ในทางคณิตศาสตร์ การประมาณค่าแบบไบ คิวบิก (Bicubic Interpolation ) เป็นส่วนขยายของ การประมาณ ค่า แบบ คิวบิกสปลายน์ (Cubic Spline Interpolation ) (ซึ่งเป็นวิธีการใช้การประมาณค่าแบบคิวบิกกับชุดข้อมูล) สำหรับการประมาณ ค่าจุดข้อมูลบน ตารางปกติสองมิติ พื้นผิวที่ได้จากการประมาณค่า (หมายถึงรูปร่างของเคอร์เนล ไม่ใช่ภาพ) จะเรียบกว่าพื้นผิวที่ได้จาก การประมาณค่าแบบไบลิเนียร์ ( Bilinear Interpolation ) หรือ การประมาณค่าแบบ เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด (Nearest-neighbor Interpolation ) การประมาณค่าแบบไบคิวบิกสามารถทำได้โดยใช้พหุ นามลากรางจ์ (Lagrange polynomials) คิวบิกสปลายน์ ( Cubic Spline ) หรือ อัลกอริธึมการสังเคราะห์แบบคิวบิก (Cubic Convolution Algorithm)

ในการประมวลผลภาพการประมาณค่าแบบบิคิวบิกมักถูกเลือกใช้มากกว่าการประมาณค่าแบบไบลิเนียร์หรือแบบเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดในการปรับขนาดภาพใหม่เมื่อความเร็วไม่ใช่ปัญหา ต่างจากการประมาณค่าแบบไบลิเนียร์ซึ่งพิจารณาเพียง 4 พิกเซล (2×2) การประมาณค่าแบบบิคิวบิกจะพิจารณา 16 พิกเซล (4×4) ภาพที่ปรับขนาดใหม่ด้วยการประมาณค่าแบบบิคิวบิกอาจมีสิ่งผิด ปกติจากการประมาณค่าที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับค่า b และ c ที่เลือก

สมมติว่าค่าฟังก์ชันและอนุพันธ์, และเป็นที่ทราบแล้วที่มุมทั้งสี่, , , และของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย พื้นผิวที่ได้จากการประมาณค่าสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{xy}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (1,1)}$$${\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}x^{i}y^{j}.}$$

ปัญหาการประมาณค่าในช่วงประกอบด้วยการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ 16 ตัวเมื่อจับคู่กับค่าฟังก์ชันจะได้สมการสี่สมการ: ${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle p(x,y)}$

1. ${\displaystyle f(0,0)=p(0,0)=a_{00},}$
2. ${\displaystyle f(1,0)=p(1,0)=a_{00}+a_{10}+a_{20}+a_{30},}$
3. ${\displaystyle f(0,1)=p(0,1)=a_{00}+a_{01}+a_{02}+a_{03},}$
4. ${\displaystyle f(1,1)=p(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}.}$

ในทำนองเดียวกัน มีสมการแปดสมการสำหรับอนุพันธ์ในทิศทาง x และ y : ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

1. ${\displaystyle f_{x}(0,0)=p_{x}(0,0)=a_{10},}$
2. ${\displaystyle f_{x}(1,0)=p_{x}(1,0)=a_{10}+2a_{20}+3a_{30},}$
3. ${\displaystyle f_{x}(0,1)=p_{x}(0,1)=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13},}$
4. ${\displaystyle f_{x}(1,1)=p_{x}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}i,}$
5. ${\displaystyle f_{y}(0,0)=p_{y}(0,0)=a_{01},}$
6. ${\displaystyle f_{y}(1,0)=p_{y}(1,0)=a_{01}+a_{11}+a_{21}+a_{31},}$
7. ${\displaystyle f_{y}(0,1)=p_{y}(0,1)=a_{01}+2a_{02}+3a_{03},}$
8. ${\displaystyle f_{y}(1,1)=p_{y}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}j.}$

และสมการสี่สมการสำหรับอนุพันธ์ย่อยแบบผสม : ${\displaystyle xy}$

1. ${\displaystyle f_{xy}(0,0)=p_{xy}(0,0)=a_{11},}$
2. ${\displaystyle f_{xy}(1,0)=p_{xy}(1,0)=a_{11}+2a_{21}+3a_{31},}$
3. ${\displaystyle f_{xy}(0,1)=p_{xy}(0,1)=a_{11}+2a_{12}+3a_{13},}$
4. ${\displaystyle f_{xy}(1,1)=p_{xy}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ij.}$

