ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกหรือที่รู้จักกันในชื่ออะซิมโทติกคือการพัฒนาและการประยุกต์ใช้วิธีการที่สร้างคำตอบเชิงวิเคราะห์ โดยประมาณ สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์เมื่อตัวแปรหรือพารามิเตอร์มีค่ามาก น้อย หรือใกล้เคียงกับค่าที่กำหนด^{[ 1 ]}

ตัวอย่างหนึ่งของการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกคือการประมาณฟังก์ชัน เช่น ฟังก์ชันประมาณค่าฟังก์ชันได้อย่างแม่นยำสำหรับค่าบวกขนาดใหญ่ (รูปที่ 1) สำหรับความแม่นยำที่ต้องการ จะมีช่วงค่าที่สอดคล้องกันซึ่งความแม่นยำนั้นเกิดขึ้น ในกรณีนี้ ความแม่นยำที่เลือกโดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์น้อยกว่า 1% จะเกิดขึ้นเมื่อค่ามากกว่า 3.4 ${\textstyle {\widetilde {y}}(x)=x}$$y(x)=x+e^{-x}}$${\textstyle x}$${\textstyle x}$${\textstyle x}$

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะเป็นตัวอย่างหนึ่งของผลลัพธ์เชิงอะซิ้มโทติกที่สำคัญ สำหรับจำนวนจริงใดๆฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ซึ่งเขียนแทนด้วยคือจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันประมาณค่าฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนขนาดใหญ่ดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เมื่อจำนวนมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ฟังก์ชันประมาณค่าก็จะมีความแม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ ส่งผลให้ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ลดลงเรื่อยๆ ความสัมพันธ์เชิงอะซิ้มโทติกนี้แสดงได้โดยใช้สัญลักษณ์ดังนี้: ${\textstyle x}$${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {\pi } (x)}$${\textstyle x}$${\textstyle x/\ln(x)}$${\textstyle x}$${\textstyle x}$$${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\quad (x\to \infty )}$$

การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกมีผลกระทบต่อคณิตศาสตร์หลายสาขา นักคณิตศาสตร์ใช้การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกในการคำนวณการประมาณค่าฟังก์ชัน ฟังก์ชันโดยปริยาย อินทิกรัลฟังก์ชันแบบวนซ้ำ ผลรวมอนุกรมผลรวมย่อยคำตอบของสมการเชิงผลต่างคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์และคุณสมบัติของ อัลกอริ ทึมคอมพิวเตอร์^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

ตามหลักการแล้ว เมื่อกำหนดฟังก์ชันf ( x )และg ( x )เราจะกำหนดความสัมพันธ์ทวิภาคก็ต่อเมื่อ ( de Bruijn 1981 , §1.4) $${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{เมื่อ }}x\to \infty )}$$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$$

สัญลักษณ์~คือเครื่องหมายทิลเด (~ ) ความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซตของฟังก์ชันของxกล่าวคือฟังก์ชันfและg สมมูลกันในเชิงอะซิมโทติก (asymptotically equivalent ) โดเมนของfและgสามารถเป็นเซตใดก็ได้ที่ลิมิตนั้นกำหนดไว้ เช่น จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน จำนวนเต็มบวก

สัญลักษณ์เดียวกันนี้ยังใช้สำหรับวิธีการอื่นในการหาลิมิตด้วย เช่นx → 0 , x ↓ 0 , | x | → 0วิธีการหาลิมิตมักจะไม่ระบุอย่างชัดเจน หากเข้าใจได้จากบริบท

แม้ว่านิยามข้างต้นจะพบได้ทั่วไปในเอกสารทางวิชาการ แต่ก็มีปัญหาหากg ( x )เป็นศูนย์บ่อยครั้งอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อxเข้าใกล้ค่าลิมิต ด้วยเหตุนี้ ผู้เขียนบางคนจึงใช้นิยามทางเลือกอื่น นิยามทางเลือกนี้ ในสัญกรณ์ little-oคือf ~ gก็ต่อเมื่อ $${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

