กำหนดให้มีอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี${\displaystyle r}$โดยเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งหนึ่งช่วง${\displaystyle s}$ตำแหน่งเชิงมุมของมันคือ${\displaystyle \theta }$เมื่อเทียบกับตำแหน่งเริ่มต้นของมัน ซึ่ง${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$.

ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ นิยมใช้หน่วยเรเดียนซึ่งเป็นหน่วยวัดมุมระนาบ ให้มีค่าเท่ากับ 1 โดยมักละเว้นหน่วยนี้ไป การแปลงหน่วยทำได้ดังนี้: $${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}\,,\quad 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.}$$

การกระจัดเชิงมุม คือ การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งเชิงมุม: $${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \Delta \theta }$คือการกระจัดเชิงมุม${\displaystyle \theta _{1}}$คือตำแหน่งเชิงมุมเริ่มต้น และ${\displaystyle \theta _{2}}$คือตำแหน่งเชิงมุมสุดท้าย

การเปลี่ยนแปลงของการกระจัดเชิงมุมต่อหน่วยเวลาเรียกว่าความเร็วเชิงมุม โดยมีทิศทางไปตามแกนการหมุน สัญลักษณ์ของความเร็วเชิงมุมคือ${\displaystyle \omega }$และหน่วยโดยทั่วไปคือ เรเดียนต่อวินาที (rad s⁻¹ ⁾ . ความเร็วเชิงมุมคือขนาดของความเร็วเชิงมุม $${\displaystyle {\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}$$

ความเร็วเชิงมุมทันทีนั้นกำหนดโดย $${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.}$$

โดยใช้สูตรสำหรับตำแหน่งเชิงมุมและปล่อยให้${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}}$นอกจากนี้ เรายังมี $${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle v}$คือความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ของอนุภาค

ความเร็วเชิงมุมและความถี่มีความสัมพันธ์กันโดย $${\displaystyle \omega ={2\pi f}\,.}$$

ความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนแปลงไปบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของความเร่งเชิงมุมในวัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งโดยทั่วไปวัดเป็นเรเดียนต่อวินาที^²ความเร่งเชิงมุมเฉลี่ย${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ในช่วงเวลา Δt จะกำหนดโดย $${\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}$$

ความเร่งทันทีα ( t ) กำหนดโดย $${\displaystyle \alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}$$

ดังนั้น ความเร่งเชิงมุมจึงเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุม เช่นเดียวกับที่ความเร่งเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว

ความเร่งเชิงเส้นของจุดบนวัตถุที่กำลังหมุนนั้นกำหนดโดย $${\displaystyle a=r\alpha ,}$$ โดยที่rคือรัศมีหรือระยะห่างจากแกนหมุน นี่คือส่วนประกอบสัมผัสของความเร่ง: มันสัมผัสกับทิศทางการเคลื่อนที่ของจุด ถ้าส่วนประกอบนี้เป็น 0 การเคลื่อนที่จะเป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอและความเร็วจะเปลี่ยนทิศทางเท่านั้น

ความเร่งในแนวรัศมี (ตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่) กำหนดโดย $${\displaystyle a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\โอเมก้า ^{2}r\,.}$$ มันมีทิศทางพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางของการเคลื่อนที่แบบหมุน และมักเรียกว่า ความเร่ง สู่ศูนย์กลาง

ความเร่งเชิงมุมเกิดจากแรงบิดซึ่งสามารถมีค่าเป็นบวกหรือลบได้ตามหลักการของความถี่เชิงมุมบวกและลบ ความสัมพันธ์ระหว่างแรงบิดและความเร่งเชิงมุม (ความยากในการเริ่มต้น หยุด หรือเปลี่ยนทิศทางการหมุน) กำหนดโดยโมเมนต์ความเฉื่อย :${\displaystyle {\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}=I\alpha }$.

