การประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Dipole ApproximationหรือDDA ) หรือที่รู้จักกันในชื่อการประมาณไดโพลแบบคู่ (Coupled Dipole Approximation ) เป็นวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการคำนวณการกระเจิงและการดูดกลืนรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าโดยอนุภาคที่มีรูปร่างและองค์ประกอบใดๆ วิธีนี้แสดงเป้าหมายต่อเนื่องเป็นอาร์เรย์จำกัดของไดโพลขนาดเล็กที่สามารถโพลาไรซ์ได้ และแก้ปัญหาปฏิสัมพันธ์ของไดโพลเหล่านั้นกับสนามที่ตกกระทบและระหว่างกันเอง DDA สามารถจัดการกับเป้าหมายที่มีองค์ประกอบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันและคุณสมบัติของวัสดุที่ไม่เป็นไอโซโทรปิก รวมถึงโครงสร้างแบบเป็นคาบได้ มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในสาขาต่างๆ เช่นนาโนโฟโต นิก ส์การกระเจิง ของ เรดาร์ฟิสิกส์ของละอองลอยทัศนศาสตร์ชีวการแพทย์และฟิสิกส์ดาราศาสตร์

แนวคิดพื้นฐานของ DDA ได้รับการนำเสนอในปี พ.ศ. 2507 โดย DeVoe ^{[ 1 ]}ซึ่งนำไปใช้ศึกษาคุณสมบัติทางแสงของกลุ่มโมเลกุล โดยไม่ได้รวมผลกระทบของการหน่วงเวลา ดังนั้นวิธีการของ DeVoe จึงจำกัดอยู่เฉพาะกลุ่มโมเลกุลที่มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความยาวคลื่น DDA ที่รวมผลกระทบของการหน่วงเวลา ได้รับการเสนอในปี พ.ศ. 2516 โดย Purcellและ Pennypacker ^{[ 2 ]} ซึ่งใช้ศึกษาอนุภาคฝุ่นระหว่างดาว กล่าวโดยง่าย DDA คือการประมาณเป้าหมายต่อเนื่องด้วยอาร์เรย์จำกัดของจุดโพลาไรซ์ จุดเหล่านี้จะได้รับโมเมนต์ไดโพลเพื่อตอบสนองต่อสนามไฟฟ้าเฉพาะที่ ไดโพลเหล่านี้มีปฏิสัมพันธ์กันผ่านสนามไฟฟ้า ดังนั้น DDA จึงบางครั้งเรียกว่าการประมาณไดโพลแบบคู่^{[ 3 ] [ 4 ]}

ธรรมชาติเป็นแรงบันดาลใจทางกายภาพสำหรับ DDA - ในปี พ.ศ. 2452 Lorentz ^{[ 5 ]} แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติไดอิเล็กทริกของสารสามารถเชื่อมโยงโดยตรงกับค่าโพลาไรเซชันของอะตอมแต่ละตัวที่ประกอบขึ้นเป็นสารนั้น โดยมีความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายและแม่นยำเป็นพิเศษ นั่นคือความสัมพันธ์ Clausius-Mossotti (หรือ Lorentz-Lorenz) เมื่ออะตอมตั้งอยู่บนโครงตาข่ายลูกบาศก์ เราอาจคาดหวังว่า เช่นเดียวกับการแสดงภาพต่อเนื่องของของแข็งที่เหมาะสมกับขนาดความยาวที่ใหญ่กว่าระยะห่างระหว่างอะตอม อาร์เรย์ของจุดโพลาไรซ์สามารถประมาณการตอบสนองของเป้าหมายต่อเนื่องได้อย่างแม่นยำที่ขนาดความยาวที่ใหญ่กว่าระยะห่างระหว่างไดโพล

สำหรับอาร์เรย์จำกัดของไดโพลจุด ปัญหาการกระเจิงอาจได้รับการแก้ไขอย่างแม่นยำ ดังนั้นการประมาณเพียงอย่างเดียวที่มีอยู่ใน DDA คือการแทนที่เป้าหมายต่อเนื่องด้วยอาร์เรย์ของไดโพลจุด N จุด การแทนที่นี้ต้องระบุทั้งเรขาคณิต (ตำแหน่งของไดโพล) และค่าโพลาไรซ์ของไดโพล สำหรับคลื่นตกกระทบแบบโมโนโครมาติก สามารถหาคำตอบที่สอดคล้องกันสำหรับโมเมนต์ไดโพลที่สั่นได้ จากนั้นจึงคำนวณภาคตัดขวางการดูดกลืนและการกระเจิง หากได้คำตอบ DDA สำหรับโพลาไรเซชันอิสระสองแบบของคลื่นตกกระทบ เมทริกซ์การกระเจิงแอมพลิจูดที่สมบูรณ์สามารถกำหนดได้ หรืออีกทางหนึ่ง DDA สามารถได้มาจากสมการปริมาตรอินทิกรัลสำหรับสนามไฟฟ้า [ ^{6 ] สิ่ง}นี้เน้นว่าการประมาณไดโพลจุดเทียบเท่ากับการแบ่งส่วนสมการอินทิกรัล และดังนั้นจึงลดลงเมื่อขนาดไดโพลลดลง