นิยามนี้เทียบเท่ากับนิยามก่อนหน้าหากg ( x )ไม่เป็นศูนย์ในบริเวณ ใกล้เคียง ค่าจำกัด^{[ 5 ] : §1.2}

ฟังก์ชันศูนย์ไม่สามารถเทียบเท่ากับฟังก์ชันอื่นใดได้เลย^{[ 6 ]}${\textstyle f(z)=0}$

ความสัมพันธ์ little -oมีคุณสมบัติการเรียงลำดับบางส่วน ที่กำหนดไว้เป็น ถ้าและจากนั้น^{[ 6 ]}${\textstyle f(x)=o(g(x))}$${\textstyle g(x)=o(h(x))}$${\textstyle f(x)=o(h(x))}$

ความสมมูลเชิงอะซิมโทติกมีคุณสมบัติ สะท้อนกลับสมมาตรและถ่ายทอดได้

ถ้าฟังก์ชันเหล่านี้เทียบเท่ากันฟังก์ชันที่ยกกำลังจริงก็จะเทียบเท่ากันด้วย: ^{[ 7 ]}${\textstyle f(x)\sim g(x)\,(x\to L)}$${\textstyle r}$$${\displaystyle (f(x))^{r}\sim (g(x))^{r}\ (x\to L)}$$

ถ้าฟังก์ชันเหล่านี้เทียบเท่ากันและฟังก์ชันเหล่านี้เทียบเท่ากันผลหารก็จะเทียบเท่ากันด้วย: ^{[ 7 ]} คุณสมบัติเหล่านี้อนุญาตให้แลกเปลี่ยนฟังก์ชันที่เทียบเท่ากันในเชิงอะซิมโทติกได้อย่างอิสระในนิพจน์พีชคณิตจำนวนมาก ${\textstyle f(x)\sim g(x)\,(x\to L)}$${\textstyle h(x)\sim k(x)\,(x\to L)}$$${\displaystyle {\frac {f(x)}{h(x)}}\sim {\frac {g(x)}{k(x)}}\ (x\to L)}$$

ฟังก์ชันที่เทียบเท่าเชิงอะซิมโทติกจะยังคงเทียบเท่าเชิงอะซิมโทติกภายใต้การอินทิเกรตหากตรงตามข้อกำหนดที่เกี่ยวข้องกับการลู่เข้า มีข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่าสำหรับฟังก์ชันที่เทียบเท่าเชิงอะซิมโทติกที่จะยังคงเทียบเท่าเชิงอะซิมโทติกภายใต้ การ หาอนุพันธ์^{[ 8 ]}

• แฟกทอเรียล —นี่คือค่าประมาณของสเตอร์ลิง$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$
• ฟังก์ชันพาร์ติชัน
  สำหรับจำนวนเต็มบวกnฟังก์ชันพาร์ติชันp ( n ) จะให้จำนวนวิธีในการเขียนจำนวนเต็มnเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก โดยไม่คำนึงถึงลำดับของตัวบวก$${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$
• ฟังก์ชันอากาศ
  ฟังก์ชัน Airy, Ai( x ), คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์y″ − xy = 0ซึ่งมีการประยุกต์ใช้มากมายในวิชาฟิสิกส์$${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$
• ฟังก์ชันของแฮงเคล$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชันf ( x )ในทางปฏิบัติคือการแสดงฟังก์ชันนั้นในรูปของอนุกรม ซึ่ง ผลรวมย่อยของอนุกรมนั้นไม่จำเป็นต้องลู่เข้า แต่การหาผลรวมย่อยเริ่มต้นใดๆ ก็ตามจะให้สูตรเชิงอะซิมโทติกสำหรับf แนวคิดก็คือ พจน์ที่ต่อเนื่องกันจะให้คำอธิบายที่แม่นยำมากขึ้นเรื่อย ๆ เกี่ยวกับลำดับการเติบโตของf

