อ่าน 16 นาที
วิธีโดเมนเวลาความแตกต่างจำกัด
วิธี ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ไทม์โดเมน ( FDTD ) หรือวิธีของยี (ตั้งชื่อตาม เคน เอส.
วิธีโดเมนเวลาความแตกต่างจำกัด
วิธี ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ไทม์โดเมน ( FDTD ) หรือวิธีของยี (ตั้งชื่อตาม เคน เอส. ยีนักคณิตศาสตร์ประยุกต์ชาวจีน- อเมริกัน เกิดปี 1934) เป็น เทคนิค การวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่ใช้สำหรับการสร้างแบบจำลองทางไฟฟ้าพลศาสตร์เชิงคำนวณ
ประวัติศาสตร์
แผนการความแตกต่างจำกัดสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบ ขึ้นอยู่กับเวลา (PDEs) ได้ถูกนำมาใช้เป็นเวลาหลายปีในปัญหาพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ[ 1 ]รวมถึงแนวคิดของการใช้ตัวดำเนินการความแตกต่างจำกัดแบบศูนย์กลางบนกริดแบบสลับตำแหน่งในอวกาศและเวลาเพื่อให้ได้ความแม่นยำอันดับสอง[ 1 ] ความแปลกใหม่ของแผนการ FDTD ของ Yee ซึ่งนำเสนอในบทความสำคัญในปี 1966 ของเขา[ 2 ]คือการประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการความแตกต่างจำกัดแบบศูนย์กลางบนกริดแบบสลับตำแหน่งในอวกาศและเวลาสำหรับแต่ละส่วนประกอบของสนามเวกเตอร์ไฟฟ้าและแม่เหล็กในสมการเคิร์ลของแม็กซ์เวลล์ คำอธิบาย "โดเมนเวลาความแตกต่างจำกัด" และคำย่อ "FDTD" ที่เกี่ยวข้องนั้นมีต้นกำเนิดมาจากAllen Tafloveในปี 1980 [ 3 ] ตั้งแต่ประมาณปี 1990 เทคนิค FDTD ได้ปรากฏขึ้นเป็นวิธีการหลักในการสร้างแบบจำลองเชิงคำนวณสำหรับปัญหาทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับ ปฏิสัมพันธ์ ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับโครงสร้างวัสดุ การประยุกต์ใช้งานแบบจำลอง FDTD ในปัจจุบันมีตั้งแต่ใกล้DC ( ธรณีฟิสิกส์ความถี่ต่ำมากที่เกี่ยวข้องกับโลกทั้งหมดและ ท่อนำคลื่น ไอโอโนสเฟี ยร์ ) ไปจนถึงไมโครเวฟ (เทคโนโลยีลายเซ็นเรดาร์ เสาอากาศอุปกรณ์สื่อสารไร้สาย การเชื่อมต่อดิจิทัล การถ่ายภาพ/การรักษาทางการแพทย์) ไปจนถึงแสงที่มองเห็นได้ ( ผลึกโฟตอนิกส์นาโน พ ลาสมอนิกส์โซลิตอนและไบโอโฟโตนิกส์ ) [ 4 ] ในปี 2549 มีสิ่งพิมพ์ที่เกี่ยวข้องกับ FDTD ประมาณ 2,000 ฉบับปรากฏในวารสารวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม (ดูความนิยม ) ณ ปี 2556 มีผู้จำหน่ายซอฟต์แวร์ FDTD เชิงพาณิชย์/กรรมสิทธิ์อย่างน้อย 25 ราย โครงการ FDTD ซอฟต์แวร์ฟรี/ โอเพนซอร์ส 13 โครงการ และโครงการ FDTD ซอฟต์แวร์ฟรี/ปิดแหล่งที่มา 2 โครงการ ซึ่งบางโครงการไม่ได้มีไว้สำหรับใช้ในเชิงพาณิชย์ (ดูลิงก์ภายนอก )
การพัฒนา FDTD และสมการของแม็กซ์เวลล์
การทำความเข้าใจพื้นฐาน การพัฒนาทางเทคนิค และอนาคตที่เป็นไปได้ของเทคนิคเชิงตัวเลข FDTD สำหรับสมการของแม็กซ์เวลล์ สามารถทำได้โดยการพิจารณาประวัติความเป็นมาของเทคนิคเหล่านี้ก่อน ต่อไปนี้คือรายชื่อสิ่งพิมพ์สำคัญบางส่วนในสาขานี้
| ลำดับเหตุการณ์บางส่วนของเทคนิค FDTD และการประยุกต์ใช้สมการของแม็กซ์เวลล์[ 5 ] | |
|---|---|
| ปี | เหตุการณ์ |
| 1928 | Courant, Friedrichs และ Lewy (CFL) เผยแพร่บทความสำคัญเกี่ยวกับการค้นพบเสถียรภาพแบบมีเงื่อนไขของแผนการผลต่างจำกัดแบบขึ้นอยู่กับเวลาที่ชัดเจน รวมถึงแผนการ FD แบบคลาสสิกสำหรับการแก้สมการคลื่นอันดับสองใน 1 มิติและ 2 มิติ[ 6 ] |
| 1950 | การปรากฏตัวครั้งแรกของวิธีการวิเคราะห์เสถียรภาพของ von Neumann สำหรับวิธีการผลต่างจำกัดแบบขึ้นอยู่กับเวลาโดยปริยาย/โดยชัดแจ้ง[ 7 ] |
| พ.ศ. 2509 | Yee อธิบายเทคนิคเชิงตัวเลข FDTD สำหรับการแก้สมการเคิร์ลของแม็กซ์เวลล์บนกริดที่สลับตำแหน่งในอวกาศและเวลา[ 2 ] |
| 1969 | Lam รายงานเงื่อนไขความเสถียรของ CFL เชิงตัวเลขที่ถูกต้องสำหรับอัลกอริทึมของ Yee โดยใช้การวิเคราะห์ความเสถียรของ von Neumann [ 8 ] |
