ในทฤษฎีจำนวนอดิศัย ซึ่งเป็นสาขาคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของเบเกอร์ให้ขอบเขตล่างสำหรับค่าสัมบูรณ์ของการรวมเชิงเส้นของลอการิทึมของจำนวนพีชคณิตเกือบสิบห้าปีก่อนอเล็กซานเดอร์ เกลฟอนด์ได้พิจารณาปัญหาที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเท่านั้นว่ามีความสำคัญอย่างยิ่ง^{[ 1 ]}ผลลัพธ์ที่พิสูจน์โดยอลันเบเกอร์( 1966 , 1967a , 1967b ) ครอบคลุมผลลัพธ์ก่อนหน้านี้จำนวนมากในทฤษฎีจำนวนอดิศัย เบเกอร์ใช้สิ่งนี้เพื่อพิสูจน์ความเป็นอดิศัยของจำนวนจำนวนมาก เพื่อหาขอบเขตที่มีประสิทธิภาพสำหรับคำตอบของ สมการไดโอแฟนไทน์บางสมการและเพื่อแก้ปัญหาจำนวนชั้น ของการหา ฟิลด์กำลังสองจินตนาการทั้งหมดที่มีหมายเลขชั้น 1 

เพื่อให้ง่ายต่อการเขียนสัญลักษณ์ ให้กำหนดดังนี้${\displaystyle \mathbb {L} }$ให้ เป็นเซตของลอการิทึมฐานeของจำนวนพีชคณิต ที่ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือ $${\displaystyle \mathbb {L} =\left\{\lambda \in \mathbb {C}$$ :\ e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\},} โดยที่${\displaystyle \mathbb {C} }$หมายถึงเซตของจำนวนเชิงซ้อนและ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$หมายถึงจำนวนพีชคณิต ( ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของจำนวนตรรกยะ)${\displaystyle \mathbb {Q} }$). การใช้สัญลักษณ์นี้ทำให้ผลลัพธ์หลายอย่างในทฤษฎีจำนวนอดิศัยสามารถกล่าวถึงได้ง่ายขึ้นมาก ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทเฮอร์ไมต์-ลินเดมันน์กลายเป็นข้อความที่ว่า สมาชิกใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ของ${\displaystyle \mathbb {L} }$เป็นสิ่งเหนือธรรมชาติ

ในปี ค.ศ. 1934 อเล็กซานเดอร์ เกลฟอนด์ และธีโอดอร์ ชไนเดอร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ โดยอิสระจากกัน ผลลัพธ์นี้มักกล่าวไว้ว่า: ถ้า${\displaystyle a}$เป็นค่าพีชคณิตและไม่เท่ากับ 0 หรือ 1 และถ้า${\displaystyle b}$ถ้าเป็นจำนวนพีชคณิตและจำนวนอตรรกยะแล้ว${\displaystyle a^{b}}$เป็นจำนวนอดิศัย ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีหลายค่าสำหรับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน และสิ่งนี้ใช้ได้กับค่าทั้งหมดของมัน ซึ่งในกรณีส่วนใหญ่ประกอบด้วยจำนวนอนันต์จำนวน หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ ถ้า${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$ถ้าตัวแปรสุ่มเป็นอิสระเชิงเส้นบนจำนวนตรรกยะแล้ว ตัวแปรสุ่มเหล่านั้นก็จะเป็นอิสระเชิงเส้นบนจำนวนพีชคณิตด้วย ดังนั้น ถ้า${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$และ${\displaystyle \lambda _{2}}$ถ้าไม่ใช่ศูนย์ ผลหารก็จะเป็น...${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}}$เป็นได้ทั้งจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอดิศัย ไม่สามารถเป็นจำนวนอตรรกยะเชิง พีชคณิต ได้ เช่น${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

แม้ว่าการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ว่า " ความเป็นอิสระเชิงเส้นเชิง ตรรกะ หมายถึงความเป็นอิสระเชิงเส้นเชิงพีชคณิต" สำหรับองค์ประกอบสองตัวของ${\displaystyle \mathbb {L} }$แม้ว่าผลลัพธ์นี้จะเพียงพอสำหรับผลลัพธ์ของเขาและชไนเดอร์แล้ว แต่เกลฟอนด์รู้สึกว่าจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องขยายผลลัพธ์นี้ไปยังองค์ประกอบจำนวนมากตามอำเภอใจ${\displaystyle \mathbb {L} .}$อันที่จริง จากGel'fond (1960 , หน้า177) : 

...อาจสันนิษฐานได้ว่า...ปัญหาเร่งด่วนที่สุดในทฤษฎีจำนวนอดิศัยคือการศึกษามาตรวัดความเป็นอดิศัยของเซตจำกัดของลอการิทึมของจำนวนพีชคณิต

ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขในอีกสิบสี่ปีต่อมาโดยอลัน เบเกอร์ และนับตั้งแต่นั้นมาก็มีการประยุกต์ใช้มากมายไม่เพียงแต่ในทฤษฎีความเหนือธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและการศึกษาเกี่ยว กับ สมการไดโอแฟนไทน์ด้วย เบเกอร์ได้รับเหรียญฟิลด์สในปี 1970 สำหรับทั้งงานนี้และการประยุกต์ใช้กับสมการไดโอแฟนไทน์

จากสัญลักษณ์ข้างต้น ทฤษฎีบทของเบเกอร์เป็นการขยายแบบไม่เอกพันธุ์ของทฤษฎีบทของเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบุว่า:

เช่นเดียวกับที่ทฤษฎีบทของ Gelfond–Schneider เทียบเท่ากับข้อความเกี่ยวกับการเป็นจำนวนอดิศัยของจำนวนในรูปแบบa ^bทฤษฎีบทของ Baker ก็บ่งชี้ถึงการเป็นจำนวนอดิศัยของจำนวนในรูปแบบเช่นกัน

${\displaystyle a_{1}^{b_{1}}\cdots a_{n}^{b_{n}},}$

โดยที่b ทั้งหมดเป็นจำนวนพีชคณิตอตรรกยะ และ 1, b , ..., b เป็นอิสระเชิงเส้นเหนือจำนวนตรรกยะ และa ทั้งหมดเป็นจำนวนพีชคณิตและไม่ใช่ 0 หรือ 1

เบเกอร์ (1977)ยังได้เสนอเวอร์ชันต่างๆ ที่มีค่าคงที่ระบุไว้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle \exp(\lambda _{j})=\alpha _{j}}$มีความสูงสูงสุด${\displaystyle A_{j}\geq 4}$และตัวเลขทั้งหมด${\displaystyle \beta _{j}}$มีความสูงสูงสุด${\displaystyle B\geq 4}$จากนั้นรูปแบบเชิงเส้น

${\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}}$

มีค่าเป็น 0 หรือตรงตามเงื่อนไข

${\displaystyle \log |\Lambda |>(16nd)^{200n}\Omega \left(\log \Omega -\log \log A_{n}\right)(\log B+\log \Omega )}$

ที่ไหน

${\displaystyle \Omega =\log A_{1}\log A_{2}\cdots \log A_{n}}$

และสนามที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle \alpha _{i}}$และ${\displaystyle \beta _{i}}$เหนือจำนวนตรรกยะจะมีดีกรีสูงสุดdในกรณีพิเศษเมื่อβ = 0 และทั้งหมด${\displaystyle \beta _{j}}$เนื่องจากเป็นจำนวนเต็มตรรกยะ พจน์ขวาสุด log Ω จึงสามารถตัดทิ้งได้

ผลลัพธ์ที่ชัดเจนจาก Baker และWüstholzสำหรับรูปแบบเชิงเส้น Λ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ให้ค่าขอบล่างในรูปแบบ

${\displaystyle \log |\Lambda |>-Ch(\alpha _{1})h(\alpha _{2})\cdots h(\alpha _{n})\log \left(\max \left\{|\beta _{1}|,\ldots ,|\beta _{n}|\right\}\right),}$

ที่ไหน

${\displaystyle C=18(n+1)!n^{n+1}(32d)^{n+2}\log(2nd),}$

และdคือระดับของฟิลด์จำนวนที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle \alpha _{i}.}$

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของเบเกอร์เป็นการต่อยอดจากข้อโต้แย้งของเจลฟองด์ (1960 บทที่ III ส่วนที่ 4)แนวคิดหลักของการพิสูจน์แสดงให้เห็นได้จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเบเกอร์ (1966) ในรูปแบบเชิงคุณภาพ ที่อธิบายโดยแซร์ (1971) ดังต่อไปนี้ :

ถ้าตัวเลขเป็นแบบนั้น${\displaystyle 2\pi i,\log a_{1},\ldots ,\log a_{n}}$เป็นอิสระเชิงเส้นเหนือจำนวนตรรกยะ สำหรับจำนวนพีชคณิตที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ดังนั้นตัวแปรเหล่านั้นจึงเป็นอิสระเชิงเส้นเหนือจำนวนพีชคณิต

สามารถพิสูจน์ทฤษฎีของเบเกอร์ในรูปแบบเชิงปริมาณที่แม่นยำได้โดยการแทนที่เงื่อนไขที่ว่าสิ่งต่างๆ เป็นศูนย์ด้วยเงื่อนไขที่ว่าสิ่งต่างๆ มีขนาดเล็กเพียงพอตลอดทั้งการพิสูจน์