เมื่อตระหนักว่าค่าสภาพขั้วอาจเป็นเทนเซอร์แล้ว DDA จึงสามารถนำไปใช้กับวัสดุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้อย่างง่ายดาย การขยาย DDA เพื่อใช้กับวัสดุที่มีค่าสภาพแม่เหล็ก ไม่เป็นศูนย์ ก็ทำได้ง่ายเช่นกัน แม้ว่าในแอปพลิเคชันส่วนใหญ่ ผลกระทบจากแม่เหล็กจะน้อยมากก็ตาม

มีบทวิจารณ์หลายฉบับเกี่ยวกับวิธีการ DDA ^{[ 7 ] [ 6 ] [ 8 ] [ 9 ]}

วิธีการนี้ได้รับการปรับปรุงโดยDraine , Flatau และ Goodman ซึ่งใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็วเพื่อแก้ปัญหาการสังเคราะห์แบบเร็วที่เกิดขึ้นในการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง (DDA) ซึ่งทำให้สามารถคำนวณการกระเจิงโดยเป้าหมายขนาดใหญ่ได้ พวกเขาได้เผยแพร่โค้ดโอเพนซอร์ส DDSCAT ^{[ 7 ] [ 10 ]} ปัจจุบันมีการใช้งาน DDA หลายแบบ^{[ 6 ]}การขยายไปสู่เป้าหมายแบบเป็นคาบ^{[ 11 ]}และอนุภาคที่วางอยู่บนหรือใกล้กับพื้นผิวระนาบ^{[ 12 ] [ 13 ]}นอกจากนี้ยังมีการเผยแพร่การเปรียบเทียบกับเทคนิคที่แม่นยำ^{[ 14 ]} ด้านอื่นๆ เช่น เกณฑ์ความถูกต้องของการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง ก็ได้รับการเผยแพร่เช่นกัน^{[ 15 ]} DDA ยังได้รับการขยายเพื่อใช้ไดโพลรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือทรงลูกบาศก์^{[ 16 ]}ซึ่งมีประสิทธิภาพมากกว่าสำหรับอนุภาคที่มีรูปร่างแบนหรือยาวมาก

ในการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง วัตถุเป้าหมายจะถูกแทนด้วยอาร์เรย์จำกัดของ ไดโพลจุด Nตัวที่ตั้งอยู่ที่ตำแหน่ง( ) เวกเตอร์โพลาไรเซชันของแต่ละไดโพลมีความสัมพันธ์กับสนามไฟฟ้าเฉพาะที่ไดโพลนั้นโดยเทนเซอร์โพลาไรซ์ ของมัน : ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$${\displaystyle j=1,2,\dots ,N}$${\displaystyle \mathbf {P} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{j}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\alpha }__{j}}$

ในกรณีที่ไม่สมมาตร (ค่าสภาพขั้วในแนวทแยง)

${\displaystyle \mathbf {P} _{j}={\boldสัญลักษณ์ {\alpha }__{j}\cdot \mathbf {E} _{j}}$

เส้นทแยงมุมอยู่ ที่ไหน${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\alpha }__{j}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}={\begin{pmatrix}\alpha _{x,j}&0&0\\0&\alpha _{y,j}&0\\0&0&\alpha _{z,j}\end{pmatrix}}.}$

ซึ่งนำไปสู่ความสัมพันธ์แบบองค์ประกอบต่อองค์ประกอบ:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{x,j}&=\alpha _{x,j}E_{x,j},\\P_{y,j}&=\alpha _{y,j}E_{y,j},\\P_{z,j}&=\alpha _{z,j}E_{z,j}.\end{aligned}}}$

สำหรับวัสดุไอโซโทรปิกดังนั้น ${\displaystyle \alpha _{x,j}=\alpha _{y,j}=\alpha _{z,j}=\alpha _{j}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{j}=\alpha _{j}\mathbf {E} _{j}}$.

สนามไฟฟ้าเฉพาะที่ที่กระทำต่อ ไดโพลตัวที่ jจะได้จากผลรวมของสนามตกกระทบและสนามที่แผ่รังสีออกมาจากไดโพลอื่นๆ ทั้งหมด: ${\displaystyle \mathbf {E} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {inc} }(\mathbf {r} _{j})}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{j}=\mathbf {E} _{\mathrm {inc} }(\mathbf {r} _{j})+\sum _{k\neq j}\mathbf {G} (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k})\cdot \mathbf {P} _{k}}$

นี่คือฟังก์ชันกรีนแบบไดอะดิกที่อธิบายสนาม ณ ตำแหน่งเนื่องจากไดโพลหน่วยที่จุดกำเนิด ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

ฟังก์ชันกรีนแบบไดอะดิกในพื้นที่ว่างที่ใช้ในการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง (DDA) สามารถแสดงได้ในรูปของการกระทำของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์บนฟังก์ชันกรีนแบบสเกลาร์:

${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=\left[\nabla \nabla +k^{2}\mathbf {I} \right]{\frac {e^{ikr}}{r}},}$