| พ.ศ. 2518 | Taflove และ Brodwin รายงานโซลูชัน FDTD สถานะคงที่แบบไซน์แรกของปฏิสัมพันธ์คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าสองมิติและสามมิติกับโครงสร้างวัสดุ[ 9 ]และแบบจำลองชีวแม่เหล็กไฟฟ้าแรก[ 10 ] |
| พ.ศ. 2520 | Holland และ Kunz & Lee ได้นำอัลกอริทึมของ Yee มาใช้กับปัญหา EMP [ 11 ] [ 12 ] |
| 1980 | Taflove เป็นผู้คิดค้นคำย่อ FDTD และเผยแพร่แบบจำลอง FDTD ที่ได้รับการตรวจสอบครั้งแรกของการแทรกซึมของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์ในสภาวะคงที่เข้าไปในโพรงโลหะสามมิติ[ 3 ] |
| 1981 | Mur ได้เผยแพร่เงื่อนไขขอบเขตดูดซับ (ABC) ที่มีความเสถียรเชิงตัวเลขและมีความแม่นยำลำดับที่สองเป็นครั้งแรกสำหรับกริดของ Yee [ 13 ] |
| พ.ศ. 2525–2536 | Taflove และ Umashankar ได้พัฒนาแบบจำลองการกระเจิงคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า FDTD ครั้งแรก โดยคำนวณสนามใกล้เคียง สนามไกล และพื้นที่หน้าตัดเรดาร์แบบไซน์คงที่สำหรับโครงสร้างสองมิติและสามมิติ[ 14 ] [ 15 ] |
| 1984 | Liao และคณะได้รายงาน ABC ที่ได้รับการปรับปรุงโดยอาศัยการขยายขอบเขตเวลาและพื้นที่ของสนามที่อยู่ติดกับขอบเขตกริดด้านนอก[ 16 ] |
| พ.ศ. 2528 | Gwarek ได้นำเสนอสูตรวงจรสมมูลแบบรวมของ FDTD [ 17 ] |
| พ.ศ. 2529 | Choi และ Hoefer ได้เผยแพร่การจำลอง FDTD ครั้งแรกของโครงสร้างท่อนำคลื่น[ 18 ] |
| พ.ศ. 2530–2531 | Kriegsmann และคณะและ Moore และคณะ ได้ตีพิมพ์บทความแรกเกี่ยวกับทฤษฎี ABC ในIEEE Transactions on Antennas and Propagation [ 19 ] [ 20 ] |
| พ.ศ. 2530–2531, พ.ศ. 2535 | เทคนิคซับเซลล์เส้นทางตามเส้นโค้งได้รับการแนะนำโดย Umashankar et alเพื่ออนุญาตให้สร้างแบบจำลอง FDTD ของลวดบางและมัดลวด[ 21 ]โดย Taflove et alเพื่อสร้างแบบจำลองการทะลุผ่านรอยแตกในหน้าจอตัวนำ[ 22 ]และโดย Jurgens et alเพื่อสร้างแบบจำลองพื้นผิวของตัวกระจายแสงโค้งเรียบตามความสอดคล้อง[ 23 ] |
| 1988 | Sullivan และคณะได้ตีพิมพ์แบบจำลอง FDTD 3 มิติแรกของการดูดซับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์ในสภาวะคงที่โดยร่างกายมนุษย์ทั้งหมด[ 24 ] |
| 1988 | การสร้างแบบจำลอง FDTD ของไมโครสตริปได้รับการแนะนำโดย Zhang et al . [ 25 ] |
| พ.ศ. 2533–2534 | การสร้างแบบจำลอง FDTD ของค่าคงที่ไดอิเล็กตริกที่ขึ้นอยู่กับความถี่ได้รับการแนะนำโดย Kashiwa และ Fukai [ 26 ] Luebbers et al , [ 27 ]และ Joseph et al . [ 28 ] |
| พ.ศ. 2533–2534 | การสร้างแบบจำลอง FDTD ของเสาอากาศได้รับการแนะนำโดย Maloney et al [ 29 ] Katz et al [ 30 ]และTirkas และ Balanis [ 31 ] |
| 1990 | การสร้างแบบจำลอง FDTD ของสวิตช์ออปโตอิเล็กทรอนิกส์ระดับพิโควินาทีได้รับการแนะนำโดย Sano และ Shibata [ 32 ]และ El-Ghazaly et al . [ 33 ] |
| พ.ศ. 2535–2537 | มีการนำเสนอการสร้างแบบจำลอง FDTD ของการแพร่กระจายของพัลส์แสงในตัวกลางกระจายตัวแบบไม่เชิงเส้น ซึ่งรวมถึงโซลิตอนเชิงเวลาแรกในมิติเดียวโดย Goorjian และ Taflove [ 34 ] การโฟกัส ลำแสงด้วยตนเองโดย Ziolkowski และ Judkins [ 35 ]โซลิตอนเชิงเวลาแรกในสองมิติโดย Joseph et al [ 36 ] และ โซลิตอนเชิงพื้นที่แรกในสองมิติโดย Joseph และ Taflove [ 37 ] |
| 1992 | การสร้างแบบจำลอง FDTD ขององค์ประกอบวงจรอิเล็กทรอนิกส์แบบรวมศูนย์ได้รับการแนะนำโดย Sui et al . [ 38 ] |
| พ.ศ. 2536 | Toland และคณะได้เผยแพร่แบบจำลอง FDTD แรกของอุปกรณ์ขยายสัญญาณ (ไดโอดอุโมงค์และไดโอด Gunn) ที่กระตุ้นโพรงและเสาอากาศ[ 39 ] |
| พ.ศ. 2536 | Aoyagi และคณะนำเสนออัลกอริทึม Yee แบบไฮบริด/สมการคลื่นสเกลาร์ และสาธิตความเท่าเทียมกันของแผนการ Yee กับแผนการผลต่างจำกัดสำหรับสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า [ 40 ] |