แนวคิดหลักของการพิสูจน์ของเบเกอร์คือการสร้างฟังก์ชันเสริม${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$ประกอบด้วยตัวแปรหลายตัวที่หายไปในลำดับสูง ณ จุดต่างๆ ของรูปแบบ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,}$จากนั้นแสดงซ้ำ ๆ ว่ามันหายไปในลำดับที่ต่ำกว่า ณ จุดต่าง ๆ ของรูปแบบนี้มากขึ้นเรื่อย ๆ สุดท้าย ข้อเท็จจริงที่ว่ามันหายไป (ในลำดับที่ 1) ณ จุดต่าง ๆ ของรูปแบบนี้มากพอ บ่งชี้โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของแวนเดอร์มอนด์ ว่ามีความสัมพันธ์ แบบทวีคูณระหว่างตัวเลขa

ดังที่กล่าวมาข้างต้น ทฤษฎีบทนี้ครอบคลุมผลลัพธ์เชิงอภิปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังจำนวนมากก่อนหน้านี้ เช่น ทฤษฎีบท Hermite–Lindemann และทฤษฎีบท Gelfond–Schneider อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้ครอบคลุมมากเท่ากับข้อสันนิษฐานของ Schanuel ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ และไม่ได้บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทเลขชี้กำลังหกตัวหรือข้อสันนิษฐานเลขชี้กำลังสี่ตัว ที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขอย่าง ชัดเจน

เหตุผลหลักที่ Gelfond ต้องการขยายผลลัพธ์ของเขาไม่ใช่เพียงแค่เพื่อสร้างจำนวนอดิศัยใหม่ๆ จำนวนมากเท่านั้น ในปี 1935 เขาได้ใช้เครื่องมือที่เขาพัฒนาขึ้นเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท Gelfond–Schneiderเพื่อหาขอบล่างของปริมาณดังกล่าว

${\displaystyle |\beta _{1}\lambda _{1}+\beta _{2}\lambda _{2}|}$

โดยที่β และβ เป็นพีชคณิต และλ และλ อยู่ใน${\displaystyle \mathbb {L} }$[ ^{2 ]}การพิสูจน์ของเบเกอร์ให้ขอบเขตล่างสำหรับปริมาณเช่นข้างต้นแต่มีเทอมจำนวนมากตามอำเภอใจ และเขาสามารถใช้ขอบเขตเหล่านี้เพื่อพัฒนาวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการจัดการกับสมการไดโอแฟนไทน์และเพื่อแก้^{ปัญหา}จำนวนชั้น ของเกา ส์

ทฤษฎีบทของเบเกอร์ทำให้เราได้ความเป็นอิสระเชิงเส้นเหนือจำนวนพีชคณิตของลอการิทึมของจำนวนพีชคณิต ซึ่งอ่อนกว่าการพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงพีชคณิตจนถึงขณะนี้ยังไม่มีความคืบหน้าใดๆ เกี่ยวกับปัญหานี้เลย มีการตั้งข้อสันนิษฐาน^{[ 3 ]}ว่าถ้าλ , ..., λ เป็นองค์ประกอบของ${\displaystyle \mathbb {L} }$ถ้าจำนวนเชิงพีชคณิตสองจำนวนใดเป็นอิสระเชิงเส้นเหนือจำนวนตรรกยะแล้ว จำนวนเหล่านั้นก็จะเป็นอิสระเชิงพีชคณิตด้วยเช่นกัน นี่เป็นกรณีพิเศษของสมมติฐานของชานูเอล แต่จนถึงขณะนี้ยังไม่มีการพิสูจน์ว่ามีจำนวนเชิงพีชคณิตสองจำนวนใดที่มีลอการิทึมเป็นอิสระเชิงพีชคณิต อันที่จริง ทฤษฎีบทของเบเกอร์ตัดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างลอการิทึมของจำนวนเชิงพีชคณิตออกไป เว้นแต่จะมีเหตุผลที่เห็นได้ชัด กรณีที่ง่ายที่สุดถัดไป คือการตัด ความสัมพันธ์กำลังสองเอก พันธุ์ ออกไป ซึ่งเป็น สมมติฐานเรื่องเลขชี้กำลังสี่ที่ยังไม่ได้รับ การ แก้ไข

ในทำนองเดียวกัน การขยายผลลัพธ์ไปสู่ความเป็นอิสระเชิงพีชคณิต แต่ใน บริบทของ p-adicและใช้ฟังก์ชันลอการิทึมp -adic ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข เป็นที่ทราบกันว่า การพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงพีชคณิตของลอการิทึมp -adic ที่เป็นอิสระเชิงเส้นของจำนวน p -adic เชิงพีชคณิต จะเป็นการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Leopoldtเกี่ยวกับ อันดับ p -adic ของหน่วยในฟิลด์จำนวน

• ทฤษฎีบทกลุ่มย่อยเชิงวิเคราะห์