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายความว่าเรามีแต่ก็ยัง มี และสำหรับk ที่กำหนดไว้แต่ละค่า เมื่อพิจารณาจากนิยามของสัญลักษณ์ สมการสุดท้ายหมายถึงในสัญกรณ์ o เล็กนั่นคือ มีค่าน้อยกว่า มาก${\displaystyle f\sim g_{1},}$${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$${\displaystyle g_{k}.}$

ความสัมพันธ์จะมีความหมายสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกkซึ่งหมายความว่ารูปแบบนั้นเป็นมาตราส่วนเชิงอะซิมโทติกในกรณีนั้น ผู้เขียนบางคนอาจใช้ สัญลักษณ์นี้ อย่างไม่เหมาะสมเพื่อแสดงถึงข้อความดังกล่าวอย่างไรก็ตาม ควรระมัดระวังว่านี่ไม่ใช่การใช้สัญลักษณ์ตามมาตรฐาน และไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในหัวข้อ § คำจำกัดความ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$${\displaystyle g_{k}}$${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$${\displaystyle \sim }$

ในสถานการณ์ปัจจุบัน ความสัมพันธ์นี้ได้มาจากการรวมขั้นตอนkและk −1 เข้าด้วยกัน โดยการลบออกจากหนึ่งจะได้ie${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

ในกรณีที่การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกไม่ลู่เข้า สำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร จะมีผลรวมย่อยเฉพาะค่าหนึ่งที่ให้ค่าประมาณที่ดีที่สุด และการเพิ่มพจน์เพิ่มเติมจะทำให้ความแม่นยำลดลง ผลรวมย่อยที่เหมาะสมที่สุดนี้มักจะมีจำนวนพจน์มากขึ้นเมื่อตัวแปรเข้าใกล้ค่าลิมิต

• ฟังก์ชันแกมมา$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$
• อินทิกรัลเลขชี้กำลัง$${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
• ฟังก์ชันข้อผิดพลาด โดยที่m !!คือ แฟกทอเรี ยลคู่$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$

การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกมักเกิดขึ้นเมื่อใช้อนุกรมธรรมดาในนิพจน์เชิงรูปธรรมที่บังคับให้ค่าของอนุกรมอยู่นอกเหนือขอบเขตการลู่เข้า ตัวอย่างเช่น เราอาจเริ่มต้นด้วยอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม$${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$$

นิพจน์ทางด้านซ้ายใช้ได้บนระนาบเชิงซ้อน ทั้งหมด ในขณะที่ด้านขวามือลู่เข้าเฉพาะเมื่อ การคูณด้วยและการอินทิเกรตทั้งสองข้างจะ ได้${\displaystyle w\neq 1}$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle e^{-w/t}}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$$

อินทิกรัลทางด้านซ้ายมือสามารถแสดงได้ในรูปของอินทิกรัลเลขชี้กำลังส่วนอินทิกรัลทางด้านขวามือ หลังจากแทนที่แล้วอาจถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันแกมมาเมื่อประเมินทั้งสองค่า จะได้การกระจายเชิงอะซิมโทติก ${\displaystyle u=w/t}$$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$$

ในที่นี้ ด้านขวามือเห็นได้ชัดว่าไม่ลู่เข้าสำหรับค่า tใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์อย่างไรก็ตาม โดยการทำให้t มี ค่าน้อย และตัดทอนอนุกรมทางด้านขวาให้เหลือจำนวนพจน์ที่จำกัด เราอาจได้ค่าประมาณที่ดีพอสมควรสำหรับค่าของโดยการแทนค่าและสังเกตว่าส่งผลให้ได้การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ในบทความนี้ ${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$${\displaystyle x=-1/t}$${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

ในสถิติทางคณิตศาสตร์การแจกแจงเชิงอะซิมโทติกคือการแจกแจงสมมุติฐาน ซึ่งในแง่หนึ่งเป็นการแจกแจง "ลิมิต" ของลำดับของการแจกแจง การแจกแจงคือเซตเรียงลำดับของตัวแปรสุ่มZ _iสำหรับi = 1, …, nสำหรับจำนวนเต็มบวกn บางค่า การแจกแจงเชิงอะซิมโทติกอนุญาตให้iมีค่าได้ไม่จำกัด นั่นคือnเป็นอนันต์