| พ.ศ. 2537 | Thomas และคณะได้นำเสนอวงจรสมมูลของ Norton สำหรับโครงข่ายพื้นที่ FDTD ซึ่งช่วยให้เครื่องมือวิเคราะห์วงจร SPICE สามารถนำแบบจำลองย่อยที่แม่นยำของส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นหรือวงจรที่สมบูรณ์ซึ่งฝังอยู่ในโครงข่ายมาใช้ได้[ 41 ] |
| พ.ศ. 2537 | Berenger ได้แนะนำ ABC ของเลเยอร์ที่จับคู่ได้อย่างสมบูรณ์แบบ (PML) ที่มีประสิทธิภาพสูงสำหรับกริด FDTD สองมิติ[ 42 ]ซึ่งได้รับการขยายไปยังตาข่ายที่ไม่ตั้งฉากโดย Navarro et al [ 43 ] และสามมิติโดย Katz et al [ 44 ] และไปยังปลายท่อนำคลื่นแบบกระจายโดย Reuter et al [ 45 ] |
| พ.ศ. 2537 | Chew และ Weedon ได้แนะนำ PML ที่ยืดพิกัดซึ่งสามารถขยายไปยังสามมิติ ระบบพิกัดอื่น ๆ และสมการทางฟิสิกส์อื่น ๆ ได้อย่างง่ายดาย[ 46 ] |
| พ.ศ. 2538–2539 | Sacks et alและ Gedney ได้นำเสนอ ABC ชั้นจับคู่ที่สมบูรณ์แบบแบบแกนเดียว (UPML) ที่สามารถสร้างได้จริงทางกายภาพ[ 47 ] [ 48 ] |
| พ.ศ. 2540 | Liu ได้แนะนำ วิธี การโดเมนเวลาสเปกตรัมเทียม (PSTD) ซึ่งอนุญาตให้มีการสุ่มตัวอย่างเชิงพื้นที่หยาบมากของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่ขีดจำกัด Nyquist [ 49 ] |
| พ.ศ. 2540 | Ramahi ได้แนะนำวิธีการตัวดำเนินการเสริม (COM) เพื่อนำ ABC เชิงวิเคราะห์ที่มีประสิทธิภาพสูงมาใช้[ 50 ] |
| 1998 | Maloney และ Kesler ได้นำเสนอวิธีการใหม่หลายวิธีในการวิเคราะห์โครงสร้างเป็นระยะในโครงข่ายพื้นที่ FDTD [ 51 ] |
| 1998 | Nagra และ York ได้นำเสนอแบบจำลองไฮบริด FDTD-กลศาสตร์ควอนตัมของปฏิสัมพันธ์คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับวัสดุที่มีอิเล็กตรอนเปลี่ยนผ่านระหว่างระดับพลังงานหลายระดับ[ 52 ] |
| 1998 | Hagness และคณะได้นำเสนอการสร้างแบบจำลอง FDTD ของการตรวจหามะเร็งเต้านมโดยใช้เทคนิคเรดาร์อัลตร้าไวด์แบนด์[ 53 ] |
| 1999 | Schneider และ Wagner นำเสนอการวิเคราะห์ที่ครอบคลุมของการกระจายกริด FDTD โดยอิงตามเลขคลื่นเชิงซ้อน[ 54 ] |
| 2000–01 | เจิ้ง เฉิน และจาง ได้นำเสนออัลกอริทึม FDTD แบบสลับทิศทางโดยปริยายสามมิติ (ADI) ตัวแรกที่พิสูจน์ได้ว่ามีเสถียรภาพเชิงตัวเลขแบบไม่มีเงื่อนไข[ 55 ] [ 56 ] |
| 2000 | Roden และ Gedney ได้แนะนำ PML (CPML) ABC ขั้นสูงแบบ convolutional [ 57 ] |
| 2000 | Rylander และ Bondeson ได้นำเสนอเทคนิคไฮบริด FDTD - finite-element time-domain ที่พิสูจน์ได้ว่าเสถียร[ 58 ] |
| 2002 | Hayakawa และคณะ รวมถึง Simpson และ Taflove ได้นำเสนอแบบจำลอง FDTD ของท่อนำคลื่นไอโอโนสเฟียร์โลกสำหรับปรากฏการณ์ทางธรณีฟิสิกส์ความถี่ต่ำมากโดยอิสระ[ 59 ] [ 60 ] |
| 2003 | DeRaedt ได้นำเสนอเทคนิค FDTD แบบ "ขั้นตอนเดียว" ที่เสถียรโดยไม่มีเงื่อนไข[ 61 ] |
| 2004 | Soriano และ Navarro ได้กำหนดเงื่อนไขความเสถียรสำหรับเทคนิค Quantum FDTD [ 62 ] |
| 2008 | Ahmed, Chua, Li และ Chen ได้นำเสนอวิธีการ FDTD แบบหนึ่งมิติเฉพาะที่สามมิติ (LOD) และพิสูจน์ความเสถียรเชิงตัวเลขแบบไม่มีเงื่อนไข[ 63 ] |
| 2008 | Taniguchi, Baba, Nagaoka และ Ametani ได้นำเสนอการแสดงแทนลวดบางสำหรับการคำนวณ FDTD สำหรับสื่อนำไฟฟ้า[ 64 ] |
| 2009 | Oliveira และ Sobrinho ประยุกต์ใช้วิธี FDTD เพื่อจำลองการเกิดฟ้าผ่าในสถานีไฟฟ้าย่อย[ 65 ] |
| 2021 | Oliveira และ Paiva ได้พัฒนาวิธีการ Least Squares Finite-Difference Time-Domain (LS-FDTD) เพื่อใช้ขั้นตอนเวลาที่เกินขีดจำกัด FDTD CFL [ 66 ] |
แบบจำลองและวิธีการ FDTD
เมื่อ พิจารณา สมการเชิงอนุพันธ์ของแม็กซ์เวลล์จะเห็นได้ว่าการเปลี่ยนแปลงของสนาม E ในเวลา (อนุพันธ์เทียบกับเวลา) ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของสนาม H ในอวกาศ ( เคิร์ล ) ซึ่งส่งผลให้ความสัมพันธ์พื้นฐานของการก้าวเวลา FDTD ที่ว่า ณ จุดใด ๆ ในอวกาศ ค่าที่อัปเดตของสนาม E ในเวลาจะขึ้นอยู่กับค่าที่จัดเก็บของสนาม E และเคิร์ลเชิงตัวเลขของการกระจายตัวของสนาม H ในอวกาศ[ 2 ]
