สัมประสิทธิ์ dx 1 ^⊗σ ของอินสแตนตอน BPST บน ระนาบ (x ¹ ,x 2 ⁾ของ R 4 ^โดยที่σ คือเมทริกซ์ Pauli ตัวที่สาม (บนซ้าย) สัมประสิทธิ์ dx ² ⊗σ (บนขวา) สัมประสิทธิ์A ³และA ³ เหล่านี้ กำหนดข้อจำกัดของอินสแตนตอน BPST Aที่มีg=2,ρ=1,z=0บนระนาบนี้ ความแรงของสนามที่สอดคล้องกันโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่z=0 (ล่างซ้าย) การแสดงภาพความแรงของสนามของอินสแตนตอน BPST ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่zบนการบีอัดS ⁴ของR ⁴ (ล่างขวา)

ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีอินสแตนตอน BPSTคืออินสแตนตอนที่มีเลขการวนรอบ 1 ซึ่งค้นพบโดยAlexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert SchwarzและYu. S. Tyupkin [ ^{1 ] มัน}เป็นคำตอบแบบคลาสสิกของสมการการเคลื่อนที่ของทฤษฎี SU(2) Yang–Millsในปริภูมิเวลาแบบยุคลิด (เช่น หลังจากการหมุนของ Wick ) ซึ่งหมายความว่ามันอธิบายการเปลี่ยนผ่านระหว่างสุญญากาศเชิงทอพอโลยี สองแบบที่แตกต่างกัน ของทฤษฎี เดิมทีมีความหวังว่าจะเปิดทางไปสู่การแก้ปัญหาการกักขังโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจาก Polyakov ได้พิสูจน์ในปี 1975 ว่าอินสแตนตอนเป็นสาเหตุของการกักขังใน QED ขนาดกะทัดรัดสามมิติ^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม ความหวังนี้ไม่เป็นจริง

อินสแตนตอน BPST เป็นคำตอบคลาสสิกที่ไม่ใช่การรบกวนโดยพื้นฐานของสมการสนาม Yang–Mills พบได้เมื่อลดความหนาแน่นของลากรางเจียนYang–Mills SU(2) ให้เหลือน้อยที่สุด :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$

โดยที่F ^a = ∂ A ^a – ∂ A ^a + g ε ^abc A ^b A ^c คือ ความแรงของสนามอินสแตนตอนเป็นคำตอบที่มีการกระทำจำกัด ดังนั้นF จะต้องเป็นศูนย์ที่อนันต์ของกาลอวกาศ ซึ่งหมายความว่าA จะเป็นการกำหนดค่าเกจบริสุทธิ์ อนันต์ของกาลอวกาศในโลกสี่มิติของเราคือS ³กลุ่มเกจ SU(2) มีโครงสร้างเดียวกัน ดังนั้นคำตอบที่มีA เป็นเกจบริสุทธิ์ที่อนันต์จึงเป็นการแมปจากS ³ไปยังตัวมันเอง^{[ 1 ]}การแมปเหล่านี้สามารถติดป้ายกำกับด้วยจำนวนเต็มqซึ่งเป็นดัชนี Pontryagin (หรือเลขการวนรอบ ) อินสแตนตอนมีq = 1 และสอดคล้อง (ที่อนันต์) กับการแปลงเกจที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่องเป็นหนึ่งได้^{[ 3 ]}ดังนั้นคำตอบ BPST จึงมีเสถียรภาพทางโทโพโลยี

สามารถแสดงได้ว่าการกำหนดค่าแบบคู่ตัวเองที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์F ^a = ± ⁠1/2⁠ ε ^μναβ F ^aลดการกระทำให้น้อยที่สุด^{[ 4 ]}โซลูชันที่มีเครื่องหมายบวกเรียกว่าอินสแตนตอน ส่วนโซลูชันที่มีเครื่องหมายลบเรียกว่าแอนติอินสแตนตอน

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าอินสแตนตอนและแอนติอินสแตนตอนช่วยลดการกระทำในระดับท้องถิ่นได้ดังนี้:

${\displaystyle {\tilde {F}__{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$, ที่ไหน.${\displaystyle {\tilde {F}__{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu }^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$

${\displaystyle S=\int dx^{4}{\frac {1}{4}}F^{2}=\int dx^{4}{\frac {1}{8}}(F\pm {\tilde {F}})^{2}\mp \int dx^{4}{\frac {1}{4}}F{\tilde {F}}}$

พจน์แรกจะถูกทำให้มีค่าน้อยที่สุดโดยการกำหนดค่าแบบ self-dual หรือ anti-self-dual ในขณะที่พจน์สุดท้ายเป็นอนุพันธ์รวมและดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับขอบเขต (เช่น) ของคำตอบเท่านั้น ดังนั้นจึงเป็นค่าคงที่ทางโทโพโลยีและสามารถแสดงได้ว่าเป็นจำนวนเต็มคูณด้วยค่าคงที่บางค่า (ค่าคงที่ในที่นี้คือ) จำนวนเต็มนี้เรียกว่าจำนวนอินสแตนตอน (ดูกลุ่มโฮโมโทปี ) ${\displaystyle x\ลูกศรขวา \infty }$${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}}$

วิธีแก้ปัญหาอินสแตนตอนจะระบุไว้อย่างชัดเจนโดย^{[ 5 ]}

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(xz)_{\nu }}{(xz)^{2}+\rho ^{2}}}}$

โดยที่z เป็นจุดศูนย์กลางและ ρ เป็นมาตราส่วนของอินสแตนตอน η ^aคือสัญลักษณ์ 't Hooft :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{cases}}.}$

สำหรับค่า x² ที่มีขนาดใหญ่^ρจะมีค่าน้อยมากจนแทบไม่มีผล และสนามเกจจะเข้าใกล้สนามเกจของการแปลงเกจบริสุทธิ์: . อันที่จริง ความแรงของสนามคือ: ${\displaystyle {\frac {x^{0}+i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\sigma } }{\sqrt {x^{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{F^{a}}_{jk}={F^{a}}_{0i}={\frac {4{\rho }^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2}+\rho ^{2})^{2}}}}$

และเข้าใกล้ศูนย์ด้วยความเร็วเท่ากับ r ⁻⁴ที่อนันต์

แอนติอินสแตนตันอธิบายได้ด้วยนิพจน์ที่คล้ายกัน แต่แทนที่สัญลักษณ์ 't Hooft ด้วยสัญลักษณ์แอนติ-'t Hooft ซึ่งเท่ากับสัญลักษณ์ 't Hooft ปกติ ยกเว้นว่าส่วนประกอบที่มีดัชนี Lorentz ตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับสี่จะมีเครื่องหมายตรงข้าม ${\displaystyle {\bar {\eta }__{\mu \nu }^{a}}$

โซลูชัน BPST มีสมมาตรมากมาย^{[ 6 ]}การแปลและการขยายจะเปลี่ยนโซลูชันหนึ่งไปเป็นโซลูชันอื่น การผกผันพิกัด ( x ^μ → x ^μ / x ² ) จะเปลี่ยนอินสแตนตอนขนาด ρ ไปเป็นแอนติอินสแตนตอนที่มีขนาด 1/ρ และในทางกลับกันการหมุนในปริภูมิสี่มิติแบบยุคลิดและการแปลงคอนฟอร์มอลพิเศษจะทำให้โซลูชันไม่เปลี่ยนแปลง (ยกเว้นการแปลงเกจ)

การกระทำแบบคลาสสิกของอินสแตนตอนเท่ากับ^{[ 4 ]}

${\displaystyle S={\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}.}$

เนื่องจากปริมาณนี้มาในรูปแบบเลขชี้กำลังในรูปแบบอินทิกรัลเส้นทางนี่จึงเป็นผลกระทบที่ไม่ใช่การรบกวนโดยพื้นฐาน เพราะฟังก์ชัน e ^{−1/ x^2}มีอนุกรมเทย์เลอร์ เป็น ศูนย์ที่จุดกำเนิด แม้ว่าจะมีค่าไม่เป็นศูนย์ที่อื่นก็ตาม