โดยที่คือเลขคลื่นคือเมทริกซ์เอกลักษณ์และคือเวกเตอร์จากไดโพลแหล่งกำเนิดไปยังจุดสังเกต การประเมินอนุพันธ์นำไปสู่รูปแบบที่ชัดเจนดังนี้: ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\frac {e^{ikr}}{r^{3}}}\left[k^{2}r^{2}\left(\mathbf {I} -{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)+(1-ikr)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {I} \right)\right],}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากแหล่งกำเนิดไปยังจุดสังเกต ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /|\mathbf {r} |}$

เทนเซอร์ของกรีนนี้อธิบายถึงสนามไฟฟ้าที่เกิดจากไดโพลในตัวกลางเอกพันธุ์ มันถูกใช้ในการคำนวณบล็อกนอกแนวทแยงของเมทริกซ์ปฏิสัมพันธ์ใน DDA ซึ่งก็คือปฏิสัมพันธ์ระหว่างไดโพลที่แตกต่างกันเทอมเอกลักษณ์ของตัวเองจะถูกตัดออกและแทนที่ด้วยเทอมเฉพาะที่กำหนดไว้ล่วงหน้าซึ่งเกี่ยวข้องกับเทนเซอร์โพลาไรซ์ผกผัน ${\displaystyle j\neq k}$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} =0)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}}$

ดังนั้น สนามไฟฟ้าที่ไดโพลเนื่องจากไดโพลจึงกำหนดโดย ${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left[k^{2}r_{jk}^{2}\left(\mathbf {I} -{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}\right)+\left(1-ikr_{jk}\right)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}-\mathbf {I} \right)\right],}$

โดยที่, , และ. ในที่นี้คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ และคือเลขคลื่นสุญญากาศ ${\displaystyle \mathbf {r} _{jk}=\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k}}$${\displaystyle r_{jk}=|\mathbf {r} _{jk}|}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}=\mathbf {r} _{jk}/r_{jk}}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

กำหนด

${\displaystyle C_{1}(r_{jk})={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left(k^{2}r_{jk}^{2}+ikr_{jk}-1\right),}$

${\displaystyle C_{2}(r_{jk})={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left(3-3ikr_{jk}-k^{2}r_{jk}^{2}\right).}$

ฟังก์ชันกรีนแบบคู่คือ: ${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}={\begin{pmatrix}C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}^{2}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}{\hat {r}}_{jk,y}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}{\hat {r}}_{jk,z}\\C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}{\hat {r}}_{jk,x}&C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}^{2}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}{\hat {r}}_{jk,z}\\C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}{\hat {r}}_{jk,x}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}{\hat {r}}_{jk,y}&C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}^{2}\end{pmatrix}},}$

โปรดสังเกตว่ามันสมมาตร: . ${\displaystyle G_{jk}^{yx}=G_{jk}^{xy},\;G_{jk}^{zx}=G_{jk}^{xz},\;G_{jk}^{zy}=G_{jk}^{yz}}$

นี่คือเวกเตอร์การกระจัดจากไดโพลหนึ่งไปยังอีกไดโพลหนึ่งคือระยะห่างระหว่างไดโพลทั้งสอง และคือเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากไปยังส่วนประกอบของถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {r} _{jk}=\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle r_{jk}=|\mathbf {r} _{jk}|}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}=\mathbf {r} _{jk}/r_{jk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}}$

${\displaystyle {\hat {r}}_{jk,x}={\frac {r_{j,x}-r_{k,x}}{r_{jk}}},\;{\hat {r}}_{jk,y}={\frac {r_{j,y}-r_{k,y}}{r_{jk}}},\;{\hat {r}}_{jk,z}={\frac {r_{j,z}-r_{k,z}}{r_{jk}}}.}$

ในการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Dipole Approximation: DDA) การตอบสนองทางแม่เหล็กไฟฟ้าของเป้าหมายจะถูกจำลองโดยการแทนที่วัสดุต่อเนื่องด้วยอาร์เรย์ของไดโพลแบบจุดจำนวนจำกัด ไดโพลแต่ละตัวแสดงถึงปริมาตรเล็กๆ ของวัสดุและทำหน้าที่เป็นหน่วยที่สามารถเกิดการโพลาไรซ์ได้ซึ่งมีปฏิสัมพันธ์กับทั้งสนามตก กระทบและสนามที่แผ่รังสีจากไดโพลอื่นๆ ทั้งหมด พารามิเตอร์สำคัญที่อธิบายว่าไดโพลแต่ละตัวตอบสนอง ต่อ สนาม ไฟฟ้า เฉพาะที่อย่างไรคือค่าสภาพการโพลา ไรซ์ (Polyrizability) สำหรับวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน ค่าสภาพการโพลาไรซ์ของไดโพลจะถูกกำหนดโดย ฟังก์ชัน ไดอิเล็กทริก เชิงซ้อน (Complex Dielectric Function: Δ ... ${\displaystyle \alpha _{j}}$${\displaystyle \varepsilon (\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n=n'+in''}$${\displaystyle \varepsilon =n^{2}}$${\displaystyle \alpha _{j}}$

ในการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง ปริมาตรทั้งหมดของเป้าหมายจะถูกแบ่งออกเป็นเซลล์ทรงลูกบาศก์ขนาดเล็กที่มีปริมาตรโดยที่คือระยะห่างระหว่างจุดในโครงตาข่าย ค่าสภาพขั้วของคลอซิอุส-มอสซอตติสำหรับแต่ละไดโพลคือ ${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }=d^{3}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \alpha _{j}={\frac {3V_{\mathrm {dipole} }}{4\pi }}{\frac {\varepsilon _{j}-1}{\varepsilon _{j}+2}},}$

โดยที่คือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมพัทธ์ของวัสดุ ณ ตำแหน่งของไดโพล ปริมาตรของไดโพลมีค่าคงที่ตลอดทุกไดโพล ${\displaystyle \varepsilon _{j}}$${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }}$

สูตรนี้ตั้งสมมติฐานว่าไดโพลแต่ละตัวครอบครองปริมาตรที่ฝังอยู่ในตัวกลางไดอิเล็กทริกที่เป็นเนื้อเดียวกัน ในการใช้งาน DDA ส่วนใหญ่ สูตรจะแสดงในหน่วยเกาส์เซียน (CGS) ในหน่วยเหล่านี้ ค่าโพลาไรซ์มีมิติเป็นปริมาตร (cm³ ⁾ในการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง ปริมาตรทั้งหมดของเป้าหมายจะถูกแบ่งออกเป็นเซลล์ลูกบาศก์ขนาดเล็กที่มีปริมาตรโดยที่คือระยะห่างระหว่างแลตติส และคือจำนวนไดโพลทั้งหมด ดังนั้นปริมาตรทั้งหมดของเป้าหมายคือ ${\displaystyle \alpha _{j}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }=d^{3}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle V_{\mathrm {target} }=Nd^{3}.}$

เพื่อปรับปรุงความแม่นยำของวิธีการ จึงมีการใช้การแก้ไขต่างๆ ซึ่งรวมถึง: ค่าโพลาไรซ์ของความสัมพันธ์การกระจายตัวของแลตติส (LDR) (Draine & Goodman, 1993) ซึ่งปรับเพื่อให้แน่ใจว่าความสัมพันธ์การกระจายตัวของแลตติสอนันต์ของไดโพลตรงกับของวัสดุต่อเนื่อง และการแก้ไขปฏิกิริยาการแผ่รังสี (RR) ซึ่งชดเชยข้อเท็จจริงที่ว่าไดโพลแต่ละตัวแผ่พลังงานและได้รับอิทธิพลจากสนามการแผ่รังสีของตัวเอง ${\displaystyle \alpha _{j}}$${\displaystyle \alpha _{j}}$

พารามิเตอร์ขนาดเป็นปริมาณไร้หน่วยที่ใช้ในทฤษฎีการกระเจิงเพื่อบ่งบอกลักษณะของขนาดของอนุภาคเมื่อเทียบกับความยาวคลื่นของแสงตกกระทบ สำหรับทรงกลม จะนิยามได้ดังนี้:

${\displaystyle x={\frac {2\pi r}{\lambda }}=kr}$

โดยที่: คือพารามิเตอร์ขนาด (ไม่มีหน่วย), คือรัศมีของทรงกลม, คือความยาวคลื่นของแสงในสุญญากาศ ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$คือเลขคลื่น

ในกรณีของทรงกลม พารามิเตอร์ขนาดจะเป็นตัวกำหนดรูปแบบการกระเจิง:

• ถ้าเป็นเช่นนั้นการกระเจิงแบบเรย์ลีจะมีบทบาทเด่นกว่า${\displaystyle x\ll 1}$
• ถ้าเป็นเช่นนั้นการกระเจิงจะอยู่ในขอบเขตของ การกระเจิง แบบMie${\displaystyle x\sim 1}$
• ถ้าเป็นเช่นนั้น การประมาณค่า ทางทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตก็ จะใช้ได้${\displaystyle x\gg 1}$

สำหรับเป้าหมายที่ไม่เป็นทรงกลมแต่มีปริมาตรเท่ากับทรงกลมมักจะใช้รัศมีประสิทธิผลแทนโดยมีสูตรดังนี้: ${\displaystyle r_{\text{eff}}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{\text{eff}}=\left({\frac {3V_{\text{tot}}}{4\pi }}\right)^{1/3}=\left({\frac {3Nd^{3}}{4\pi }}\right)^{1/3}}$

โดยที่: คือจำนวนไดโพลทั้งหมด, คือระยะห่างระหว่างไดโพล, คือปริมาตรทั้งหมดที่แสดงโดยไดโพล ซึ่งจะให้ค่าพารามิเตอร์ขนาดที่มีประสิทธิภาพ ${\displaystyle N}$${\displaystyle d}$${\displaystyle V_{\text{tot}}=Nd^{3}}$

${\displaystyle x_{\text{eff}}={\frac {2\pi r_{\text{eff}}}{\lambda }}}$

เทคนิคที่สะดวกอย่างหนึ่งในการทดสอบความแม่นยำของ DDA บางกรณีคือ การกำหนดความยาวคลื่นเป็นในกรณีเช่นนี้ รัศมีประสิทธิผลจะเท่ากับพารามิเตอร์ขนาดประสิทธิผล ${\displaystyle 2\pi }$