นิพจน์ข้างต้นใช้เอกลักษณ์ดังต่อไปนี้: $${\displaystyle p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}ix^{i-1}y^{j},}$$$${\displaystyle p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}x^{i}jy^{j-1},}$$$${\displaystyle p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}.}$$

กระบวนการนี้จะสร้างพื้นผิวบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยที่มีความต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ต่อเนื่อง จากนั้นจึงสามารถทำการประมาณค่าแบบไบคิวบิกบนตารางปกติ ที่มีขนาดตามอำเภอใจ ได้โดยการต่อพื้นผิวไบคิวบิกดังกล่าวเข้าด้วยกัน โดยต้องแน่ใจว่าอนุพันธ์ตรงกันที่ขอบเขต ${\displaystyle p(x,y)}$${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$

เมื่อจัดกลุ่มพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าไว้ในเวกเตอร์ และให้ ระบบสมการข้างต้นสามารถเขียนใหม่เป็นเมทริกซ์สำหรับสมการเชิงเส้นได้ ${\displaystyle a_{ij}}$$${\displaystyle \alpha =\left[{\begin{smallmatrix}a_{00}&a_{10}&a_{20}&a_{30}&a_{01}&a_{11}&a_{21}&a_{31}&a_{02}&a_{12}&a_{22}&a_{32}&a_{03}&a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{smallmatrix}}\right]^{T}}$$$${\displaystyle x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&f_{x}(0,0)&f_{x}(1,0)&f_{x}(0,1)&f_{x}(1,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(1,0)&f_{y}(0,1)&f_{y}(1,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(0,1)&f_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},}$$${\displaystyle A\alpha =x}$

การกลับเมทริกซ์จะให้สมการเชิงเส้นที่มีประโยชน์มากกว่าซึ่ง ช่วยให้สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย ${\displaystyle A^{-1}x=\alpha }$$${\displaystyle A^{-1}=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-3&3&0&0&-2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\2&-2&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&-3&3&0&0&-2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&2&-2&0&0&1&1&0&0\\-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0\\9&-9&-9&9&6&3&-6&-3&6&-6&3&-3&4&2&2&1\\-6&6&6&-6&-3&-3&3&3&-4&4&-2&2&-2&-2&-1&-1\\2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0\\-6&6&6&-6&-4&-2&4&2&-3&3&-3&3&-2&-1&-2&-1\\4&-4&-4&4&2&2&-2&-2&2&-2&2&-2&1&1&1&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right],}$$${\displaystyle \alpha }$

อาจมีรูปแบบเมทริกซ์ที่กระชับกว่าสำหรับสัมประสิทธิ์ 16 ตัว: หรือ โดยที่ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)&f_{y}(1,0)&f_{y}(1,1)\\f_{x}(0,0)&f_{x}(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\f_{x}(1,0)&f_{x}(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&1&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&1\\0&1&0&2\\0&1&0&3\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\-3&3&-2&-1\\2&-2&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)&f_{y}(1,0)&f_{y}(1,1)\\f_{x}(0,0)&f_{x}(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\f_{x}(1,0)&f_{x}(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-3&2\\0&0&3&-2\\0&1&-2&1\\0&0&-1&1\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle p(x,y)={\begin{bmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\y\\y^{2}\\y^{3}\end{bmatrix}}.}$$

บ่อยครั้งที่แอปพลิเคชันต้องการการประมาณค่าแบบไบคิวบิกโดยใช้ข้อมูลบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส แทนที่จะเป็นตารางหน่วย ในกรณีนี้ เอกลักษณ์สำหรับและจะกลายเป็น โดยที่คือระยะห่างของเซลล์ที่บรรจุจุดและในทำนองเดียวกันสำหรับในกรณีนี้ วิธีที่ใช้งานได้จริงที่สุดในการคำนวณสัมประสิทธิ์คือการให้ จากนั้นแก้สมการด้วยเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ต่อไป ตัวแปรการประมาณค่าแบบนอร์มาไลซ์จะถูกคำนวณเป็น โดย ที่และคือ พิกัด และของจุดตารางที่ล้อมรอบจุดจากนั้น พื้นผิวการประมาณค่าจะกลายเป็น ${\displaystyle p_{x},p_{y},}$${\displaystyle p_{xy}}$$${\displaystyle p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}{\frac {a_{ij}ix^{i-1}y^{j}}{\Delta x}},}$$$${\displaystyle p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}{\frac {a_{ij}x^{i}jy^{j-1}}{\Delta y}},}$$$${\displaystyle p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}{\frac {a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}}{\Delta x\Delta y}},}$$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&\Delta xf_{x}(0,0)&\Delta xf_{x}(1,0)&\Delta xf_{x}(0,1)&\Delta xf_{x}(1,1)&\Delta yf_{y}(0,0)&\Delta yf_{y}(1,0)&\Delta yf_{y}(0,1)&\Delta yf_{y}(1,1)&\Delta x\Delta yf_{xy}(0,0)&\Delta x\Delta yf_{xy}(1,0)&\Delta x\Delta yf_{xy}(0,1)&\Delta x\Delta yf_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},}$$${\displaystyle \alpha =A^{-1}x}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},\\{\overline {y}}&={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle x_{0},x_{1},y_{0},}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}{\overline {x}}^{i}{\overline {y}}^{j}.}$$