นิพจน์สำหรับอินสแตนตอน BPST ที่ให้ไว้ข้างต้นนั้นอยู่ในเกจแลนเดาแบบปกตินอกจากนี้ยังมีรูปแบบอื่นซึ่งเทียบเท่ากับนิพจน์ที่ให้ไว้ข้างต้นในเกจแลนเดาแบบเอกฐานในเกจทั้งสองนี้ นิพจน์จะสอดคล้องกับ ∂ A ^μ = 0 ในเกจเอกฐาน อินสแตนตอนคือ

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\rho ^{2}}{(xz)^{2}}}{\frac {{\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}(xz)_{\nu }}{(xz)^{2}+\rho ^{2}}}.}$

ในเกจเอกฐาน นิพจน์จะมีจุดเอกฐานที่ศูนย์กลางของอินสแตนตอน แต่จะเข้าใกล้ศูนย์ได้เร็วขึ้นเมื่อxเข้าสู่ค่าอนันต์

เมื่อทำงานในมาตรวัดอื่นที่ไม่ใช่มาตรวัดแลนเดา ก็สามารถพบสำนวนที่คล้ายคลึงกันได้ในเอกสารทางวิชาการ

ที่อุณหภูมิจำกัด อินสแตนตอน BPST จะขยายไปเป็นสิ่งที่เรียกว่าคาโลรอน

ข้างต้นใช้ได้กับทฤษฎี Yang–Mills ที่มี SU(2) เป็นกลุ่มเกจ สามารถขยายไปสู่กลุ่มที่ไม่ใช่ Abelian ใดๆ ได้อย่างง่ายดาย อินสแตนตอนจะได้รับจากอินสแตนตอน BPST สำหรับบางทิศทางในปริภูมิกลุ่ม และเป็นศูนย์ในทิศทางอื่นๆ

เมื่อหันไปใช้ทฤษฎี Yang–Mills ที่มีการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติเนื่องจากกลไก Higgsจะพบว่า BPST instantons ไม่ใช่คำตอบที่แน่นอนของสมการสนามอีกต่อไป เพื่อหาคำตอบโดยประมาณ สามารถใช้รูปแบบของ instantons ที่ถูกจำกัดได้^{[ 7 ]}

คาดว่าอินสแตนตอนที่มีลักษณะคล้าย BPST จะมีบทบาทสำคัญในโครงสร้างสุญญากาศของ QCDอินสแตนตอนพบได้ใน การคำนวณ แลตติสการคำนวณครั้งแรกที่ดำเนินการกับอินสแตนตอนใช้การประมาณก๊าซเจือจาง ผลลัพธ์ที่ได้ไม่สามารถแก้ปัญหาอินฟราเรดของ QCD ได้ ทำให้นักฟิสิกส์หลายคนหันเหออกจากฟิสิกส์ของอินสแตนตอน อย่างไรก็ตาม ต่อมาได้ มีการเสนอ แบบจำลองของเหลวอินสแตนตอนซึ่งกลายเป็นแนวทางที่มีแนวโน้มที่ดีกว่า^{[ 8 ]}

แบบจำลองก๊าซอินสแตนตอนเจือจางเริ่มต้นจากสมมติฐานที่ว่าสุญญากาศ QCD ประกอบด้วยก๊าซของอินสแตนตอน BPST แม้ว่าจะทราบเฉพาะโซลูชันที่มีอินสแตนตอน (หรือแอนติอินสแตนตอน) หนึ่งตัวหรือเพียงไม่กี่ตัวเท่านั้น แต่ก๊าซอินสแตนตอนและแอนติอินสแตนตอนเจือจางสามารถประมาณได้โดยพิจารณาการซ้อนทับของโซลูชันอินสแตนตอนหนึ่งตัวที่อยู่ห่างไกลกันมาก't Hooftคำนวณแอคชั่นที่มีประสิทธิภาพสำหรับกลุ่มดังกล่าว^{[ 5 ]}และเขาพบความแตกต่างอินฟราเรดสำหรับอินสแตนตอนขนาดใหญ่ ซึ่งหมายความว่าอินสแตนตอนขนาดใหญ่จำนวนอนันต์จะเติมเต็มสุญญากาศ