แต่ละจุดโพลาไรซ์ได้ (ไดโพล) จะครอบครองปริมาตรทรงลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านโดยคล้ายคลึงกับพารามิเตอร์ขนาดโดยรวมที่ใช้สำหรับอนุภาคทั้งหมด เราสามารถกำหนดพารามิเตอร์ขนาดเฉพาะที่สำหรับแต่ละไดโพลได้: ${\displaystyle d}$${\displaystyle x=2\pi r/\lambda }$

${\displaystyle x_{d}=|m|kd={\frac {2\pi |m|d}{\lambda }}}$

พารามิเตอร์เฉพาะที่นี้จะวัดอัตราส่วนของขนาดไดโพลต่อความยาวคลื่นของแสงภายในวัสดุ เพื่อให้ DDA มีความแม่นยำ สนามควรเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ตามขนาดของแต่ละไดโพล เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงเมื่อ:

${\displaystyle x_{d}=|m|kd\lesssim 0.5}$

สิ่งนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าไดโพลแต่ละตัวมีขนาดเล็กทางแสง สนามจะเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ทั่วไดโพล และสูตรค่าสภาพขั้วที่ใช้สำหรับแต่ละไดโพลนั้นถูกต้องแม่นยำ โปรดสังเกตว่าพารามิเตอร์ที่คล้ายกันนี้มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการเลี้ยวเบนแบบผิดปกติของแวน เดอ ฮุลสต์ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงเฟสทั้งหมดที่เกิดขึ้นกับรังสีแสงที่เดินทางผ่านหรือรอบอนุภาคจะกำหนดโดย:

${\displaystyle \delta =2\pi (m-1){\frac {r}{\lambda }}}$

นี่เป็นการอธิบายถึง ความแตกต่าง ของเส้นทางแสงที่เกิดจากอนุภาค (หรือในกรณีของ DDA เกิดจากไดโพล)

ระบบเชิงเส้นแบบ Discrete Dipole Approximation (DDA) สามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {E} _{\mathrm {inc} }}$

โดยที่คือเมทริกซ์ของระบบคือเวกเตอร์โพลาไรเซชันที่ไม่ทราบค่า และคือเวกเตอร์สนามไฟฟ้าตกกระทบ เรามี ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$${\displaystyle \mathbf {P} \in \mathbb {C} ^{3N}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {inc} }\in \mathbb {C} ^{3N}}$

${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {G} +\mathrm {diag} ({\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1},\dots ,{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1})}$.

${\displaystyle \mathbf {G} }$เข้ารหัสปฏิสัมพันธ์ระหว่างไดโพลผ่านเทนเซอร์ของกรีน (แบบไม่เฉพาะที่) และเป็นเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงที่มีแต่ละบล็อก ${\displaystyle \mathrm {diag} ({\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1},\dots ,{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$

ให้Nเป็นจำนวนไดโพล แต่ละไดโพลมีเวกเตอร์โพลาไรเซชันระบบทั้งหมดเป็นสมการเมทริกซ์ขนาด: ${\displaystyle \mathbf {P} _{j}\in \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle 3N\times 3N}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1}&-\mathbf {G} _{12}&-\mathbf {G} _{13}&\cdots &-\mathbf {G} _{1N}\\-\mathbf {G} _{21}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}^{-1}&-\mathbf {G} _{23}&\cdots &-\mathbf {G} _{2N}\\-\mathbf {G} _{31}&-\mathbf {G} _{32}&{\boldsymbol {\alpha }}_{3}^{-1}&\cdots &-\mathbf {G} _{3N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-\mathbf {G} _{N1}&-\mathbf {G} _{N2}&-\mathbf {G} _{N3}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{1}\\\mathbf {P} _{2}\\\vdots \\\mathbf {P} _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,1}\\\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,2}\\\vdots \\\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,N}\end{bmatrix}}}$

แต่ละบล็อกเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อน ซึ่งกำหนดโดย: ${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}}$${\displaystyle 3\times 3}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}={\begin{cases}{\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3},&{\text{if }}j=k\\-\mathbf {G} _{jk}\in \mathbb {C} ^{3\times 3},&{\text{if }}j\neq k\end{cases}}}$

ดังนั้นจึงประกอบด้วยบล็อกแต่ละบล็อกมีขนาด โดยที่คือเทนเซอร์โพลาไรซ์ผกผันคือเทนเซอร์กรีนแบบไดอะดิกสำหรับการปฏิสัมพันธ์ระหว่างไดโพลและคือโพลาไรเซชันของไดโพลและสนามไฟฟ้าตกกระทบที่ไดโพลตามลำดับ ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {P} _{j},\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,j}\in \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle j}$

โดยทั่วไป ไดโพลจะถูกจัดเรียงบนตารางที่เป็นระเบียบ ซึ่งหมายความว่ามีคุณสมบัติการคงรูปเมื่อเลื่อนตำแหน่ง:

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}=\mathbf {G} (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k})=\mathbf {G} _{|j-k|}}$

เนื่องจากเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์สมมาตร: ${\displaystyle \mathbf {G} _{|j-k|}=\mathbf {G} _{|k-j|}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}=\mathbf {A} _{kj}\quad {\text{for all }}j,k}$