สนาม H จะถูกปรับเปลี่ยนตามเวลาในลักษณะเดียวกัน ณ จุดใด ๆ ในอวกาศ ค่าที่อัปเดตของสนาม H ตามเวลาจะขึ้นอยู่กับค่าที่จัดเก็บไว้ของสนาม H และค่า curl เชิงตัวเลขของการกระจายตัวเฉพาะที่ของสนาม E ในอวกาศ การวนซ้ำเพื่ออัปเดตสนาม E และสนาม H ส่งผลให้เกิดกระบวนการเดินหน้าตามเวลา โดยที่ข้อมูลตัวอย่างที่เทียบเท่ากับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าต่อเนื่องที่กำลังพิจารณาจะแพร่กระจายในตารางเชิงตัวเลขที่จัดเก็บไว้ในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์
คำอธิบายนี้ใช้ได้กับเทคนิค FDTD แบบ 1 มิติ 2 มิติ และ 3 มิติ เมื่อพิจารณามิติหลายมิติ การคำนวณ curl เชิงตัวเลขอาจซับซ้อนขึ้น บทความสำคัญของ Kane Yee ในปี 1966 เสนอให้จัดเรียงส่วนประกอบเวกเตอร์ของสนาม E และสนาม H ในเชิงพื้นที่รอบเซลล์หน่วยสี่เหลี่ยมของตารางคำนวณแบบคาร์ทีเซียน เพื่อให้ส่วนประกอบเวกเตอร์ของสนาม E แต่ละส่วนอยู่กึ่งกลางระหว่างส่วนประกอบเวกเตอร์ของสนาม H สองส่วน และในทางกลับกัน[ 2 ] แผนการนี้ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อYee latticeได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความแข็งแกร่งมาก และยังคงเป็นแกนหลักของโครงสร้างซอฟต์แวร์ FDTD ในปัจจุบันหลายๆ ตัว
นอกจากนี้ Yee ยังเสนอแผนการกระโดดข้ามสำหรับการเดินตามเวลา โดยที่การอัปเดตสนาม E และสนาม H จะถูกสลับกัน เพื่อให้การอัปเดตสนาม E ดำเนินการในช่วงกลางของแต่ละขั้นตอนเวลา ระหว่างการอัปเดตสนาม H ที่ต่อเนื่องกัน และในทางกลับกัน[ 2 ]ข้อดีคือ แผนการก้าวเวลาแบบชัดเจนนี้ช่วยหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการแก้สมการพร้อมกัน และยังให้การแพร่กระจายคลื่นเชิงตัวเลขที่ปราศจากการสูญเสียพลังงาน ข้อเสียคือ แผนการนี้กำหนดขอบเขตบนของขั้นตอนเวลาเพื่อให้มั่นใจถึงเสถียรภาพเชิงตัวเลข[ 9 ]ส่งผลให้การจำลองบางประเภทอาจต้องใช้ขั้นตอนเวลาหลายพันขั้นตอนจึงจะเสร็จสมบูรณ์
โดยใช้วิธี FDTD
ในการนำวิธีการ FDTD มาใช้ในการแก้สมการของแม็กซ์เวลล์ จำเป็นต้องกำหนดขอบเขตการคำนวณก่อน ขอบเขตการคำนวณนี้เป็นเพียงบริเวณทางกายภาพที่จะใช้ในการจำลอง สนามไฟฟ้า (E) และสนามแม่เหล็ก (H) จะถูกกำหนดที่ทุกจุดในขอบเขตการคำนวณนั้น วัสดุของแต่ละเซลล์ภายในขอบเขตการคำนวณจะต้องระบุด้วย โดยทั่วไปแล้ว วัสดุจะเป็นอากาศโลหะหรือฉนวนสามารถใช้วัสดุใดก็ได้ตราบใดที่ระบุค่า สภาพ ซึมผ่านได้ สภาพยอมทางไฟฟ้าและสภาพนำไฟฟ้าไว้
ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของวัสดุกระจายตัวในรูปแบบตารางไม่สามารถแทนที่ลงในแผนการ FDTD ได้โดยตรง แต่สามารถประมาณได้โดยใช้เทอม Debye, Drude, Lorentz หรือจุดวิกฤตหลายเทอม การประมาณนี้สามารถทำได้โดยใช้โปรแกรมฟิตติ้งแบบเปิด[ 67 ]และไม่จำเป็นต้องมีความหมายทางกายภาพ
เมื่อกำหนดโดเมนการคำนวณและวัสดุกริดแล้ว จะมีการระบุแหล่งกำเนิด แหล่งกำเนิดอาจเป็นกระแสไฟฟ้าบนลวด สนามไฟฟ้าที่ใช้ หรือคลื่นระนาบที่ตกกระทบ ในกรณีหลังนี้ FDTD สามารถใช้เพื่อจำลองการกระเจิงของแสงจากวัตถุที่มีรูปร่างใดๆ โครงสร้างคาบระนาบที่มุมตกกระทบต่างๆ[ 68 ] [ 69 ]และโครงสร้างแถบโฟตอนิกของโครงสร้างคาบอนันต์[ 70 ] [ 71 ]
เนื่องจากสนาม E และ H ถูกกำหนดโดยตรง ผลลัพธ์ของการจำลองจึงมักเป็นสนาม E หรือ H ณ จุดใดจุดหนึ่งหรือหลายจุดภายในโดเมนการคำนวณ การจำลองจะทำให้สนาม E และ H เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา
การประมวลผลข้อมูลอาจทำกับฟิลด์ E และ H ที่ได้จากการจำลอง นอกจากนี้ การประมวลผลข้อมูลอาจเกิดขึ้นในขณะที่การจำลองกำลังดำเนินอยู่