หากไม่ทราบค่าอนุพันธ์ โดยทั่วไปจะประมาณค่าอนุพันธ์จากค่าฟังก์ชันที่จุดใกล้เคียงกับมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย เช่น การใช้ผล ต่างจำกัด

ในการหาอนุพันธ์เดี่ยวหรือ อนุพันธ์ ย่อยโดยใช้วิธีนั้น ให้หาความชันระหว่างจุดสอง จุด ที่อยู่รอบๆบนแกนที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณค่าสำหรับจุดหนึ่ง ให้หาค่าสำหรับจุดทางซ้ายและขวาของจุดเป้าหมาย แล้วคำนวณความชันของเส้นตรงระหว่างจุดเหล่านั้น และทำเช่นเดียวกันสำหรับค่า ${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f_{y}}$

ในการหาอนุพันธ์ไขว้ให้ทำการหาอนุพันธ์ในทั้งสองแกนทีละแกน ตัวอย่างเช่น เราสามารถใช้ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของจุดที่อยู่เหนือและใต้จุดเป้าหมายก่อน จากนั้นใช้ขั้นตอนกับค่าเหล่านั้น (แทนที่จะใช้ค่าของจุดเหล่านั้นตามปกติ) เพื่อหาค่าของจุดเป้าหมาย (หรือเราสามารถทำในทิศทางตรงกันข้ามได้ โดยคำนวณค่าก่อนแล้วจึงใช้ค่าเหล่านั้นหาอนุพันธ์ไขว้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเทียบเท่ากัน) ${\displaystyle f_{xy}}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{xy}(x,y)}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{x}}$

ในกรณีที่จุดข้อมูลบริเวณขอบของชุดข้อมูลขาดหายไป สามารถประมาณค่าจุดที่ขาดหายไปได้ด้วยวิธีการหลายวิธี วิธีที่ง่ายและใช้กันทั่วไปคือ การสมมติว่าความชันจากจุดที่มีอยู่ไปยังจุดเป้าหมายยังคงต่อเนื่องโดยไม่เปลี่ยนแปลง และใช้สมมติฐานนี้ในการคำนวณค่าสมมติสำหรับจุดที่ขาดหายไป

การประมาณค่าแบบ Bicubic spline จำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่อธิบายไว้ข้างต้นสำหรับแต่ละเซลล์กริด ตัว ประมาณค่าที่มีคุณสมบัติคล้ายกันสามารถหาได้โดยการใช้การสังเคราะห์ (convolution)กับเคอร์เนลต่อไปนี้ในทั้งสองมิติ: โดยที่มักจะตั้งค่าเป็น −0.5 หรือ −0.75 โปรดทราบว่าและ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็น ศูนย์ ทั้งหมด$${\displaystyle W(x)={\begin{cases}(a+2)|x|^{3}-(a+3)|x|^{2}+1&{\text{for }}|x|\leq 1,\\a|x|^{3}-5a|x|^{2}+8a|x|-4a&{\text{for }}1<|x|<2,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle W(0)=1}$${\displaystyle W(n)=0}$${\displaystyle n}$