ไดโพลแต่ละตัวมีส่วนประกอบเวกเตอร์สามส่วน ( , , ) ดังนั้นเราสามารถจัดเรียงเวกเตอร์ที่ไม่ทราบค่าใหม่ได้โดยการจัดกลุ่มส่วนประกอบ x ทั้งหมดเข้าด้วยกัน จากนั้นส่วนประกอบ y และส่วนประกอบ z ตามลำดับ: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {P} }$

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{x}\\\mathbf {P} _{y}\\\mathbf {P} _{z}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{3N}\quad {\text{where}}\quad \mathbf {P} _{x}={\begin{bmatrix}P_{1x}\\P_{2x}\\\vdots \\P_{Nx}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{y}={\begin{bmatrix}P_{1y}\\P_{2y}\\\vdots \\P_{Ny}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{z}={\begin{bmatrix}P_{1z}\\P_{2z}\\\vdots \\P_{Nz}\end{bmatrix}}}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถจัดกลุ่มข้อมูลเหตุการณ์ได้ดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {inc} }={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{3N}}$

เนื่องจากระบบเป็นแบบเชิงเส้น เราจึงสามารถเขียนใหม่ให้เทียบเท่าใน รูปแบบ เมทริกซ์บล็อกซึ่งอธิบายว่าส่วนประกอบ z ของโพลาไรเซชันส่งผลต่อส่วนประกอบ z ของสนามที่เกิดขึ้นอย่างไร: ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{xx}&\mathbf {A} _{xy}&\mathbf {A} _{xz}\\\mathbf {A} _{yx}&\mathbf {A} _{yy}&\mathbf {A} _{yz}\\\mathbf {A} _{zx}&\mathbf {A} _{zy}&\mathbf {A} _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{x}\\\mathbf {P} _{y}\\\mathbf {P} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{bmatrix}}}$

รูปแบบที่ขยายของสมการมีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {G} _{xx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{xy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{xz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{x}&=\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\-\mathbf {G} _{yx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{yy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{yz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{y}&=\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\-\mathbf {G} _{zx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{zy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{zz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{z}&=\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{aligned}}}$

แต่ละบล็อกและขนาดของระบบทั้งหมดคือเมทริกซ์ปฏิสัมพันธ์ประกอบด้วย 9 บล็อก: (จำเป็นต้องประเมินเพียง 6 บล็อกเนื่องจากสมมาตร) การคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์แต่ละครั้งสามารถคำนวณได้โดยใช้การสังเคราะห์ (convolution) เมื่อไดโพลถูกจัดเรียงบนตารางปกติ ทำให้สามารถใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) เพื่อเร่งความเร็วในการแก้ปัญหาได้ ${\displaystyle \mathbf {G} _{ij}\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$${\displaystyle 3N\times 3N}$${\displaystyle \mathbf {G} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{xx},\mathbf {G} _{xy},\mathbf {G} _{xz},\mathbf {G} _{yx},\mathbf {G} _{yy},\mathbf {G} _{yz},\mathbf {G} _{zx},\mathbf {G} _{zy},\mathbf {G} _{zz}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\alpha \beta }\mathbf {P} _{\beta }}$

ให้แทนเทนเซอร์สภาพโพลาไรซ์ผกผันสำหรับไดโพลแต่ละเป็นเมทริกซ์ค่าเชิงซ้อน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}}$${\displaystyle 3\times 3}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{x}=\mathrm {diag} (\beta _{1,xx},\dots ,\beta _{N,xx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,xy},\dots ,\beta _{N,xy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,xz},\dots ,\beta _{N,xz})\,\mathbf {P} _{z}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{y}=\mathrm {diag} (\beta _{1,yx},\dots ,\beta _{N,yx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,yy},\dots ,\beta _{N,yy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,yz},\dots ,\beta _{N,yz})\,\mathbf {P} _{z}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{z}=\mathrm {diag} (\beta _{1,zx},\dots ,\beta _{N,zx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,zy},\dots ,\beta _{N,zy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,zz},\dots ,\beta _{N,zz})\,\mathbf {P} _{z}}$

ในกรณีพิเศษของอนุภาคไอโซโทรปิกและเอกรูป ค่าโพลาไรเซชันจะเหมือนกันสำหรับไดโพลทั้งหมดและเป็นสัดส่วนกับเมทริกซ์เอกลักษณ์: . จากนั้น เมทริกซ์ผกผันจะกลายเป็น องค์ประกอบนอกแนวทแยงทั้งหมดจะหายไป และนิพจน์จะลดลงเหลือเพียงการหารแบบง่ายๆ ทีละองค์ประกอบ: ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}=\alpha \,\mathbf {I} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}=\alpha ^{-1}\,\mathbf {I} }$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )={\frac {1}{\alpha }}\,\mathbf {P} }$