กรณีพิเศษของการแจกแจงเชิงอะซิมโทติกคือเมื่อค่าในช่วงท้ายเข้าใกล้ศูนย์ กล่าวคือ ค่าZ _iเข้าใกล้ 0 เมื่อiเข้าสู่ค่าอนันต์ บางกรณีของ "การแจกแจงเชิงอะซิมโทติก" หมายถึงเฉพาะกรณีพิเศษนี้เท่านั้น

แนวคิดนี้อิงตามหลักการของ ฟังก์ชัน เชิงเส้นกำกับซึ่งเข้าใกล้ค่าคงที่ ( เส้นกำกับ ) อย่างราบรื่นเมื่อตัวแปรอิสระมีค่าเข้าสู่∞ โดยคำว่า "ราบรื่น" ในที่นี้หมายความว่า สำหรับค่าความใกล้เคียงที่ต้องการ epsilon จะมีค่าของตัวแปรอิสระค่าหนึ่งที่หลังจากนั้นฟังก์ชันจะไม่แตกต่างจากค่าคงที่เกินกว่า epsilon

เส้นกำกับคือเส้นตรงที่เส้นโค้งเข้าใกล้แต่ไม่เคยพบหรือตัดผ่าน โดยทั่วไปแล้ว อาจกล่าวได้ว่าเส้นโค้งพบกับเส้นกำกับ "ที่อนันต์" แม้ว่านี่จะไม่ใช่คำจำกัดความที่แม่นยำก็ตาม ในสมการนี้ ค่า yจะมีขนาดเล็กลงเรื่อยๆ เมื่อค่า xเพิ่มขึ้น ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$

การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกถูกนำมาใช้ใน วิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์หลายสาขาในทางสถิติทฤษฎีเชิงอะซิมโทติกให้ค่าประมาณจำกัดของความน่าจะเป็นของการแจกแจงของสถิติจากตัวอย่างเช่นสถิติอัตราส่วนความน่าจะเป็น และค่าเฉลี่ยของความเบี่ยงเบนอย่างไรก็ตาม ทฤษฎีเชิงอะซิมโทติกไม่ได้ให้วิธีการประเมินการแจกแจงของสถิติจากตัวอย่างที่มีขนาดจำกัด ขอบเขตที่ไม่ใช่เชิงอะซิมโทติกนั้นได้มาจากวิธีการของทฤษฎีการประมาณค่า

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้มีดังต่อไปนี้

• ในคณิตศาสตร์ประยุกต์การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกถูกนำมาใช้เพื่อสร้างวิธีการเชิงตัวเลขในการประมาณคำตอบของสมการ
• ในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น วิธีการประมาณค่าเชิงอนุกรม (asymptotics) ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์พฤติกรรมในระยะยาวหรือในตัวอย่างขนาดใหญ่ของตัวแปรสุ่มและตัวประมาณค่า
• ในวิทยาการคอมพิวเตอร์การวิเคราะห์อัลกอริทึมจะประเมินประสิทธิภาพของอัลกอริทึมและแสดงออกมาในรูปของสัญกรณ์บิ๊กโอ (Big O notation )
• พฤติกรรมของระบบทางกายภาพตัวอย่างเช่นกลศาสตร์เชิงสถิติ
• ในการวิเคราะห์อุบัติเหตุเมื่อระบุสาเหตุของการชนโดยใช้แบบจำลองการนับจำนวนอุบัติเหตุที่มีจำนวนมากในช่วงเวลาและพื้นที่ที่กำหนด

การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกเป็นเครื่องมือสำคัญในการสำรวจสม การเชิงอนุพันธ์ สามัญและ เชิงอนุพันธ์ ย่อยที่เกิดขึ้นในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริง^{[ 9 ]} ตัวอย่างที่แสดงให้เห็นคือการหาอนุพันธ์ของสมการชั้นขอบเขตจากสมการนาเวียร์-สโตกส์ แบบสมบูรณ์ ที่ควบคุมการไหลของของเหลว ในหลายกรณี การขยายเชิงอะซิมโทติกอยู่ในกำลังของพารามิเตอร์ขนาดเล็กε : ในกรณีของชั้นขอบเขต นี่คือ อัตราส่วน ไร้มิติของความหนาของชั้นขอบเขตต่อมาตราส่วนความยาว ทั่วไป ของปัญหา อันที่จริง การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเน้นไปที่พารามิเตอร์ไร้มิติซึ่งแสดงให้เห็นหรือสันนิษฐานว่ามีขนาดเล็กโดยพิจารณาจากมาตราส่วนของปัญหาที่กำลังพิจารณาอยู่^{[ 9 ]}

การขยายอนุกรมเชิงอะ ซิมโทติกมักเกิดขึ้นในการประมาณค่าอินทิกรัลบางประเภท ( เช่น วิธีของลาปลาสวิธีจุดอานม้าวิธีความชันสูงสุด ) หรือในการประมาณค่าการกระจายความน่าจะเป็น (เช่น อนุกรมเอ็ดจ์เวิร์ธ ) กราฟของไฟน์แมนในทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกซึ่งมักไม่ลู่เข้า

เดอ บรูอิน ยกตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทเชิงอนุกรมในบทสนทนาต่อไปนี้ระหว่าง ดร. เอ็นเอนักวิเคราะห์เชิงตัวเลขและ ดร. เอเอ นักวิเคราะห์เชิงอนุกรม:

NA: ฉันต้องการประเมินฟังก์ชันของฉันสำหรับค่าขนาดใหญ่ของโดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 1% ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

AA: . ${\displaystyle f(x)=x^{-1}+\mathrm {O} (x^{-2})\qquad (x\to \infty )}$

NA: ขอโทษค่ะ ฉันไม่เข้าใจ

เอเอ:${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<8x^{-2}\qquad (x>10^{4}).}$

NA: แต่ค่าของฉันมีแค่ 100 เท่านั้น ${\displaystyle x}$

AA: ทำไมคุณไม่บอกตั้งแต่แรก? ผลการประเมินของผมบอกว่า...

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<57000x^{-2}\qquad (x>100).}$

NA: นี่ไม่ใช่เรื่องใหม่สำหรับฉัน ฉันรู้เรื่องนี้อยู่แล้ว ${\displaystyle 0<f(100)<1}$

AA: ผมสามารถปรับปรุงประมาณการบางส่วนของผมได้เล็กน้อย ตอนนี้ผมพบว่า

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<20x^{-2}\qquad (x>100).}$

NA: ฉันขอแค่ 1% ไม่ใช่ 20%

AA: มันแทบจะเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันจะได้รับแล้ว ทำไมคุณไม่ลองใช้ค่าที่มากกว่านี้ล่ะ? ${\displaystyle x}$

NA: !!! ฉันคิดว่าถามเครื่องคำนวณอิเล็กทรอนิกส์ของฉันน่าจะดีกว่า

เครื่องจักร: f(100) = 0.01137 42259 34008 67153

AA: ผมบอกคุณแล้วไม่ใช่เหรอ? การประมาณการของผมที่ 20% นั้นไม่ห่างจากค่าความคลาดเคลื่อนจริงที่ 14% มากนัก

NA: !!! . . . !

หลายวันต่อมา คุณ NA ต้องการทราบค่าของ f(1000) แต่เครื่องของเธอต้องใช้เวลาคำนวณนานถึงหนึ่งเดือนจึงจะให้คำตอบได้ เธอจึงกลับไปหาเพื่อนร่วมงาน Asymptotic ของเธอ และได้รับคำตอบที่น่าพอใจอย่างยิ่ง^{[ 2 ] : 19}

• การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก  — หน้าหลักของวารสาร ซึ่งจัดพิมพ์โดย IOS Press
• บทความเกี่ยวกับการวิเคราะห์อนุกรมเวลาโดยใช้การแจกแจงเชิงอะซิมโทติก