ในขณะที่เทคนิค FDTD คำนวณสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายในบริเวณเชิงพื้นที่ที่กะทัดรัด สนามไกลที่กระจัดกระจายและ/หรือแผ่รังสีสามารถได้รับผ่านการแปลงสนามใกล้เป็นสนามไกล[ 14 ]
ความเสถียร
เนื่องจากความเป็นเชิงเส้นของวิธีการ FDTD ขอบเขตความเสถียรของวิธีการ FDTD อาจถูกกำหนดโดยการวิเคราะห์ความเสถียรของ Von Neumannวิธีนี้ถือว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเป็นสัดส่วนกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อนแบบโมโนโครมาติก หลังจากขั้นตอนเวลาหนึ่งขั้น ขนาดของแอมพลิจูดของสนามที่เสถียรจะต้องคงที่หรือน้อยกว่า ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไข Courant–Friedrichs–Lewyซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ของพารามิเตอร์ FDTD เพื่อให้มั่นใจถึงความเสถียร[ 4 ]
จุดแข็งของการสร้างแบบจำลอง FDTD
เทคนิคการสร้างแบบจำลองทุกวิธีล้วนมีจุดแข็งและจุดอ่อน และวิธีการ FDTD ก็เช่นกัน
- FDTD เป็นเทคนิคการสร้างแบบจำลองอเนกประสงค์ที่ใช้ในการแก้สมการของแม็กซ์เวลล์ เทคนิคนี้ใช้งานง่าย ผู้ใช้จึงสามารถเข้าใจวิธีการใช้งานและรู้ว่าจะคาดหวังอะไรจากแบบจำลองที่กำหนดได้
- FDTD เป็นเทคนิคในโดเมนเวลา และเมื่อใช้พัลส์แบบบรอดแบนด์ (เช่น พัลส์แบบเกาส์เซียน) เป็นแหล่งกำเนิด จะสามารถหาการตอบสนองของระบบในช่วงความถี่กว้างได้ด้วยการจำลองเพียงครั้งเดียว ซึ่งมีประโยชน์ในแอปพลิเคชันที่ความถี่เรโซแนนซ์ไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด หรือเมื่อใดก็ตามที่ต้องการผลลัพธ์แบบบรอดแบนด์
- เนื่องจาก FDTD คำนวณสนาม E และ H ทุกที่ในโดเมนการคำนวณขณะที่มันเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา จึงเหมาะสำหรับการแสดงผลแบบเคลื่อนไหวของการเคลื่อนที่ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าผ่านแบบจำลอง การแสดงผลประเภทนี้มีประโยชน์ในการทำความเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในแบบจำลอง และช่วยให้มั่นใจได้ว่าแบบจำลองทำงานได้อย่างถูกต้อง
- เทคนิค FDTD ช่วยให้ผู้ใช้สามารถระบุวัสดุได้ทุกจุดภายในโดเมนการคำนวณ วัสดุไดอิเล็กทริกและแม่เหล็กเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นหลากหลายชนิดสามารถจำลองได้อย่างเป็นธรรมชาติและง่ายดาย
- FDTD ช่วยให้สามารถกำหนดผลกระทบของช่องเปิดได้โดยตรง สามารถค้นหาผลกระทบของการกำบัง และสามารถค้นหาสนามทั้งภายในและภายนอกโครงสร้างได้โดยตรงหรือโดยอ้อม
- FDTD ใช้ฟิลด์ E และ H โดยตรง เนื่องจากแอปพลิเคชันการจำลอง EMI/EMC ส่วนใหญ่สนใจฟิลด์ E และ H จึงสะดวกตรงที่ไม่ต้องทำการแปลงใดๆ หลังจากการจำลองเสร็จสิ้นเพื่อให้ได้ค่าเหล่านี้
จุดอ่อนของการสร้างแบบจำลอง FDTD
- เนื่องจาก FDTD กำหนดให้โดเมนการคำนวณทั้งหมดต้องเป็นกริด และการแบ่งส่วนเชิงพื้นที่ของกริดต้องละเอียดเพียงพอที่จะแยกแยะทั้งความยาวคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เล็กที่สุดและคุณลักษณะทางเรขาคณิตที่เล็กที่สุดในแบบจำลอง จึงสามารถพัฒนาโดเมนการคำนวณขนาดใหญ่มาก ซึ่งส่งผลให้เวลาในการแก้ปัญหานานมาก แบบจำลองที่มีคุณลักษณะยาวและบาง (เช่น ลวด) นั้นยากที่จะสร้างแบบจำลองใน FDTD เนื่องจากต้องใช้โดเมนการคำนวณขนาดใหญ่เกินไป วิธีการต่างๆ เช่นการขยายโหมดไอเกนสามารถนำเสนอทางเลือกที่มีประสิทธิภาพมากกว่า เนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้กริดละเอียดตามทิศทาง z [ 72 ]
- ไม่มีวิธีใดที่จะกำหนดค่าเฉพาะสำหรับค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าและสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็ก ณ รอยต่อของวัสดุได้