หมายเหตุเกี่ยวกับการนำไปใช้งานจริง ในFortranและ MATLAB อาร์เรย์ เช่นหรือจะถูกจัดเก็บในลำดับแบบเรียงตามคอลัมน์ โดยดัชนีแรกจะเปลี่ยนแปลงเร็วที่สุดในหน่วยความจำ (แบบแอนตี้เลกซิโคกราฟิก) ซึ่งหมายความว่าส่วนประกอบ x ทั้งหมดจะอยู่ติดกันในหน่วยความจำ ตามด้วยส่วนประกอบ y ทั้งหมดและจากนั้นส่วนประกอบ z ทั้งหมดในทางตรงกันข้าม Python ( NumPy ) ใช้ลำดับแบบเรียงตามแถวเป็นค่าเริ่มต้น (แบบเลกซิโคกราฟิก ดัชนีสุดท้ายเปลี่ยนแปลงเร็วที่สุด) เพื่อให้ได้รูปแบบการจัดเรียงที่ติดกันของ, , ในหน่วยความจำเช่นเดียวกัน อาร์เรย์ควรถูกกำหนดใน Python เป็นโดยมีดัชนีส่วนประกอบเวกเตอร์ (x, y, z) อยู่ก่อน วิธีนี้จะทำให้มั่นใจได้ว่าจะถูกจัดเก็บติดกันในหน่วยความจำ ตามด้วย และ${\displaystyle \mathbf {P} (n_{x},n_{y},n_{z},3)}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{\mathrm {inc} }(n_{x},n_{y},n_{z},3)}$${\displaystyle \mathbf {P} _{x}=\mathbf {P} (:,:,:,1)}$${\displaystyle \mathbf {P} _{y}=\mathbf {P} (:,:,:,2)}$${\displaystyle \mathbf {P} _{z}=\mathbf {P} (:,:,:,3)}$${\displaystyle \mathbf {P} _{x}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{y}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{z}}$${\displaystyle \mathbf {P} (3,n_{x},n_{y},n_{z})}$${\displaystyle \mathbf {P} _{x}=\mathbf {P} [0,:,:,:]}$${\displaystyle \mathbf {P} _{y}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{z}}$

โดยทั่วไปแล้ว การแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นใน DDA จะดำเนินการโดยใช้วิธีการวนซ้ำ วิธีการเหล่านี้มีเป้าหมายเพื่อลดเวกเตอร์ตกค้างให้น้อยที่สุดผ่านการประมาณเวกเตอร์โพลาไรเซชันอย่างต่อเนื่องการใช้งานในยุคแรกๆ ได้แก่ วิธีการที่ใช้การผกผันเมทริกซ์โดยตรง^{[ 2 ]}รวมถึงการใช้อัลกอริธึมการไล่ระดับแบบสังยุค (CG) ของ Petravic และ Kuo-Petravic ^{[ 17 ]}ต่อมา วิธีการไล่ระดับแบบสังยุคต่างๆ ได้รับการสำรวจและปรับปรุงสำหรับการใช้งาน DDA ^{[ 18 ]}วิธีการเหล่านี้เหมาะอย่างยิ่งสำหรับระบบขนาดใหญ่ เนื่องจากต้องการเพียงผลคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์และไม่จำเป็นต้องจัดเก็บเมทริกซ์ทั้งหมดอย่างชัดเจน ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {P} =\mathbf {E} ^{\mathrm {inc} }}$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {E} ^{\mathrm {inc} }-\mathbf {A} \cdot \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

ในทางปฏิบัติ ต้นทุนการคำนวณหลักใน DDA เกิดจากการประเมินผลคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์ซ้ำๆ ในระหว่างกระบวนการวนซ้ำ เมื่อเวกเตอร์ถูกจัดเก็บในรูปแบบบล็อกส่วนประกอบ (เช่น, , ) การกระทำของจะลดลงเหลือการประเมินผลคูณย่อยเก้ารายการในรูปแบบโดยที่การดำเนินการเหล่านี้สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้เทคนิคการสังเคราะห์และการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) เมื่อเรขาคณิตไดโพลเป็นแบบกริด ${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{x}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{y}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{z}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} _{\alpha \beta }\mathbf {P} _{\beta }}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{x,y,z\}}$

การใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) เพื่อเร่งการดำเนินการคอนโวลูชันในการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง (DDA) ได้รับการแนะนำโดย Goodman, Draine และ Flatau ในปี 1991 ^{[ 19 ]}วิธีการของพวกเขาใช้อัลกอริทึม FFT สามมิติ (GPFA) ที่พัฒนาโดย Clive Temperton ^{[ 20 ]}และจำเป็นต้องขยายเมทริกซ์ปฏิสัมพันธ์จากขนาดเดิมเป็นการขยายนี้ทำได้โดยการกลับด้านและสะท้อนบล็อกเทนเซอร์ฟังก์ชันกรีนเพื่อให้ค่าชดเชยเชิงพื้นที่บวกและลบทั้งหมด (lags) ถูกแสดงในอาร์เรย์เดียว โดยมีระนาบศูนย์แทรกอยู่ระหว่างด้านบวกและด้านลบตามแต่ละแกน การจัดเรียงนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันกรีนกับเวกเตอร์โพลาไรเซชันสามารถดำเนินการได้เป็นคอนโวลูชันแบบวนรอบโดยใช้ FFT หลีกเลี่ยงการเกิดเอเลียสจากเอฟเฟกต์การวนรอบ การพลิกเครื่องหมายของฟังก์ชันกรีนในโดเมนความถี่และขั้นตอนการขยายบล็อกกลายเป็นขั้นตอนมาตรฐานในการใช้งาน DDA ที่มีประสิทธิภาพ นับตั้งแต่นั้นมาได้มีการเสนอสูตรทางเลือกอื่นๆ อีกหลายสูตร ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})}$${\displaystyle (2n_{x},2n_{y},2n_{z})}$

