ในพีชคณิตเชิง เส้น เวกเตอร์พิกัดคือการแสดงเวกเตอร์เป็นรายการตัวเลขเรียงลำดับ ( ทูเปิล ) ที่อธิบายเวกเตอร์ในแง่ของฐานเรียงลำดับเฉพาะ^{[ 1 ]}ตัวอย่างง่ายๆ อาจเป็นตำแหน่งเช่น (5, 2, 1) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติ โดยมีฐานเป็นแกนของระบบนี้ พิกัดจะถูกระบุโดยสัมพันธ์กับฐานเรียงลำดับเสมอ ฐานและการแสดงพิกัดที่เกี่ยวข้องช่วยให้เราตระหนักถึงปริภูมิเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้นได้อย่างเป็นรูปธรรมในรูปของเวกเตอร์คอลัมน์เวกเตอร์แถวและเมทริกซ์ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการคำนวณ

แนวคิดของเวกเตอร์พิกัดสามารถนำไปใช้กับปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ได้เช่นกัน ดังที่จะกล่าวถึงต่อไป

ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติn เหนือฟิลด์F และให้

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

เป็นฐานเรียงลำดับสำหรับVจากนั้นสำหรับทุกๆ${\displaystyle v\in V}$มีการรวมเชิงเส้น ที่ไม่ซ้ำกัน ของเวกเตอร์ฐานซึ่งเท่ากับ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

เวกเตอร์พิกัดของ${\displaystyle v}$เมื่อเทียบกับBคือลำดับของพิกัด

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

สิ่งนี้เรียกอีกอย่างว่าการเป็นตัวแทนของ${\displaystyle v}$โดยสัมพันธ์กับ Bหรือการแสดงแทน B ของ${\displaystyle v}$. เดอะ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$เรียกว่าพิกัดของ${\displaystyle v}$ลำดับของฐานมีความสำคัญในที่นี้ เนื่องจากเป็นตัวกำหนดลำดับการแสดงสัมประสิทธิ์ในเวกเตอร์พิกัด

เวกเตอร์พิกัดของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดสามารถแทนด้วยเมทริกซ์ในรูป เวกเตอร์ คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถวได้ ในสัญลักษณ์ข้างต้น เราสามารถเขียนได้ว่า

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

ที่ไหน${\displaystyle [v]_{B}^{T}}$คือเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์${\displaystyle [v]_{B}}$.

เราสามารถทำให้การแปลงข้างต้นเป็นไปโดยอัตโนมัติได้โดยการกำหนดฟังก์ชัน${\displaystyle \phi _{B}}$เรียกว่าการแสดงมาตรฐานของ V เทียบกับ Bซึ่งแปลงเวกเตอร์ทุกตัวไปสู่การแสดงพิกัดของมัน:${\displaystyle \phi _{B}(วี)=[วี]_{B}}$. แล้ว${\displaystyle \phi _{B}}$เป็นการแปลงเชิงเส้นจากVไปยังF ⁿที่จริงแล้วมันคือไอโซมอร์ฟิซึมและเป็นตัวผกผัน ของมัน${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\ถึง V}$ก็คือ

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เราอาจกำหนดได้ดังนี้${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$เพื่อให้เป็นฟังก์ชันข้างต้นตั้งแต่เริ่มต้น จึงตระหนักได้ว่า${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึม และถูกกำหนดไว้${\displaystyle \phi _{B}}$เพื่อเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับมัน

ให้BและCเป็นฐานที่แตกต่างกันสองฐานของปริภูมิเวกเตอร์Vและให้เรากำหนดด้วย${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ประกอบด้วย การแสดง Cของเวกเตอร์ฐานb , b , …, b :

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์การแปลงฐานจากBไปยังCสามารถมองได้ว่าเป็นออโตมอร์ฟิซึมเหนือ${\displaystyle F^{n}}$เวกเตอร์v ใดๆ ที่แสดงอยู่ในBสามารถแปลงเป็นรูปแบบที่แสดงในCได้ดังนี้:

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

ภายใต้การแปลงฐาน ตัวยกบนเมทริกซ์การแปลงMและตัวห้อยบนเวกเตอร์พิกัดvจะเหมือนกัน และดูเหมือนจะหักล้างกัน เหลือเพียงตัวห้อยที่เหลืออยู่ แม้ว่าสิ่งนี้อาจช่วยจำได้ง่าย แต่สิ่งสำคัญคือไม่มีการหักล้างหรือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกันเกิดขึ้นจริง

สมมติว่าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์เหนือฟิลด์Fถ้ามิติเป็นκแล้วจะมีฐานที่มี สมาชิก κตัวสำหรับVหลังจากเลือกอันดับแล้ว ฐานนั้นสามารถถือได้ว่าเป็นฐานที่มีลำดับ สมาชิกของVเป็นผลรวมเชิงเส้นจำกัดของสมาชิกในฐาน ซึ่งทำให้เกิดการแสดงพิกัดที่ไม่ซ้ำกันอย่างที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวคือเซตดัชนีสำหรับพิกัดไม่จำกัด เนื่องจากเวกเตอร์v ที่กำหนด เป็น ผลรวมเชิงเส้น จำกัดของสมาชิกในฐาน ดังนั้นค่าที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวของเวกเตอร์พิกัดสำหรับvจะเป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของผลรวมเชิงเส้นที่แสดงvดังนั้นเวกเตอร์พิกัดสำหรับvจึงเป็นศูนย์ ยกเว้นในจำนวนจำกัดของค่าต่างๆ

การแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์ (หรืออาจจะอนันต์) สามารถจำลองได้ในลักษณะเดียวกับกรณีที่มีมิติจำกัด โดยใช้เมทริกซ์อนันต์กรณีพิเศษของการแปลงจากVไปเป็นVจะอธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับวงแหวนเชิงเส้นฉบับเต็ม

• การเปลี่ยนฐาน
• พื้นที่พิกัด