วิธีการแพร่กระจายลำแสง ( BPM ) เป็นเทคนิคการประมาณค่าสำหรับการจำลองการแพร่กระจายของแสงในท่อนำ แสง ที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับ วิธี สมการพาราโบลา (PE) ในด้านเสียง ใต้น้ำ ทั้ง BPM และ PE ได้รับการแนะนำครั้งแรกในช่วงทศวรรษ 1970 เมื่อคลื่นแพร่กระจายไปตามท่อนำแสงเป็นระยะทางไกล (ไกลกว่าความยาวคลื่น) การจำลองเชิงตัวเลขที่เข้มงวดจะทำได้ยาก BPM อาศัยสมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าแบบจำลองทางเดียว แบบจำลองทางเดียวเหล่านี้เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ อันดับแรก ในตัวแปร z (สำหรับแกนของท่อนำแสง) เท่านั้น และสามารถแก้ไขได้เป็นปัญหาค่า "เริ่มต้น" ปัญหาค่า "เริ่มต้น" ไม่เกี่ยวข้องกับเวลา แต่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเชิงพื้นที่ z ^{[ 1 ]}

แบบจำลอง BPM และ PE ดั้งเดิมได้มาจากการประมาณซองสัญญาณที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆและเป็นที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลองทางเดียวแบบพาราแอกเซียล นับตั้งแต่นั้นมา ได้มีการนำเสนอแบบจำลองทางเดียวที่ได้รับการปรับปรุงจำนวนมาก แบบจำลองเหล่านี้มาจากแบบจำลองทางเดียวที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการรากที่สอง โดยได้มาจากการใช้การประมาณเชิงตรรกะกับตัวดำเนินการรากที่สอง หลังจากได้แบบจำลองทางเดียวแล้ว ก็ยังต้องแก้ปัญหาโดยการแบ่งส่วนตัวแปร z อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะรวมสองขั้นตอน (การประมาณเชิงตรรกะของตัวดำเนินการรากที่สองและการแบ่งส่วน z) เข้าเป็นขั้นตอนเดียว กล่าวคือ สามารถหาการประมาณเชิงตรรกะของสิ่งที่เรียกว่าตัวแพร่กระจายทางเดียว (เลขชี้กำลังของตัวดำเนินการรากที่สอง) ได้โดยตรง การประมาณเชิงตรรกะไม่ใช่เรื่องง่าย ตัวประมาณ Padé แนวทแยงมาตรฐานมีปัญหาเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่าโหมดที่จางหายไป โหมดเอวาเนสเซนต์เหล่านี้ควรจะสลายตัวอย่างรวดเร็วในแกน z แต่ตัวประมาณค่า Padé แนวทแยงจะแสดงผลผิดพลาดโดยมองว่าเป็นโหมดที่แพร่กระจายไปตามท่อคลื่น ปัจจุบันมีตัวประมาณค่าเชิงตรรกะที่ปรับปรุงแล้วซึ่งสามารถระงับโหมดเอวาเนสเซนต์ได้ ความแม่นยำของ BPM สามารถปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นได้หากใช้แบบจำลองทางเดียวแบบอนุรักษ์พลังงานหรือแบบจำลองทางเดียวแบบการกระเจิงเดี่ยว

โดยทั่วไป BPM ถูกกำหนดให้เป็นคำตอบของสมการ Helmholtzในกรณีฮาร์มอนิกเวลา ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k_{0}^{2}n^{2})\psi =0}$

โดยระบุช่องข้อมูลไว้ดังนี้

${\displaystyle E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)}$.

ตอนนี้ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ของสนามนี้ถูกเขียนขึ้นตามโพลาไรเซชัน TE หรือ TM ใดๆ ก็ได้

${\displaystyle \psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)}$,

พร้อมซองจดหมาย

${\displaystyle A(x,y)}$ตามการประมาณค่าที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(A(x,y))}{\partial y^{2}}}=0}$

เมื่อแทนค่าลงในสมการของเฮล์มโฮลทซ์แล้ว จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+k_{0}^{2}(n^{2}-\nu ^{2})\right]A(x,y)=\pm 2jk_{0}\nu {\frac {\partial A_{k}(x,y)}{\partial y}}}$