- ขั้นตอนเชิงพื้นที่และเวลาต้องเป็นไปตามเงื่อนไข CFLมิฉะนั้นการอินทิเกรตแบบกระโดดข้ามที่ใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอาจไม่เสถียร
- FDTD ค้นหาฟิลด์ E/H โดยตรงทุกที่ในโดเมนการคำนวณ หากต้องการค่าฟิลด์ที่ระยะทางไกล ระยะทางดังกล่าวอาจทำให้โดเมนการคำนวณมีขนาดใหญ่เกินไป การขยายฟิลด์ระยะไกลมีให้สำหรับ FDTD แต่ต้องมีการประมวลผลภายหลังในระดับหนึ่ง[ 4 ]
- เนื่องจากการจำลอง FDTD คำนวณสนาม E และ H ที่ทุกจุดภายในโดเมนการคำนวณ โดเมนการคำนวณจึงต้องมีขนาดจำกัดเพื่อให้สามารถเก็บไว้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ได้ ในหลายกรณีจะทำได้โดยการแทรกขอบเขตเทียมลงในพื้นที่การจำลอง ต้องระมัดระวังเพื่อลดข้อผิดพลาดที่เกิดจากขอบเขตดังกล่าว มีเงื่อนไขขอบเขตดูดซับ (ABC) ที่มีประสิทธิภาพสูงจำนวนมากที่ใช้จำลองโดเมนการคำนวณที่ไม่มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุด[ 4 ] การใช้งาน FDTD สมัยใหม่ส่วนใหญ่ใช้วัสดุดูดซับพิเศษที่เรียกว่าชั้นที่จับคู่ได้อย่างสมบูรณ์แบบ (PML) เพื่อใช้ในการสร้างขอบเขตดูดซับ[ 42 ] [ 47 ]
- เนื่องจาก FDTD แก้ปัญหาโดยการแพร่กระจายสนามไปข้างหน้าในโดเมนเวลา การตอบสนองทางแม่เหล็กไฟฟ้าของตัวกลางจึงต้องได้รับการจำลองอย่างชัดเจน สำหรับการตอบสนองใดๆ ก็ตาม วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการคอนโวลูชันเวลาที่มีค่าใช้จ่ายในการคำนวณสูง แม้ว่าในกรณีส่วนใหญ่ การตอบสนองของตัวกลาง (หรือการกระจายตัว (ทางแสง) ) สามารถจำลองได้อย่างเพียงพอและง่ายดายโดยใช้เทคนิคคอนโวลูชันแบบวนซ้ำ (RC) เทคนิคสมการเชิงอนุพันธ์เสริม (ADE) หรือเทคนิคการแปลง Z วิธีการอื่นในการแก้สมการของแม็กซ์เวลล์ที่สามารถจัดการกับการกระจายตัวใดๆ ได้อย่างง่ายดายคือโดเมนเชิงพื้นที่แบบเสมือนสเปกตรัม (PSSD)ซึ่งจะแพร่กระจายสนามไปข้างหน้าในอวกาศแทน
เทคนิคการตัดขอบตาราง
เทคนิคการตัดกริดที่ใช้กันทั่วไปสำหรับปัญหาการสร้างแบบจำลอง FDTD ในพื้นที่เปิด ได้แก่เงื่อนไขขอบเขตดูดซับ Mur (ABC) [ 13 ] เงื่อนไขขอบเขตดูดซับ Liao (ABC) [ 16 ]และสูตรชั้นที่จับคู่ได้อย่างสมบูรณ์แบบ (PML) ต่างๆ [ 4 ] [ 43 ] [ 42 ] [ 47 ]เทคนิค Mur และ Liao นั้นง่ายกว่า PML อย่างไรก็ตาม PML (ซึ่งในทางเทคนิคแล้วเป็นพื้นที่ดูดซับมากกว่าเงื่อนไขขอบเขต)สามารถให้การสะท้อนที่ต่ำกว่าหลายเท่า แนวคิด PML ได้รับการแนะนำโดย J.-P. Berenger ในบทความสำคัญในปี 1994 ในวารสาร Journal of Computational Physics [ 42 ] ตั้งแต่ปี 1994 การใช้งานสนามแยกดั้งเดิมของ Berenger ได้รับการแก้ไขและขยายไปยัง PML แบบแกนเดียว (UPML) PML แบบคอนโวลูชัน (CPML) และ PML ลำดับสูงกว่า สูตร PML สองสูตรหลังนี้มีความสามารถในการดูดซับคลื่นเอวาเนสเซนต์ได้ดีขึ้น ดังนั้นโดยหลักการแล้วจึงสามารถวางไว้ใกล้กับโครงสร้างจำลองการกระเจิงหรือการแผ่รังสีได้มากกว่าสูตรดั้งเดิมของเบเรนเจอร์
เพื่อลดการสะท้อนเชิงตัวเลขที่ไม่พึงประสงค์จาก PML สามารถใช้เทคนิคชั้นดูดซับด้านหลังเพิ่มเติมได้[ 73 ]
ความนิยม
ถึงแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วปริมาณงานตีพิมพ์ทางวิชาการจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาเดียวกัน และความสนใจในเทคนิคแม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ (CEM) ทั้งหมดจะขยายตัวอย่างมาก แต่ก็มีเหตุผลหลักเจ็ดประการที่ทำให้ความสนใจในวิธีการแก้ปัญหาเชิงคำนวณ FDTD สำหรับสมการของแม็กซ์เวลล์ขยายตัวอย่างมหาศาล:
- FDTD ไม่จำเป็นต้องใช้การผกผันเมทริกซ์ เนื่องจากเป็นการคำนวณแบบชัดเจนทั้งหมด FDTD จึงหลีกเลี่ยงความยากลำบากของการผกผันเมทริกซ์ที่จำกัดขนาดของสมการอินทิกรัลโดเมนความถี่และแบบจำลองแม่เหล็กไฟฟ้าไฟไนต์เอเลเมนต์ให้โดยทั่วไปมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้า น้อยกว่า 10⁹ ตัว[ 4 ]แบบจำลอง FDTD ที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสนามมากถึง 10⁹ ตัวได้ถูกใช้งานแล้ว ไม่มีขีดจำกัดบนที่แท้จริงของจำนวนนี้[ 4 ]