แนวทางนี้ได้รับการเสนอโดย Rifman จาก TRW Systems Group โดยมุ่งเป้าไปที่ข้อมูลภาพจาก ERTS (Earth Resources Technology Satellite ซึ่งต่อมาคือLandsat 1 ) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ในตอนแรกค่าถูกกำหนดไว้ที่ -1 แต่ต่อมาได้รับการกำหนดพารามิเตอร์โดย Simon จากบริษัทเดียวกัน ทำให้ค่า -0.5, -0.75 และ -1.0 มีความหมาย ^{[ 4 ​​]} อย่างไรก็ตาม ข้อเสนอเหล่านี้ไม่ได้นำเสนอขั้นตอนการหาค่าหรือสูตรอย่างเพียงพอ ดังนั้น Keys จึงเสนอใหม่ในรูปแบบที่สมบูรณ์ในภายหลัง โดยแสดงให้เห็นว่าด้วยค่าจะทำให้เกิดการลู่เข้าแบบลูกบาศก์เมื่อพิจารณาจากช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างของฟังก์ชันดั้งเดิม ^{[ 5 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle a=-0.5}$

เคอร์เนลคอนโวลูชันได้มาดังต่อไปนี้^{[ 6 ]} : ${\displaystyle W(x)}$$${\displaystyle W(x)={\begin{cases}A_{1}|x|^{3}+B_{1}|x|^{2}+C_{1}|x|+D_{1}&{\text{for }}|x|\leq 1\\A_{2}|x|^{3}+B_{2}|x|^{2}+C_{2}|x|+D_{2}&{\text{for }}1<|x|<2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

ภายใต้เงื่อนไข: , , และสำหรับอนุพันธ์อันดับแรก: , , เราจะได้; ${\displaystyle W(0)=1}$${\displaystyle W(1)=W(2)=0}$${\displaystyle W'(0)=W'(2)=0}$${\displaystyle W'(1)=a}$

1. ${\displaystyle W(0)=D_{1}=1,}$
2. ${\displaystyle W(1^{-})=A_{1}+B_{1}+C_{1}+D_{1}=0,}$
3. ${\displaystyle W(1^{+})=A_{2}+B_{2}+C_{2}+D_{2}=0,}$
4. ${\displaystyle W(2^{-})=8A_{2}+4B_{2}+2C_{2}+D_{2}=0,}$
5. ${\displaystyle W'(0)=C_{1}=0,}$
6. ${\displaystyle W'(1^{-})=3A_{1}+2B_{1}+C_{1}=a,}$
7. ${\displaystyle W'(1^{+})=3A_{2}+2B_{2}+C_{2}=a,}$
8. ${\displaystyle W'(2^{-})=12A_{2}+4B_{2}+C_{2}=0.}$

เมื่อแก้ระบบสมการข้างต้นแล้วจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ และสมการข้างต้น $${\displaystyle A_{1}=a+2,\quad B_{1}=-(a+3),\quad C_{1}=0,\quad D_{1}=1,}$$$${\displaystyle A_{2}=a,\quad B_{2}=-5a,\quad C_{2}=8a,\quad D_{2}=-4a,}$$

หากเราใช้สัญลักษณ์เมทริกซ์ เราสามารถแสดงสมการในรูปแบบที่เป็นมิตรมากขึ้นได้: สำหรับระหว่าง 0 และ 1 สำหรับมิติเดียว^{[ 7 ]}โปรดทราบว่าสำหรับการแทรกสอดการสังเคราะห์ลูกบาศก์แบบ 1 มิติ ต้องใช้จุดตัวอย่าง 4 จุด สำหรับการสอบถามแต่ละครั้ง จะมีจุดตัวอย่างสองจุดอยู่ทางด้านซ้ายและสองจุดอยู่ทางด้านขวา จุดเหล่านี้มีดัชนีตั้งแต่ -1 ถึง 2 ในข้อความนี้ ระยะห่างจากจุดที่มีดัชนี 0 ไปยังจุดสอบถามจะแสดงด้วยที่นี่ $${\displaystyle p(t)={\begin{bmatrix}1&t&t^{2}&t^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1&0&0\\a&0&-a&0\\-2a&-a-3&2a+3&a\\a&a+2&-a-2&-a\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{-1}\\f_{0}\\f_{1}\\f_{2}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

เนื่องจากจึงตรงกับเส้นโค้ง Catmull-Rom ^{[ 7 ]}ดังนั้น การสอดแทรกแบบ bicubic โดยตั้งค่าเป็นจึงบางครั้งเรียกว่า "การสอดแทรกแบบ Catmull-Rom" ^{[ 8 ]}${\displaystyle a=-0.5}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -0.5}$

