In mathematics, a projective bundle is a fiber bundle whose fibers are projective spaces.

By definition, a schemeX over a Noetherian schemeS is a Pⁿ-bundle if it is locally a projective n-space; i.e., ${\displaystyle X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}}$ and transition automorphisms are linear. Over a regular scheme S such as a smooth variety, every projective bundle is of the form ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ for some vector bundle (locally free sheaf) E.^[1]

Every vector bundle over a varietyX gives a projective bundle by taking the projective spaces of the fibers, but not all projective bundles arise in this way: there is an obstruction in the cohomology groupH²(X,O*). To see why, recall that a projective bundle comes equipped with transition functions on double intersections of a suitable open cover. On triple overlaps, any lift of these transition functions satisfies the cocycle condition up to an invertible function. The collection of these functions forms a 2-cocycle which vanishes in H²(X,O*) only if the projective bundle is the projectivization of a vector bundle. In particular, if X is a compact Riemann surface then H²(X,O*)=0, and so this obstruction vanishes.

The projective bundle of a vector bundle E is the same thing as the Grassmann bundle${\displaystyle G_{1}(E)}$ of 1-planes in E.

The projective bundle P(E) of a vector bundle E is characterized by the universal property that says:^[2]

Given a morphism f: T → X, to factorize f through the projection map p: P(E) → X is to specify a line subbundle of f^*E.

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดให้fเป็นpจะได้ซับบันเดิลเส้นO (-1) ของp ^* Eซึ่งเรียกว่าบันเดิลเส้นสัจนิรันดร์บนP ( E ) ยิ่งไปกว่านั้นO (-1) นี้เป็นบันเดิลสากลในแง่ที่ว่า เมื่อบันเดิลเส้นLให้การแยกตัวประกอบf = p ∘ gแล้วLจะเป็นการดึงกลับของO (-1) ตามgดูCone# O (1)สำหรับการสร้างO (-1) ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นด้วย

บนP ( E ) มีลำดับที่แน่นอน ตามธรรมชาติ (เรียกว่าลำดับที่แน่นอนเชิงสัจพจน์):

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0}$

โดยที่Qเรียกว่ากลุ่มผลหารเชิงสัจพจน์

ให้E ⊂ Fเป็นเวกเตอร์บันเดิล (ชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับจำกัด) บนXและG = F / Eให้q : P ( F ) → Xเป็นการฉายภาพ แล้วแผนที่ธรรมชาติO (-1) → q ^* F → q ^* Gเป็นส่วนตัดทั่วโลกของชีฟ hom Hom( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1)ยิ่งไปกว่านั้น แผนที่ธรรมชาตินี้จะหายไปที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อจุดนั้นเป็นเส้นตรงในEกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ตำแหน่งศูนย์ของส่วนตัดนี้คือP ( E )

ตัวอย่างที่มีประโยชน์อย่างยิ่งของการสร้างนี้คือ เมื่อFเป็นผลรวมโดยตรงE ⊕ 1 ของEและบันเดิลเส้นตรงที่ไม่สำคัญ (เช่น ชีฟโครงสร้าง) ในกรณีนั้นP ( E ) จะเป็นไฮเปอร์เพลนในP ( E ⊕ 1) ซึ่งเรียกว่าไฮเปอร์เพลนที่อนันต์ และส่วนเติมเต็มของP ( E ) สามารถระบุได้ว่าเป็นEด้วยวิธีนี้P ( E ⊕ 1) จึงถูกเรียกว่าการเติมเต็มเชิงโปรเจกทีฟ (หรือ "การทำให้กระชับ") ของ E

บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟP ( E ) มีเสถียรภาพภายใต้การบิดEด้วยบันเดิลเส้นตรง กล่าวคือ เมื่อกำหนดบันเดิลเส้นตรงLแล้ว จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ:

${\displaystyle g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)}$

โดยที่^{[ 3 ]} (ในความเป็นจริง จะได้gโดยใช้คุณสมบัติสากลที่ใช้กับมัดเส้นทางด้านขวา) ${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$