ด้วยเป้าหมายที่จะคำนวณสนาม ณ ทุกจุดในอวกาศสำหรับทุกช่วงเวลา เราจึงจำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชัน สำหรับอวกาศทั้งหมด จากนั้นเราก็สามารถสร้างภาพสนามขึ้นมาใหม่ได้เนื่องจากคำตอบเป็นสมการเฮล์มโฮลทซ์แบบฮาร์มอนิกตามเวลา เราจึงจำเป็นต้องคำนวณเพียงแค่ช่วงเวลาเดียวเท่านั้น เราสามารถมองเห็นภาพสนามตามทิศทางการแพร่กระจาย หรือโหมดคลื่นนำในหน้าตัดได้ ${\displaystyle A(x,y)}$${\displaystyle \psi (x,y)}$

ทั้ง วิธีการ ในโดเมนเชิงพื้นที่และ วิธีการ ในโดเมนความถี่ (สเปกตรัม)สามารถนำมาใช้ในการแก้สมการหลักแบบไม่ต่อเนื่องได้ เมื่อทำการแบ่งส่วนย่อยออกเป็นตาราง (โดยใช้วิธีผลต่างแบบศูนย์กลาง ต่างๆ วิธีCrank–Nicolson วิธี FFT-BPM เป็นต้น) และจัดเรียงค่าสนามใหม่ในลักษณะที่เป็นเหตุเป็นผลแล้ว จะคำนวณวิวัฒนาการของสนามผ่านการวนซ้ำตามทิศทางการแพร่กระจาย วิธีการในโดเมนเชิงพื้นที่คำนวณสนามในขั้นตอนถัดไป (ในทิศทางการแพร่กระจาย) โดยการแก้สมการเชิงเส้น ในขณะที่วิธีการในโดเมนสเปกตรัมใช้ขั้นตอน วิธี DFT แบบไปข้างหน้า/ผกผันที่มีประสิทธิภาพ วิธีการในโดเมนสเปกตรัมมีข้อได้เปรียบในด้านความเสถียรแม้ในกรณีที่มีความไม่เป็นเชิงเส้น (จากดัชนีหักเหหรือคุณสมบัติของตัวกลาง) ในขณะที่วิธีการในโดเมนเชิงพื้นที่อาจไม่เสถียรทางตัวเลขได้

BPM เป็นวิธีที่รวดเร็วและง่ายในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสนามในอุปกรณ์ออปติคอลแบบรวมวงจร โดยทั่วไปจะใช้เฉพาะในการแก้ปัญหาความเข้มและโหมดภายในโครงสร้างท่อนำคลื่นที่มีรูปร่าง (โค้งงอ เรียวลง ปลายปิด) เท่านั้น ซึ่งแตกต่างจากปัญหาการกระเจิง โครงสร้างเหล่านี้โดยทั่วไปประกอบด้วย วัสดุออปติคอล แบบไอโซโทรปิกแต่ BPM ยังได้รับการขยายให้สามารถจำลองการแพร่กระจายของแสงใน วัสดุ แอนไอโซโทรปิก ทั่วไป เช่นผลึกเหลวได้อีกด้วย วิธีนี้ช่วยให้สามารถวิเคราะห์ได้เช่น การหมุนของโพลาไรเซชันของแสงในวัสดุแอนไอโซโทรปิก ความสามารถในการปรับแต่งของตัวเชื่อมต่อทิศทางที่ใช้ผลึกเหลว หรือการเลี้ยวเบนของแสงในพิกเซล LCD

วิธีการแพร่กระจายลำแสง (Beam Propagation Method หรือ BPM) อาศัยการประมาณซองคลื่นที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆและไม่แม่นยำสำหรับการจำลองโครงสร้างที่เปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วหรือแบบไม่ต่อเนื่อง การใช้งานขั้นพื้นฐานยังไม่แม่นยำสำหรับการจำลองโครงสร้างที่แสงแพร่กระจายในมุมที่กว้าง และสำหรับอุปกรณ์ที่มีความแตกต่างของดัชนีหักเหสูง ซึ่งพบได้ทั่วไป เช่น ในซิลิคอนโฟโตนิกส์อย่างไรก็ตาม การใช้งานขั้นสูงช่วยลดข้อจำกัดเหล่านี้ลง ทำให้ BPM สามารถใช้จำลองกรณีเหล่านี้ได้อย่างแม่นยำ รวมถึงโครงสร้างซิลิคอนโฟโตนิกส์จำนวนมาก

วิธี BPM สามารถนำมาใช้จำลองการแพร่กระจายแบบสองทิศทางได้ แต่การสะท้อนจะต้องดำเนินการซ้ำๆ ซึ่งอาจนำไปสู่ปัญหาการลู่เข้าได้

• แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ
• วิธีโดเมนเวลาความแตกต่างจำกัด
• การขยายโหมดเฉพาะ
• วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์
• สมการของแม็กซ์เวลล์
• วิธีการของเส้น
• แสงสว่าง
• โฟตอน