ในทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดเวกเตอร์ที่จุดหนึ่งบนเส้นโค้งเวกเตอร์นั้นสามารถแยกออกเป็นผลรวมของเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไม่ซ้ำกัน ตัวหนึ่งสัมผัสกับเส้นโค้ง เรียกว่าส่วนประกอบสัมผัสของเวกเตอร์ และอีกตัวหนึ่งตั้งฉากกับเส้นโค้ง เรียกว่าส่วนประกอบปกติของเวกเตอร์ ในทำนองเดียวกัน เวกเตอร์ที่จุดหนึ่งบนพื้นผิวก็สามารถแยกออกได้ในลักษณะเดียวกัน

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดซับแมนิโฟลด์Nของแมนิโฟลด์Mและเวกเตอร์ในปริภูมิสัมผัสกับMณ จุดหนึ่งในN เวกเตอร์ นั้นสามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบที่สัมผัสกับNและส่วนประกอบที่ตั้งฉากกับNได้

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ให้เป็นพื้นผิว และเป็นจุดบนพื้นผิว ให้เป็นเวกเตอร์ที่จุดแล้วเราสามารถเขียน ได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลรวม โดยที่เวกเตอร์ตัวแรกในผลรวมคือส่วนประกอบสัมผัส และเวกเตอร์ตัวที่สองคือส่วนประกอบตั้งฉาก ซึ่งเห็นได้ทันทีว่าเวกเตอร์ทั้งสองนี้ตั้งฉากกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }}$$

ในการคำนวณส่วนประกอบสัมผัสและส่วนประกอบตั้งฉาก ให้พิจารณา เวกเตอร์ หน่วยตั้งฉากกับพื้นผิว นั่นคือเวกเตอร์หน่วย ที่ตั้งฉากกับที่ดังนั้น และด้วยเหตุนี้ โดย ที่ " " หมายถึงผลคูณดอท สูตรอีกสูตรหนึ่งสำหรับส่วนประกอบสัมผัสคือ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right){\hat {\mathbf {n} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}$$${\displaystyle \cdot }$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=-{\hat {\mathbf {n} }}\times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v} ),}$$

โดยที่ " " หมายถึงผลคูณเชิงเวกเตอร์ ${\displaystyle \times }$

สูตรเหล่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์หน่วยปกติที่ใช้ (จะมีเวกเตอร์หน่วยปกติสองเส้นสำหรับพื้นผิวใดๆ ณ จุดใดจุดหนึ่ง โดยชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นเวกเตอร์หน่วยปกติเส้นหนึ่งจึงเป็นค่าลบของอีกเส้นหนึ่ง) ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดซับแมนิโฟลด์Nของแมนิโฟลด์Mและจุด θ เราจะได้ลำดับที่แน่นอนสั้นๆซึ่งเกี่ยวข้องกับปริภูมิสัมผัส : ปริภูมิผลหารเป็นปริภูมิทั่วไปของเวกเตอร์ปกติ ${\displaystyle p\in N}$$${\displaystyle T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N}$$${\displaystyle T_{p}M/T_{p}N}$

ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ลำดับข้างต้นจะแยกออกเป็นและปริภูมิสัมผัสของMที่pจะแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของส่วนประกอบที่สัมผัสกับNและส่วนประกอบที่ตั้งฉากกับN : ดังนั้นเวกเตอร์สัมผัส ทุกตัว จะ แยกออกเป็นโดยที่และ$${\displaystyle T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$$${\displaystyle v\in T_{p}M}$${\displaystyle v=v_{\parallel }+v_{\perp }}$${\displaystyle v_{\parallel }\in T_{p}N}$${\displaystyle v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$

สมมติว่าNกำหนดโดยสมการที่ไม่เสื่อมสภาพ

ถ้าNถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนผ่านสมการพาราเมตริก (เช่นเส้นโค้งพาราเมตริก ) อนุพันธ์จะให้เซตแผ่ขยายสำหรับบันเดิลสัมผัส (ซึ่งจะเป็นฐานก็ต่อเมื่อการกำหนดพาราเมตริกเป็นการฝังตัว )

ถ้าNถูกกำหนดโดยปริยาย (ดังเช่นในคำอธิบายพื้นผิวข้างต้น (หรือโดยทั่วไปแล้วเป็น) ไฮเปอร์เซอร์เฟซ ) ในรูปของเซตระดับหรือจุดตัดของพื้นผิวระดับสำหรับแล้วเกรเดียนต์ของ จะครอบคลุมปริภูมิปกติ ${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$

ในทั้งสองกรณี เราสามารถคำนวณได้อีกครั้งโดยใช้ผลคูณดอทแต่ผลคูณไขว้เป็นวิธีการเฉพาะสำหรับ 3 มิติ

• ตัวคูณลากรางจ์ : จุดวิกฤต ที่มีข้อจำกัด คือจุดที่ส่วนประกอบสัมผัสของอนุพันธ์รวมเป็นศูนย์
• พื้นผิวตั้งฉาก
• สูตร Frenet–Serret
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิว § เวกเตอร์สัมผัสและเวกเตอร์ตั้งฉาก