- FDTD มีความแม่นยำและแข็งแกร่ง แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดในการคำนวณ FDTD เป็นที่เข้าใจกันดี และสามารถจำกัดขอบเขตเพื่อให้สามารถสร้างแบบจำลองที่แม่นยำสำหรับปัญหาปฏิสัมพันธ์ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่หลากหลายมาก[ 4 ]
- FDTD จัดการกับพฤติกรรมแบบอิมพัลส์ได้อย่างเป็นธรรมชาติ เนื่องจากเป็นเทคนิคในโดเมนเวลา FDTD จึงคำนวณการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบแม่เหล็กไฟฟ้าโดยตรง ดังนั้น การจำลอง FDTD เพียงครั้งเดียวจึงสามารถให้รูปคลื่นเวลาแบบอัลตร้าไวด์แบนด์หรือการตอบสนองแบบไซน์ในสภาวะคงที่ที่ความถี่ใดๆ ภายในสเปกตรัมการกระตุ้นได้[ 4 ]
- FDTD จัดการกับพฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้อย่างเป็นธรรมชาติ เนื่องจากเป็นเทคนิคในโดเมนเวลา FDTD จึงคำนวณการตอบสนองที่ไม่เป็นเชิงเส้นของระบบแม่เหล็กไฟฟ้าโดยตรง ซึ่งช่วยให้สามารถผสมผสาน FDTD กับชุดสมการเชิงอนุพันธ์เสริมที่อธิบายความไม่เป็นเชิงเส้นจากมุมมองแบบคลาสสิกหรือกึ่งคลาสสิกได้อย่างเป็นธรรมชาติ[ 4 ] แนวทางการวิจัยหนึ่งคือการพัฒนาอัลกอริทึมแบบไฮบริดที่รวมแบบจำลองอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิกของ FDTD เข้ากับปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นจากอิเล็กโทรไดนามิกส์ควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งความผันผวนของสุญญากาศ เช่นผลกระทบของแคสิเมียร์[ 4 ] [ 74 ]
- FDTD เป็นแนวทางที่เป็นระบบ ด้วย FDTD การระบุโครงสร้างใหม่ที่จะสร้างแบบจำลองจะลดลงเหลือเพียงปัญหาของการสร้างตาข่ายแทนที่จะเป็นการปรับปรุงสมการอินทิกรัลที่อาจซับซ้อน ตัวอย่างเช่น FDTD ไม่จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชันกรีนที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้าง[ 4 ]
- สถาปัตยกรรมคอมพิวเตอร์แบบประมวลผลขนานกลายเป็นระบบหลักในการประมวลผลซูเปอร์คอมพิวเตอร์ FDTD ปรับขนาดได้อย่างมีประสิทธิภาพสูงบนคอมพิวเตอร์แบบประมวลผลขนานที่ใช้ CPU และทำงานได้ดีเยี่ยมบนเทคโนโลยีเร่งความเร็วแบบ GPU ที่พัฒนาขึ้นใหม่[ 4 ]
- ความสามารถในการแสดงภาพด้วยคอมพิวเตอร์กำลังเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ในขณะที่แนวโน้มนี้ส่งผลดีต่อเทคนิคเชิงตัวเลขทั้งหมด แต่เป็นประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับวิธีการ FDTD ซึ่งสร้างอาร์เรย์ของปริมาณสนามที่เคลื่อนที่ตามเวลาซึ่งเหมาะสมสำหรับการใช้งานในวิดีโอสีเพื่อแสดงพลวัตของสนาม[ 4 ]
- ความไม่สมมาตรได้รับการจัดการตามธรรมชาติโดยวิธี FDTD เซลล์ Yee ซึ่งมีส่วนประกอบในแต่ละทิศทางคาร์ทีเซียน สามารถกำหนดค่าด้วยคุณลักษณะที่ไม่สมมาตรได้อย่างง่ายดาย[ 4 ]
Taflove ได้โต้แย้งว่าปัจจัยเหล่านี้รวมกันบ่งชี้ว่า FDTD จะยังคงเป็นหนึ่งในเทคนิคอิเล็กโทรไดนามิกส์เชิงคำนวณที่โดดเด่น (รวมถึง ปัญหา ฟิสิกส์หลายมิติ อื่นๆ ด้วย ) [ 4 ]
ดูเพิ่มเติม
- แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ
- การขยายโหมดเฉพาะ
- วิธีการแพร่กระจายลำแสง
- โดเมนความถี่ผลต่างจำกัด
- วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์
- วิธีเมทริกซ์การกระเจิง
- การประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง
อ่านเพิ่มเติม
บทความต่อไปนี้ในNature Milestones: Photonsแสดงให้เห็นถึงความสำคัญทางประวัติศาสตร์ของวิธีการ FDTD ที่เกี่ยวข้องกับสมการของแม็กซ์เวลล์:
- David Pile (พฤษภาคม 2010). "หลักไมล์ที่ 2 (1861) สมการของแม็กซ์เวลล์" Nature Milestones: Photons . doi : 10.1038/nmat2639 . สืบค้นเมื่อ17 มิถุนายน 2010 .