ต่อมา มีการศึกษา แบบจำลองของเหลวอินสแตนตอนแบบจำลองนี้เริ่มต้นจากสมมติฐานที่ว่ากลุ่มของอินสแตนตอนไม่สามารถอธิบายได้ด้วยผลรวมของอินสแตนตอนที่แยกจากกันเพียงอย่างเดียว มีการเสนอแบบจำลองต่างๆ มากมาย โดยแนะนำปฏิสัมพันธ์ระหว่างอินสแตนตอนหรือใช้วิธีการแปรผัน (เช่น "การประมาณหุบเขา") เพื่อพยายามประมาณคำตอบหลายอินสแตนตอนที่แม่นยำให้ใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ความสำเร็จเชิงปรากฏการณ์หลายอย่างเกิดขึ้น^{[ 8 ]}การกักขังดูเหมือนจะเป็นปัญหาที่ใหญ่ที่สุดในทฤษฎี Yang–Mills ซึ่งอินสแตนตอนไม่มีคำตอบใดๆ เลย

ปฏิสัมพันธ์ที่อ่อนแออธิบายโดย SU(2) ดังนั้นจึงคาดได้ว่าอินสแตนตอนจะมีบทบาทในนั้นเช่นกัน หากเป็นเช่นนั้น พวกมันจะทำให้เกิด การละเมิด จำนวนแบริออนเนื่องจากกลไกของฮิกส์ อินสแตนตอนจึงไม่ใช่คำตอบที่แน่นอนอีกต่อไป แต่สามารถใช้การประมาณแทนได้ ข้อสรุปประการหนึ่งคือ การมีอยู่ของ มวล เกจโบซอนจะยับยั้งอินสแตนตอนขนาดใหญ่ ดังนั้นการประมาณก๊าซอินสแตนตอนจึงสอดคล้องกัน

เนื่องจากอินสแตนตอนมีลักษณะที่ไม่รบกวน ผลกระทบทั้งหมดจึงถูกระงับด้วยปัจจัย e ^{−16π 2 / g 2}ซึ่งในทฤษฎีอิเล็กโทรวีคจะมีค่าประมาณ10 ⁻¹⁷⁹

อินสแตนตอนและแอนติอินสแตนตอนไม่ใช่คำตอบเดียวของสมการสนามหยาง-มิลส์ที่หมุนด้วยวิก คำตอบแบบหลายอินสแตนตอนพบได้สำหรับqเท่ากับสองและสาม และยังมีคำตอบบางส่วนสำหรับq ที่สูงกว่า นั้นด้วย คำตอบแบบหลายอินสแตนตอนทั่วไปสามารถประมาณได้โดยใช้การประมาณแบบหุบเขาเท่านั้น — โดยเริ่มจากสมมติฐานบางอย่าง (โดยปกติคือผลรวมของจำนวนอินสแตนตอนที่ต้องการ) และลดค่าแอคชั่นให้น้อยที่สุดในเชิงตัวเลขภายใต้ข้อจำกัดที่กำหนด (โดยคงจำนวนอินสแตนตอนและขนาดของอินสแตนตอนให้คงที่)

โซลูชันที่ไม่เป็นคู่ตัวเองก็มีอยู่เช่นกัน^{[ 9 ]}สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่จุดต่ำสุดเฉพาะที่ของการกระทำ แต่สอดคล้องกับจุดอานม้า

อินสแตนตอนยังเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเมรอน [ ^{10 ] ซึ่ง}เป็นคำตอบที่ไม่เป็นคู่แบบเอกลักษณ์ของสมการสนาม Yang–Mills แบบยุคลิดที่มีประจุทางทอพอโลยี 1/2 อินสแตนตอนเชื่อกันว่าประกอบด้วยเมรอนสองตัว

• อินสแตนตัน
• เมรอน
• โมโนโพลอู่หยาง