ตัวอย่างมากมายของบันเดิลเชิงโปรเจคทีฟที่ไม่ธรรมดา สามารถพบได้โดยใช้ไฟเบรชันเหนือเช่นไฟเบรชันของเลฟเชตซ์ตัวอย่างเช่นพื้นผิว K3 วงรี คือพื้นผิว K3 ที่มีไฟเบรชัน${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} ^{1}}$

โดยที่เส้นใยสำหรับโดยทั่วไปจะเป็นเส้นโค้งวงรี เนื่องจากเส้นโค้งวงรีทุกเส้นเป็นเส้นโค้งจีนัส 1 ที่มีจุดที่โดดเด่น จึงมีส่วนตัดทั่วโลกของไฟเบอร์อยู่ เนื่องจากส่วนตัดทั่วโลกนี้ จึงมีแบบจำลองของการให้มอร์ฟิซึมแก่บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​4 ]}${\displaystyle E_{p}}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

กำหนดโดยสมการไวเออร์สตรัส

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

โดยที่แทนพิกัดท้องถิ่นของตามลำดับ และสัมประสิทธิ์${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

เป็นส่วนต่างๆ ของชีฟบน. โปรดทราบว่าสมการนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี เนื่องจากแต่ละพจน์ในสมการไวเออร์สตรัสมีดีกรีรวม(หมายถึงดีกรีของสัมประสิทธิ์บวกดีกรีของเอกนาม ตัวอย่างเช่น) ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle {\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$

บันเดิลสัมผัสและโดยทั่วไปแล้วบันเดิลกราสส์มันน์เป็นบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟบันเดิลสัมผัสหน่วยของแมนิโฟลด์รีมันน์คือการปกคลุมสองชั้นของบันเดิลสัมผัส เชิงโปรเจกที ฟ ของมัน

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงซ้อนเรียบแบบโปรเจคทีฟและEเป็นบันเดิลเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีอันดับrบน X ให้p : P ( E ) → Xเป็นบันเดิลโปรเจคทีฟของEแล้ววงแหวนโคฮอโมโลยี H ^* ( P ( E )) เป็นพีชคณิตเหนือ H ^* ( X ) ผ่านการดึงกลับp ^{* แล้ว} ชั้นเชอร์นแรกζ = c ₁ ( O (1)) สร้าง H ^* ( P ( E )) ด้วยความสัมพันธ์

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

โดยที่c _i ( E ) คือ ชั้นเชิร์นที่ iของEลักษณะที่น่าสนใจอย่างหนึ่งของคำอธิบายนี้คือ เราสามารถกำหนดชั้นเชิร์นเป็นสัมประสิทธิ์ในความสัมพันธ์ได้ ซึ่งเป็นแนวทางที่ Grothendieck ใช้

สำหรับฟิลด์อื่นๆ นอกเหนือจากฟิลด์เชิงซ้อน คำอธิบายเดียวกันนี้ยังคงเป็นจริง โดยใช้Chow ringแทน cohomology ring (โดยยังคงสมมติว่าXเป็นฟิลด์เรียบ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ Chow group จะมีการแยกส่วนผลรวมโดยตรง

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X)}$

ปรากฏว่าการแยกส่วนนี้ยังคงใช้ได้แม้ว่าXจะไม่เรียบหรือเป็นเชิงโปรเจกทีฟก็ตาม^{[ 5 ]}ในทางตรงกันข้ามA _k ( E ) = A _{k - r} ( X ) ผ่านโฮโมมอร์ฟิซึมของ Gysinด้วยเหตุผลที่ว่าไฟเบอร์ของEซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์นั้นสามารถหดตัวได้

• โครงการก่อสร้าง
• กรวย (เรขาคณิตเชิงพีชคณิต)
• พื้นผิวแบบเส้นตรง (ตัวอย่างหนึ่งของบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟ)
• พันธุ์เซเวรี-บราวเออร์
• พื้นผิว Hirzebruch