ในฟิสิกส์นิวเคลียร์สมการ Batemanเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายความอุดมสมบูรณ์และกิจกรรมในห่วงโซ่การสลายตัวเป็นฟังก์ชันของเวลา โดยอิงจากอัตราการสลายตัวและความอุดมสมบูรณ์เริ่มต้น แบบจำลองนี้ได้รับการกำหนดสูตรโดยErnest Rutherfordในปี 1905 ^{[ 1 ]}และวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ได้รับการเสนอโดยHarry Batemanในปี 1910 ^{[ 2 ]}

ถ้า ณ เวลาtมีอะตอมของไอโซโทปที่สลายตัวเป็นไอโซโทปในอัตรา k ปริมาณของไอโซโทปใน ห่วงโซ่การสลายตัว kขั้นจะเปลี่ยนแปลงดังนี้: ${\displaystyle N_{i}(t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}}$

(สามารถปรับใช้เพื่อจัดการกับกิ่งการสลายตัวได้) แม้ว่าจะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างชัดเจนสำหรับi  = 2 แต่สูตรจะยุ่งยากขึ้นอย่างรวดเร็วสำหรับสายโซ่ที่ยาวกว่า^{[ 3 ]}สมการ Bateman เป็นสมการหลัก แบบคลาสสิก ที่อัตราการเปลี่ยนผ่านได้รับอนุญาตจากสปีชีส์หนึ่ง (i) ไปยังสปีชีส์ถัดไป (i+1) เท่านั้น แต่ไม่เคยเกิดขึ้นในทิศทางตรงกันข้าม (i+1 ไปยัง i ถูกห้าม)

เบทแมนค้นพบสูตรทั่วไปที่ชัดเจนสำหรับปริมาณต่างๆ โดยการใช้การแปลงลาปลาสของตัวแปร

${\displaystyle N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}}$

(สามารถขยายเพิ่มเติมได้ด้วยเงื่อนไขแหล่งที่มา หากมีการจัดหาอะตอมของไอโซโทป i เพิ่มเติมจากภายนอกในอัตราคงที่) ^{[ 4 ]}

แม้ว่าสูตร Bateman จะสามารถนำไปใช้ในโค้ดคอมพิวเตอร์ได้ แต่หากคู่ไอโซโทปบางคู่เกิดการหักล้างอย่างรุนแรงอาจนำไปสู่ข้อผิดพลาดในการคำนวณ ดังนั้นวิธีการอื่นๆ เช่นการบูรณาการเชิงตัวเลขหรือ วิธีการ เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลจึงถูกนำมาใช้เช่นกัน^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle \lambda _{j}\approx \lambda _{i}}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับกรณีง่ายๆ ของสายโซ่ไอโซโทปสามตัว สมการ Bateman ที่เกี่ยวข้องจะลดรูปเหลือดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\,{\xrightarrow {\lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

ซึ่งจะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับค่ากิจกรรมของไอโซโทป(โดยการแทนค่า) ${\displaystyle B}$${\displaystyle A=\lambda N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

• แฮร์รี่ เบทแมน
• รายชื่อสมการในฟิสิกส์นิวเคลียร์และฟิสิกส์อนุภาค
• สมดุลชั่วคราว
• สมดุลทางโลก
• เภสัชจลนศาสตร์ ขอบเขตการใช้งานค่อนข้างกว้าง