รูปแบบที่คล้ายคลึงกับของ Goodman, Draine และ Flatau ได้รับการนำมาใช้ในการใช้งาน MATLAB ปี 2021 โดย Shabaninezhad และ Ramakrishna ^{[ 21 ]}ในแนวทางนี้ โดเมนการคำนวณสำหรับเวกเตอร์โพลาไรเซชันจะถูกเติมศูนย์แทนที่จะใช้ขนาดที่ใช้ในDDSCATเมทริกซ์ปฏิสัมพันธ์ที่จัดเก็บไว้จะแตกต่างจากDDSCATตรงที่ไม่มีระนาบศูนย์แทรกอยู่ระหว่างค่าชดเชยบวกและลบตามแต่ละแกน การแปลง FFT จะดำเนินการเป็นลำดับของการแปลงแบบหนึ่งมิติไปตาม แกน , , และซึ่งเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับการดำเนินการ FFT 3 มิติเต็มรูปแบบบนโดเมนที่เติมศูนย์ ${\displaystyle (2n_{x}-1)\times (2n_{y}-1)\times (2n_{z}-1)}$${\displaystyle 2n_{x}\times 2n_{y}\times 2n_{z}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

ลำดับของ FFT 1 มิติถูกใช้โดย MacDonald ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา^{[ 22 ]}

วิธีของ Barrowes เป็นเทคนิคเชิงตัวเลขสำหรับการคูณเมทริกซ์บล็อก Toeplitz มิติ n กับเวกเตอร์โดยใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) ในสามมิติที่มีขนาดกริด n , n และn วิธีนี้จะฝังอาร์เรย์บล็อก Toeplitz ลงในอาร์เรย์บล็อกแบบวงกลมขนาดใหญ่กว่าที่มีขนาด n ซึ่งทำให้มั่นใจได้ว่าการคอนโวลูชันที่ได้จะปราศจากการวนรอบแบบวงจร เคอร์เนล—ซึ่งประกอบด้วยค่าชดเชยบวกและลบทั้งหมดโดยตั้งค่าเทอมตัวเองเป็นศูนย์—จะถูกกลับด้านตามแกนชดเชย ทำให้แบนราบเป็นอาร์เรย์หนึ่งมิติ และแปลงโดย FFT ยาวเพียงครั้งเดียว เวกเตอร์อินพุตจะถูกวางไว้ในโดเมนที่มีการเติมศูนย์ที่มีขนาดเท่ากัน ทำให้แบนราบ และแปลงเช่นกัน ผลคูณแบบองค์ประกอบต่อองค์ประกอบในโดเมนความถี่สอดคล้องกับการคอนโวลูชันในโดเมนเชิงพื้นที่ จากนั้น FFT ผกผันจะถูกปรับรูปร่างและตัดกลับไปยังโดเมนทางกายภาพเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ วิธีนี้ใช้ได้กับมิติและขนาดบล็อกใดๆ และเดิมทีใช้ในการประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 23 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$${\displaystyle (2n_{x}-1)\times (2n_{y}-1)\times (2n_{z}-1)}$${\displaystyle n}$

การประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่องทางความร้อนเป็นส่วนขยายของ DDA ดั้งเดิมสำหรับการจำลองการถ่ายเทความร้อนในระยะใกล้ระหว่างวัตถุ 3 มิติที่มีรูปร่างตามอำเภอใจ^{[ 24 ] [ 25 ]}

รหัสส่วนใหญ่ใช้กับอนุภาคและระบบอนุภาคที่ไม่เป็นแม่เหล็กรูปร่างไม่แน่นอนในพื้นที่ว่างหรือตัวกลางไดอิเล็กทริกที่เป็นเนื้อเดียวกัน ปริมาณที่คำนวณโดยทั่วไปจะรวมถึงเมทริกซ์ Mueller , พื้นที่หน้าตัดแบบอินทิกรัล (การสูญเสีย การดูดกลืน และการกระเจิง), สนามภายใน และสนามกระเจิงที่แยกตามมุม (ฟังก์ชันเฟส) มีการเปรียบเทียบรหัส DDA ที่มีอยู่บางส่วนที่ตีพิมพ์แล้ว^{[ 14 ]}

• 
  การกระเจิงโดยโครงสร้างเป็นระยะ เช่น แผ่นเรียบ ตะแกรง หรือลูกบาศก์เป็นระยะที่วางอยู่บนพื้นผิว สามารถแก้ไขได้โดยใช้การประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง
• 
  การกระเจิงโดยวัตถุอนันต์ (เช่น ทรงกระบอก) สามารถแก้ไขได้โดยใช้การประมาณไดโพลแบบไม่ต่อเนื่อง

• แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ
• ทฤษฎีของ Mie
• วิธีโดเมนเวลาความแตกต่างจำกัด
• วิธีโมเมนต์ (แม่เหล็กไฟฟ้า)