เมื่อความเร่งเชิงมุมคงที่ ปริมาณทั้งห้า ได้แก่ การกระจัดเชิงมุม${\displaystyle \theta }$ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้น${\displaystyle \omega _{1}}$ความเร็วเชิงมุมสุดท้าย${\displaystyle \omega _{2}}$ความเร่งเชิงมุม${\displaystyle \alpha }$และเวลา${\displaystyle t}$สามารถอธิบายได้ด้วยสมการจลศาสตร์สี่สมการ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{2}&=\omega _{1}+\alpha t\\\theta &=\omega _{1}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{2}^{2}&=\omega _{1}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{2}+\omega _{1}\right)t\end{aligned}}}$$

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ φ${\displaystyle I}$โมเมนต์ความเฉื่อย คือค่าที่ใช้วัดความต้านทานของวัตถุต่อการเปลี่ยนแปลงการหมุน ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยมีหน่วยเป็น กิโลกรัมเมตร² (kg m² ⁾ค่านี้ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุ กล่าวคือ มวลที่เพิ่มขึ้นจะทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยเพิ่มขึ้น นอกจากนี้ยังขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของมวลด้วย กล่าวคือ การกระจายมวลให้ห่างจากจุดศูนย์กลางการหมุนมากขึ้นจะทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยเพิ่มขึ้นในระดับที่มากขึ้น สำหรับอนุภาคเดี่ยวที่มีมวล ...${\displaystyle m}$ระยะทาง${\displaystyle r}$จากแกนการหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยจะกำหนดโดย $${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

แรงบิด${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}$คือผลของการบิดที่เกิดจากแรงFที่กระทำต่อวัตถุที่กำลังหมุน ซึ่งอยู่ที่ตำแหน่งrจากแกนหมุนของมัน ในทางคณิตศาสตร์ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}$$ โดยที่ × หมายถึงผลคูณเชิงเวกเตอร์ แรงบิดสุทธิที่กระทำต่อวัตถุจะทำให้เกิดความเร่งเชิงมุมของวัตถุตามสมการ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},}$$ เช่นเดียวกับF = m aในพลศาสตร์เชิงเส้น

งานที่ทำโดยแรงบิดที่กระทำต่อวัตถุนั้น เท่ากับขนาดของแรงบิดคูณด้วยมุมที่ใช้แรงบิดนั้น: $${\displaystyle W=\tau \theta .}$$

กำลังของแรงบิดเท่ากับงานที่ทำโดยแรงบิดต่อหน่วยเวลา ดังนั้น: $${\displaystyle P=\tau \omega .}$$

โมเมนตัมเชิงมุม${\displaystyle \mathbf {L} }$เป็นตัววัดความยากในการทำให้วัตถุที่กำลังหมุนหยุดนิ่ง โดยกำหนดสูตรดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$$โดยผลรวมนั้นคำนวณจากอนุภาคทั้งหมดในวัตถุ

โมเมนตัมเชิงมุม คือ ผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุม: $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldสัญลักษณ์ {\omega }},}$$ เช่นเดียวกับp = m vในพลศาสตร์เชิงเส้น

ในปรากฏการณ์การหมุน โมเมนตัมเชิงมุมเปรียบเสมือนโมเมนตัมเชิงเส้น ยิ่งโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่กำลังหมุน เช่น ลูกข่าง มีค่ามากเท่าใด ก็ยิ่งมีแนวโน้มที่จะหมุนต่อไปมากเท่านั้น

โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่กำลังหมุนนั้นแปรผันตรงกับมวลของวัตถุและอัตราการหมุน นอกจากนี้ โมเมนตัมเชิงมุมยังขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของมวลเทียบกับแกนหมุนด้วย กล่าวคือ ยิ่งมวลอยู่ห่างจากแกนหมุนมากเท่าใด โมเมนตัมเชิงมุมก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น วัตถุที่เป็นแผ่นเรียบ เช่น เครื่องเล่นแผ่นเสียง จะมีโมเมนตัมเชิงมุมน้อยกว่าทรงกระบอกกลวงที่มีมวลและอัตราการหมุนเท่ากัน

เช่นเดียวกับโมเมนตัมเชิงเส้น โมเมนตัมเชิงมุมเป็นปริมาณเวกเตอร์ และการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมบ่งชี้ว่าทิศทางของแกนหมุนมีแนวโน้มที่จะคงที่ ด้วยเหตุนี้ ลูกข่างที่กำลังหมุนจึงยังคงตั้งตรงอยู่ ในขณะที่ลูกข่างที่อยู่นิ่งจะล้มลงทันที

สมการโมเมนตัมเชิงมุมสามารถใช้เพื่อเชื่อมโยงโมเมนต์ของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุรอบแกน (บางครั้งเรียกว่าแรงบิด) และอัตราการหมุนรอบแกนนั้นได้