บทสัมภาษณ์ของ Allen Taflove เรื่อง "Numerical Solution" ในฉบับพิเศษเดือนมกราคม 2015 ของNature Photonicsซึ่งจัดทำขึ้นเพื่อเฉลิมฉลองครบรอบ 150 ปีของการตีพิมพ์สมการของแม็กซ์เวลล์ บทสัมภาษณ์นี้กล่าวถึงความเชื่อมโยงระหว่างการพัฒนา FDTD กับประวัติศาสตร์กว่าศตวรรษครึ่งของทฤษฎีไฟฟ้าพลศาสตร์ของแม็กซ์เวลล์:
- บทสัมภาษณ์ Nature Photonics
ตำราเรียนระดับมหาวิทยาลัยต่อไปนี้ให้ความรู้เบื้องต้นที่ดีเกี่ยวกับวิธีการ FDTD:
- Karl S. Kunz; Raymond J. Luebbers (1993). วิธีโดเมนเวลาความแตกต่างจำกัดสำหรับแม่เหล็กไฟฟ้า . สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-0-8493-8657-2เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 10 ธันวาคม 2550 เรียกดูเมื่อวันที่ 5 สิงหาคม 2549
- Allen Taflove ; Susan C. Hagness (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, ฉบับที่ 3.สำนักพิมพ์ Artech House. ISBN 978-1-58053-832-9.
- Wenhua Yu; Raj Mittra; Tao Su; Yongjun Liu; Xiaoling Yang (2006). วิธีผลต่างจำกัดแบบขนานในโดเมนเวลา . สำนักพิมพ์ Artech House. ISBN 978-1-59693-085-8.
- John B. Schneider (2010). ทำความเข้าใจวิธีการ FDTDมีให้ดูออนไลน์
ลิงก์ภายนอก
โครงการ ซอฟต์แวร์ฟรี / ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์ส ของ FDTD:
- FDTD++ : ซอฟต์แวร์ FDTD ขั้นสูงที่มีฟังก์ชันครบครัน พร้อมด้วยแบบจำลองวัสดุที่ซับซ้อนและรูปทรงที่กำหนดไว้ล่วงหน้า รวมถึงฟอรัมสนทนา/ให้ความช่วยเหลือ และการสนับสนุนทางอีเมล
- openEMS (โปรแกรมแก้ปัญหา EC-FDTD แบบ 3 มิติเต็มรูปแบบสำหรับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและทรงกระบอก เขียนด้วยภาษา C++ โดยใช้ ส่วนต่อประสานกับ Matlab / Octave )
- pFDTD (โค้ด FDTD 3 มิติที่เขียนด้วยภาษา C++ พัฒนาโดย Se-Heon Kim)
- JFDTD (โค้ด FDTD ภาษา C++ 2 มิติ/3 มิติ ที่พัฒนาขึ้นสำหรับนาโนโฟโตนิกส์โดย Jeffrey M. McMahon)
- WOLFSIM ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 2 กรกฎาคม 2551 ที่Wayback Machine (NCSU) (2 มิติ)
- Meep ( MIT , FDTD แบบขนาน 2 มิติ/3 มิติ/ทรงกระบอก)
- (เรดาร์ทางภูมิศาสตร์) FDTD
- bigboy (ไม่มีการบำรุงรักษา ไม่มีไฟล์สำหรับเผยแพร่ ต้องดาวน์โหลดซอร์สโค้ดจาก CVS)
- รหัส Parallel (MPI&OpenMP) FDTD ในภาษา C++ (พัฒนาโดย Zs. Szabó)
- โค้ด FDTD ในภาษา Fortran 90
- โค้ด FDTD ในภาษาซีสำหรับการจำลองคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า 2 มิติ
- Angora (ซอฟต์แวร์ FDTD แบบขนาน 3 มิติ พัฒนาและดูแลโดย Ilker R. Capoglu)
- GSvit (โปรแกรมแก้ปัญหา FDTD 3 มิติ พร้อมรองรับการประมวลผลด้วยการ์ดกราฟิก เขียนด้วยภาษา C มีส่วนติดต่อผู้ใช้แบบกราฟิก XSvit ให้ใช้งาน)
- gprMax (ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์ส (GPLv3) โค้ดสำหรับสร้างแบบจำลอง FDTD 3 มิติ/2 มิติ ในภาษา Python/Cython พัฒนาขึ้นสำหรับ GPR แต่สามารถใช้สำหรับการสร้างแบบจำลอง EM ทั่วไปได้)
โปรเจกต์ FDTD แบบฟรีแวร์ / ซอฟต์แวร์ปิด (บางโปรเจกต์ไม่เหมาะสำหรับการใช้งานเชิงพาณิชย์):
- EMTL (Electromagnetic Template Library) (ไลบรารี C++ ฟรีสำหรับการจำลองทางแม่เหล็กไฟฟ้า เวอร์ชันปัจจุบันส่วนใหญ่ใช้การคำนวณ FDTD)