สำหรับสองมิติที่ใช้ครั้งแรกและอีกครั้งใน: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}b_{-1}&=p(t_{x},f_{(-1,-1)},f_{(0,-1)},f_{(1,-1)},f_{(2,-1)}),\\[1ex]b_{0}&=p(t_{x},f_{(-1,0)},f_{(0,0)},f_{(1,0)},f_{(2,0)}),\\[1ex]b_{1}&=p(t_{x},f_{(-1,1)},f_{(0,1)},f_{(1,1)},f_{(2,1)}),\\[1ex]b_{2}&=p(t_{x},f_{(-1,2)},f_{(0,2)},f_{(1,2)},f_{(2,2)}),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle p(x,y)=p(t_{y},b_{-1},b_{0},b_{1},b_{2}).}$$

ตามนิยามแล้ว ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องในอนุพันธ์อันดับแรก และสามารถตรวจสอบได้ง่ายโดยใช้สัญลักษณ์เมทริกซ์ต่อไปนี้

${\displaystyle p_{i}'(1)={\begin{bmatrix}0&a&0&-a\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{i-1}\\f_{i}\\f_{i+1}\\f_{i+2}\end{bmatrix}}=p_{i+1}'(0)={\begin{bmatrix}a&0&-a&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{i}\\f_{i+1}\\f_{i+2}\\f_{i+3}\end{bmatrix}}}$

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงมีความต่อเนื่องในอนุพันธ์อันดับแรก

${\displaystyle p_{i}''(1)={\begin{bmatrix}2a&4a+6&-2a-6&-4a\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{i-1}\\f_{i}\\f_{i+1}\\f_{i+2}\end{bmatrix}}\neq p_{i+1}''(0)={\begin{bmatrix}-4a&-2a-6&4a+6&2a\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{i}\\f_{i+1}\\f_{i+2}\\f_{i+3}\end{bmatrix}}}$

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงไม่ต่อเนื่องในอนุพันธ์อันดับสอง

ด้านล่างนี้คือการเปรียบเทียบฟังก์ชันเคอร์เนลสำหรับแต่ละวิธี:

วิธี	ฟังก์ชันเคอร์เนล	ฟังก์ชันเคอร์เนล (การขยายแบบ 2 มิติ)
เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด
การแทรกสอดเชิงเส้นสองมิติ
การแทรกสอดแบบไบคิวบิก

อัลกอริทึมไบคิวบิก (Bicubic algorithm) มักใช้สำหรับการปรับขนาดภาพและวิดีโอเพื่อการแสดงผล (ดูการสุ่มตัวอย่างบิตแมป ใหม่) อัลกอริทึมนี้รักษาความละเอียดของภาพได้ดีกว่าอัลกอริทึม ไบลิเนีย ร์ (Bilinear algorithm) ทั่วไป

อัลกอริทึม Bicubic ยังใช้สำหรับการลดขนาดภาพ ด้วย แต่เนื่องจากการสุ่มตัวอย่างใหม่ระหว่างการลดขนาดจะแตกต่างจากผลของการซูมออกในเลนส์จริง วิธีการอื่นอาจเหมาะสมกว่า^{[ 9 ]}

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากส่วนโค้งด้านลบในเคอร์เนล ทำให้เกิดการโอเวอร์ชูต (ฮาโล) ซึ่งอาจทำให้เกิดการตัดขอบและเป็นสิ่งผิดปกติ (ดูเพิ่มเติมที่สิ่งผิดปกติแบบริงกิ้ง ) แต่จะเพิ่มความคมชัด (ความคมชัดที่ปรากฏ) และอาจเป็นที่ต้องการได้ ผลกระทบนี้จะมากขึ้นเมื่อพารามิเตอร์เป็นหรือ มากกว่า เมื่อ เป็น${\displaystyle a}$${\displaystyle -0.75}$${\displaystyle -1.0}$${\displaystyle -0.5}$

เมื่อผลลัพธ์การแทรกสอดจะตรงกับการประมาณค่าเทย์เลอร์จนถึงอนุพันธ์อันดับสอง (ไม่รวมพจน์ที่เหลือ) ของภาพต้นฉบับ ( ฟังก์ชันต่อเนื่องก่อนการสุ่มตัวอย่าง) ^{[ 10 ] [ 11 ]} ตัวอย่างที่ชัดเจนของผลกระทบนี้คือเมื่อภาพต้นฉบับเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (ภาพเกรเดียนต์แบบง่าย) และผลลัพธ์การแทรกสอดจะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อ เท่านั้นตัวอย่างเช่น ถ้าอินพุตคือ ผลลัพธ์การแทรกสอดคือ และจะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (พจน์กำลังสองและกำลังสามเป็น 0) ก็ต่อเมื่อเท่านั้น^{[ 12 ]}${\displaystyle a=-0.5}$${\displaystyle a=-0.5}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{i-1}&f_{i}&f_{i+1}&f_{i+2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0&1&2\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle p(t)=-2(2a+1)t^{3}+3(2a+1)t^{2}-2at,}$$${\displaystyle a=-0.5}$