แรงบิดและโมเมนตัมเชิงมุมมีความสัมพันธ์กันตามสมการ $${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},}$$ เช่นเดียวกับF = d p / dtในพลศาสตร์เชิงเส้น ในกรณีที่ไม่มีแรงบิดภายนอก โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุจะคงที่ การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมนั้นเห็นได้ชัดเจนในกีฬาสเก็ตลีลา : เมื่อดึงแขนเข้าใกล้ลำตัวขณะหมุนตัว โมเมนต์ความเฉื่อยจะลดลง ดังนั้นความเร็วเชิงมุมจึงเพิ่มขึ้น

พลังงานจลน์${\displaystyle K_{\text{rot}}}$เนื่องจากการหมุนของวัตถุนั้นกำหนดโดย

$${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},}$$ เช่นเดียวกับ${\displaystyle K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ในพลศาสตร์เชิงเส้น

พลังงานจลน์คือพลังงานของการเคลื่อนที่ ปริมาณพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่เชิงเส้นตรงพบได้ในสองตัวแปร ได้แก่ มวลของวัตถุ (${\displaystyle m}$) และความเร็วของวัตถุ (${\displaystyle v}$) ดังแสดงในสมการข้างต้น พลังงานจลน์จะต้องเป็นศูนย์หรือค่าบวกเสมอ ในขณะที่ความเร็วสามารถมีค่าเป็นบวกหรือลบได้ แต่ความเร็วยกกำลังสองจะมีค่าเป็นบวกเสมอ^{[ 1 ]}

กรณีที่ง่ายที่สุดของการหมุนที่ไม่หมุนรอบแกนคงที่คือการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ในกรณีนี้แรงบิดรวมจะเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น การหมุนของโลกรอบแกนของมัน มีแรงเสียดทานน้อยมาก สำหรับ พัดลมมอเตอร์จะใช้แรงบิดเพื่อชดเชยแรงเสียดทาน เช่นเดียวกับพัดลม อุปกรณ์ที่พบในอุตสาหกรรมการผลิตจำนวนมากแสดงให้เห็นถึงการหมุนรอบแกนคงที่อย่างมีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่น เครื่องกลึงหลายแกนใช้ในการหมุนวัสดุรอบแกนเพื่อเพิ่มผลผลิตของการตัด การขึ้นรูป และการกลึงอย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 2 ]}มุมการหมุนเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของเวลา ซึ่งโมดูลัส 360° เป็นฟังก์ชันคาบ

ตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้คือปัญหาวัตถุสองชิ้นที่มีวงโคจรเป็นวงกลม

ความเค้นดึงภายในก่อให้เกิดแรงสู่ศูนย์กลางที่ช่วยยึดวัตถุที่กำลังหมุนไว้ด้วยกัน แบบจำลอง วัตถุแข็งเกร็ง ละเลย ความเครียดที่เกิดขึ้นร่วมด้วยหากวัตถุไม่แข็งเกร็ง ความเครียดนี้จะทำให้วัตถุเปลี่ยนรูปร่าง ซึ่งแสดงออกมาในรูปของการเปลี่ยนรูปร่างของวัตถุเนื่องจาก " แรงหนีศูนย์กลาง "

วัตถุท้องฟ้าที่หมุนรอบกันและกันมักจะมีวงโคจรเป็นรูปวงรีกรณีพิเศษของวงโคจรเป็นวงกลมเป็นตัวอย่างของการหมุนรอบแกนคงที่: แกนนี้คือเส้นที่ลากผ่านศูนย์กลางมวลตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ แรงสู่ศูนย์กลางเกิดจากแรงโน้มถ่วงดูเพิ่มเติมที่ปัญหาวัตถุสองชิ้นโดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ยังใช้ได้กับวัตถุท้องฟ้าที่หมุนด้วย ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเป็นของแข็งเพื่อให้คงรูปอยู่ได้ เว้นแต่ความเร็วเชิงมุมจะสูงเกินไปเมื่อเทียบกับความหนาแน่น (อย่างไรก็ตาม มันจะมีแนวโน้มที่จะแบนลง ) ตัวอย่างเช่น วัตถุท้องฟ้าที่เป็นน้ำซึ่งหมุนจะต้องใช้เวลาอย่างน้อย 3 ชั่วโมง 18 นาทีในการหมุนรอบตัวเอง ไม่ว่าจะมีขนาดเท่าใด มิฉะนั้นน้ำจะแยกตัวออกจากกันหากความหนาแน่นของของเหลวสูงขึ้น เวลาอาจน้อยลง ดูคาบการโคจร^{[ 3 ]}