างของฟิลด์ได้แก่ จำนวนตรรกยะจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน

จงหาผลหารและเศษเหลือของการหาร ซึ่ง เป็นตัวตั้งหารด้วย ซึ่งเป็น ตัวหาร${\displaystyle (x^{3}-2x^{2}-4)}$${\displaystyle (x-3)}$

ขั้นแรก เงินปันผลจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+0x-4.}$

จากนั้นสามารถหาผลหารและเศษเหลือได้ดังนี้:

1. นำพจน์แรกของตัวตั้งหารด้วยพจน์ที่มีกำลังสูงสุดของตัวหาร (หมายถึงพจน์ที่มีกำลังx สูงที่สุด ซึ่งในกรณีนี้คือx ) แล้วนำผลลัพธ์ไปวางไว้เหนือเส้นประ: . ${\displaystyle x^{3}\div x=x^{2}}$

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\end{array}}}$

2. คูณตัวหารด้วยผลลัพธ์ที่เพิ่งได้ (พจน์แรกของผลหาร) เขียนผลลัพธ์ไว้ใต้สองพจน์แรกของตัวตั้งหาร: . ${\displaystyle x^{2}\cdot (x-3)=x^{3}-3x^{2}}$

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }x^{3}-3x^{2}\end{array}}}$

3. นำผลคูณที่เพิ่งได้มาลบออกจากพจน์ที่เหมาะสมของตัวตั้งหารเดิม (ระวังว่าการลบสิ่งที่มีเครื่องหมายลบนั้นเทียบเท่ากับการบวกสิ่งที่มีเครื่องหมายบวก) แล้วเขียนผลลัพธ์ไว้ด้านล่างจากนั้น นำพจน์ถัดไปจากตัวตั้งหารลงมา ${\displaystyle \left(x^{3}-2x^{2}\right)-\left(x^{3}-3x^{2}\right)=-2x^{2}+3x^{2}=x^{2}}$

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}x-3\ )\ 0x^{3}}+{\color {White}}x^{2}+0x\end{array}}}$

4. ทำซ้ำขั้นตอนสามขั้นตอนก่อนหน้า แต่คราวนี้ให้ใช้สองคำที่เพิ่งเขียนไปเป็นตัวตั้งหาร

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x{\color {White}{}+3}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}}$

5. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 4 คราวนี้ไม่มีอะไรให้ดึงลงมาแล้ว

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}}$

พหุนามที่อยู่เหนือเส้นแบ่งคือผลหารq ( x ) และตัวเลขที่เหลืออยู่คือ 5 ซึ่งเป็นเศษเหลือr ( x )

${\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง

${\displaystyle {\frac {x^{3}-2x^{2}-4}{x-3}}=\underbrace {x^{2}+x+3} _{q(x)}+{\frac {\overbrace {5} ^{r(x)}}{x-3}}}$

อั ลกอริทึม การหารยาวสำหรับการคำนวณเลขคณิตนั้นคล้ายคลึงกับอัลกอริทึมข้างต้นมาก โดยที่ตัวแปรxจะถูกแทนที่ด้วยเลข 10 (ในฐาน 10) และมีข้อจำกัดเพิ่มเติมคือสัมประสิทธิ์ทั้งหมดต้องไม่เป็นลบ

อัลกอริทึมนี้สามารถแสดงในรูปของรหัสเทียม ได้ ดังนี้ โดยที่+, −, และ×แทนการคำนวณทางพีชคณิตของพหุนาม lead คือฟังก์ชันที่ส่งคืนพจน์นำ (พจน์ที่มีดีกรีสูงสุด) ของพหุนามที่กำหนดเป็นอาร์กิวเมนต์อินพุตของฟังก์ชัน และlead(remainder) / lead(denominator)ให้พหุนามที่ได้จากการหารพจน์นำทั้งสอง:

ฟังก์ชันตัวเศษ/ตัวส่วนคือ กำหนดให้ตัวหารไม่เท่ากับ 0 ผลหาร ← 0 เศษเหลือ ← ตัวเศษ // ในแต่ละขั้นตอน ตัวเศษ = ตัวส่วน × ผลหาร + เศษเหลือ ในขณะที่เศษเหลือไม่เท่ากับ 0 และดีกรีของเศษเหลือมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวหารให้ทำซ้ำ tmp ← lead(เศษเหลือ) / lead(ตัวหาร) // หารพจน์นำหน้า ผลหาร ← ผลหาร + tmp เศษเหลือ ← เศษเหลือ − tmp × ตัวหาร คืนค่า (ผลหาร, เศษเหลือ) 

วิธีนี้ใช้ได้ผลดีเช่นกันเมื่อdegree(numerator) < degree(denominator); ในกรณีนั้น ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเพียงผลลัพธ์พื้นฐานเท่านั้น(0, numerator)และลูป while จะไม่ถูกเรียกใช้งานเลย

อัลกอริทึมนี้อธิบายวิธีการคำนวณด้วยกระดาษและดินสอข้างต้นdenominator อย่างแม่นยำ: เขียนไว้ทางด้านซ้ายของ ")"; quotientเขียนพจน์ต่อพจน์เหนือเส้นแนวนอน; tmpเก็บพจน์สุดท้ายของผลหารในแต่ละรอบการวนซ้ำ; พื้นที่ใต้เส้นแนวนอนใช้ในการคำนวณและบันทึกค่าของ ที่ตามremainderมา

สำหรับพหุนามคู่หนึ่ง ( A , B ) ทุกคู่ที่B ≠ 0 การหารพหุนามจะให้ผลหารQและเศษเหลือRโดยที่

${\displaystyle A=BQ+R,}$

และR = 0 หรือ degree( R ) < degree( B ) ยิ่งไปกว่านั้น ( Q , R ) เป็นคู่พหุนามที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีคุณสมบัตินี้

กระบวนการในการหาพหุนามQและR ที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง จากAและBเรียกว่าการหารแบบยุคลิด (บางครั้ง เรียกว่า การแปลงการหาร ) ดังนั้น การหารพหุนามแบบยาวจึงเป็นอัลกอริธึมสำหรับการหารแบบยุคลิด^{[ 1 ]}

บางครั้งอาจทราบรากหนึ่งหรือมากกว่าของพหุนาม ซึ่งอาจหาได้จากการใช้ทฤษฎีบทรากตรรกยะถ้าทราบรากrของพหุนามP ( x ) ดีกรีnแล้ว สามารถใช้การหารยาวพหุนามเพื่อแยกตัวประกอบP ( x ) ให้อยู่ในรูป( x − r ) Q ( x )โดยที่Q ( x ) เป็นพหุนามดีกรีn − 1 Q ( x ) คือผลหารที่ได้จากกระบวนการหาร เนื่องจาก ทราบว่า rเป็นรากของP ( x ) จึงทราบว่าเศษเหลือต้องเป็นศูนย์

ในทำนองเดียวกัน หาก ทราบรากหลายรากr , s , . . . ของP ( x ) แล้ว สามารถหารตัวประกอบเชิงเส้น ( x − r )ออกเพื่อให้ได้Q ( x ) จากนั้น สามารถหาร ( x − s )ออกจากQ ( x ) เป็นต้น^{[ a ]} ​​หรืออีกทางหนึ่ง สามารถหารตัวประกอบกำลังสองออกจากP ( x ) เพื่อให้ได้ผลหารที่มีดีกรีn − 2${\displaystyle (xr)(xs)=x^{2}-(r{+}s)x+rs}$

วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับพหุนามกำลังสาม และบางครั้งก็สามารถหาคำตอบทั้งหมดของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าทฤษฎีบทรากตรรกยะให้รากเดียว (ตรรกยะ) ของพหุนามกำลังห้า (ดีกรีห้า) ก็สามารถแยกตัวประกอบออกมาเพื่อหาผลหารของพหุนามกำลังสี่ (ดีกรีสี่) จากนั้นก็สามารถใช้สูตรหาคำตอบของพหุนามกำลัง สี่ เพื่อหาคำตอบอีกสี่รากของพหุนามกำลังห้าได้ อย่างไรก็ตาม ไม่มีวิธีทั่วไปในการแก้พหุนามกำลังห้าโดยใช้วิธีพีชคณิตล้วนๆ ดูทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินี

การหารพหุนามแบบยาวสามารถใช้เพื่อหาสมการของเส้นตรงที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพหุนามP ( x ) ที่จุดx = r ที่เฉพาะ เจาะจง^{[ 2 ]}ถ้าR ( x ) คือเศษเหลือของการหารP ( x ) ด้วย( x − r ) ²แล้วสมการของเส้นสัมผัสที่x = rกับกราฟของฟังก์ชันy = P ( x )คือy = R ( x ) โดยไม่คำนึงว่า r จะเป็นรากของพหุนาม หรือไม่

จงหาสมการของเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้งต่อไปนี้ ${\displaystyle y=(x^{3}-12x^{2}-42)}$

ที่:${\displaystyle x=1}$

เริ่มต้นด้วยการหารพหุนามด้วย: ${\displaystyle (x-1)^{2}=(x^{2}-2x+1)}$

${\displaystyle {\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1\ {\overline {)\ x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}}$

เส้นสัมผัสคือ ${\displaystyle y=(-21x-32)}$

การตรวจสอบความซ้ำซ้อนแบบวนรอบจะใช้เศษเหลือของการหารพหุนามเพื่อตรวจจับข้อผิดพลาดในข้อความที่ส่ง^{[ 3 ]}

เมื่อตัวหารเป็นพหุนามเอกลักษณ์ดีกรี 1 วิธีการหารสังเคราะห์เป็นทางเลือกแทนการหารยาวที่ใช้การเขียนและการคำนวณน้อยกว่า ในการหารพหุนามด้วยพหุนามเชิงเส้นเอกลักษณ์โดยใช้การหารสังเคราะห์ เราจะเขียนตารางสามแถว โดยให้สัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวแรกอยู่ในแถวบนสุด สัมประสิทธิ์ตัวแรกจะอยู่แถวล่างสุด และผล คูณของสัมประสิทธิ์ตัวแรกกับ สัมประสิทธิ์ตัวที่สองจะเขียนไว้ในแถวที่สองถัดจากสัมประสิทธิ์ตัวที่สอง นำ ผลลัพธ์ ทั้งสองมาบวกกัน ผลรวมจะอยู่ในแถวที่สาม และผลคูณของผลรวมกับสัมประสิทธิ์ตัวที่สองจะเขียนไว้ในแถวที่สองถัดจากสัมประสิทธิ์ตัวแรกและทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ ตัวอย่างเช่น ตารางที่สร้างขึ้นสำหรับการหารพหุนามด้วย พหุนามตัวแรก จะสร้างขึ้นตามขั้นตอนต่อไปนี้: จากการจัดเรียงเริ่มต้น ขั้นตอนแรกจะได้ ขั้นตอนการบวกและการคูณในภายหลังจะได้ การทำซ้ำกระบวนการนี้จะได้ตารางสุดท้าย ซึ่งบันทึกผลการหาร ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle x-c}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a_{n-1}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a_{n-2}}$${\displaystyle x^{3}-12x^{2}+24}$${\displaystyle x-3}$$${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&24\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&-27&\\\hline 1&-9&&\\\end{array}}\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-57\\\end{array}}\end{array}}}$$${\displaystyle x^{3}-12x^{2}+24=(x-3)(x^{2}-9x-27)-57}$

• ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม
• กฎของรัฟฟินี
• โดเมนยุคลิด
• ฐาน Gröbner
• ตัวหารร่วมมากของพหุนามสองตัว