${\displaystyle a=-0.5}$	${\displaystyle a=-0.75}$	${\displaystyle a=-1.0}$

ด้านล่างนี้คือภาพไล่ระดับสีแบบง่ายที่ขยายใหญ่ขึ้น 16 เท่า และส่วนหนึ่งของภาพทดสอบมาตรฐาน "ช่างกล้อง" ^{[ 13 ]}ที่ขยายใหญ่ขึ้น 8 เท่า^{[ 14 ]}แถบแนวตั้งในภาพแรกและลวดลายด่างเทียมรอบขมับในภาพหลังเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่เกิดจากเอฟเฟกต์ที่กล่าวถึงข้างต้น

${\displaystyle a=-0.5}$	${\displaystyle a=-0.75}$	${\displaystyle a=-1.0}$	การประมาณค่าแบบเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด(เพื่อเปรียบเทียบ)

โปรดทราบว่าเมื่ออนุพันธ์อันดับสองของเคอร์เนลการสังเคราะห์จะต่อเนื่องที่^{[ 12 ]}แต่ผลลัพธ์การแทรกสอดไม่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ต่อเนื่อง นอกจากนี้ เมื่ออนุพันธ์ของเคอร์เนลการสังเคราะห์จะตรงกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน sincที่^{[ 12 ]}แต่สิ่งนี้ไม่มีความสำคัญอื่นใดนอกจากใช้เปรียบเทียบกับ การแทรก สอด sinc${\displaystyle a=-0.75}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle a=-1.0}$${\displaystyle x=1}$

เมื่อขยายภาพด้วยจำนวนเต็มเท่า มักจะตั้งตำแหน่งการสุ่มตัวอย่างใหม่ระหว่างพิกเซลของภาพอินพุตเพื่อให้จุดศูนย์ถ่วงของภาพที่ขยายแล้วไม่เลื่อนเมื่อเทียบกับภาพอินพุต (ดูภาพด้านซ้ายด้านล่าง) ในทางกลับกัน ยังมีวิธีการตั้งตำแหน่งการสุ่มตัวอย่างใหม่ให้ทับซ้อนกับพิกเซลของภาพอินพุต (ดูภาพด้านขวาด้านล่าง) วิธีนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าการแปลงสามารถย้อนกลับได้^{[ 15 ]}

ต้องใช้พิกเซลสองพิกเซลของภาพอินพุตทางด้านซ้ายและขวา (หรือบนและล่าง) สำหรับการแทรกสอด เนื่องจากขอบด้านนอกของภาพไม่ถูกต้อง จึงต้องใช้การขยายขอบเขต วิธีการขยายขอบเขตจะแตกต่างกันไปตามการใช้งาน ตัวอย่างต่อไปนี้คือการคัดลอกและขยายขอบเขตพิกเซลที่อยู่ด้านนอกสุด^{[ 15 ]}

• การลดรอยหยักเชิงพื้นที่
• พื้นผิวเบซิเยร์
• การแทรกสอดเชิงเส้นสองมิติ
• สปลาย เฮอร์ไมต์ลูกบาศก์ (Cubic Hermite spline)ซึ่งเป็นอนาล็อกแบบหนึ่งมิติของสปลายบิคิวบิก (Bicubic spline)
• การสุ่มตัวอย่างใหม่ของ Lanczos
• การแทรกสอดเพื่อนบ้านธรรมชาติ
• ตัวกรองซินค์
• การประมาณค่าแบบสปลายน์
• การแทรกสอดแบบไตรคิวบิก
• การแทรกสอดแบบคิวบิกคอนโวลูชันเชิงทิศทาง

• การประยุกต์ใช้การประมาณค่าในช่วงกับตัวอย่างระดับความสูง
• ทฤษฎีการแทรกสอด
• คำอธิบายและการใช้งานการแทรกสอดแบบ (bi)cubic ในภาษา Java/C++
• ฟังก์ชันในเวิร์กชีต Excel สำหรับการประมาณค่าแบบ Bicubic Lagrange