ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขสปลายเฮอร์ไมต์ลูกบาศก์หรือตัวแทรกสอดเฮอร์ไมต์ลูกบาศก์คือสปลาย ที่แต่ละส่วนเป็น พหุนามดีกรีสามที่ระบุในรูปแบบเฮอร์ไมต์นั่นคือโดยค่าและอนุพันธ์ อันดับแรก ที่จุดปลายของช่วงโดเมน ที่สอดคล้องกัน ^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว สปลายเฮอร์ไมต์แบบลูกบาศก์จะใช้สำหรับการประมาณค่าในช่วงข้อมูลตัวเลขที่ระบุ ณ ค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนดเพื่อให้ได้ฟังก์ชันต่อเนื่องข้อมูลควรประกอบด้วยค่าฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ ณ แต่ละค่า(หากให้เฉพาะค่า อนุพันธ์จะต้องประมาณจากค่าเหล่านั้น) สูตรเฮอร์ไมต์จะถูกนำไปใช้กับแต่ละช่วงแยกกัน สปลายที่ได้จะเป็นแบบต่อเนื่องและจะมีอนุพันธ์อันดับแรกแบบต่อเนื่อง ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle (x_{k},x_{k+1})}$

สปลายพหุ นามลูกบาศก์สามารถระบุได้ด้วยวิธีอื่น โดยวิธีลูกบาศก์เบซิเยร์เป็นวิธีที่ใช้กันมากที่สุด อย่างไรก็ตาม ทั้งสองวิธีนี้ให้ชุดสปลายเดียวกัน และข้อมูลสามารถแปลงระหว่างรูปแบบเบซิเยร์และแอร์ไมต์ได้อย่างง่ายดาย ดังนั้นชื่อทั้งสองจึงมักใช้ราวกับว่าเป็นคำที่มีความหมายเหมือนกัน

สปลายพหุนามลูกบาศก์ถูกใช้อย่างแพร่หลายในกราฟิกคอมพิวเตอร์และการสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิตเพื่อสร้างเส้นโค้งหรือวิถี การเคลื่อนที่ ที่ผ่านจุดที่กำหนดบนระนาบ หรือ พื้นที่สามมิติในการใช้งานเหล่านี้ พิกัดแต่ละจุดของระนาบหรือพื้นที่จะถูกประมาณค่าแยกกันด้วยฟังก์ชันสปลายลูกบาศก์ของพารามิเตอร์  t ที่แยกจากกัน สปลายพหุนามลูกบาศก์ยังถูกใช้อย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์โครงสร้าง เช่นทฤษฎีคานออยเลอร์-เบอร์นูลลี สปลายพหุนามลูกบาศก์ ยังถูกนำไปใช้ในการวิเคราะห์อัตราการตาย^{[ 2 ]}และการพยากรณ์อัตราการตาย^{[ 3 ]}

เส้นโค้งสปลายลูกบาศก์สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์สองตัวขึ้นไปได้หลายวิธี เส้นโค้งสปลายลูกบาศก์คู่ ( การประมาณค่าแบบลูกบาศก์คู่ ) มักใช้ในการประมาณค่าข้อมูลบนตารางสี่เหลี่ยมปกติ เช่นค่าพิกเซล ใน ภาพดิจิทัลหรือ ข้อมูล ระดับความสูงบนภูมิประเทศ ส่วนของ พื้นผิวแบบลูกบาศก์คู่ซึ่งกำหนดโดยเส้นโค้งสปลายลูกบาศก์คู่สามเส้น เป็นเครื่องมือสำคัญในกราฟิกคอมพิวเตอร์

เส้นโค้งสปลายลูกบาศก์มักเรียกว่าcsplinesโดยเฉพาะในด้านกราฟิกคอมพิวเตอร์ ส่วนเส้นโค้งสปลายเฮอร์ไมต์นั้นตั้งชื่อตามชาร์ลส์ เฮอร์ไมต์

บนช่วงหน่วยโดยกำหนดจุดเริ่มต้นที่และจุดสิ้นสุดที่ โดยมีเส้นสัมผัสเริ่มต้นที่และเส้นสัมผัสสิ้นสุดที่พหุนามสามารถกำหนดได้โดย โดย ที่t ∈ [0, 1] ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {p}__{0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {p}__{1}}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {m}__{0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {m}__{1}}$${\displaystyle t=1}$$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=\left(2t^{3}-3t^{2}+1\right){\boldsymbol {p}}_{0}+\left(t^{3}-2t^{2}+t\right){\boldsymbol {m}}_{0}+\left(-2t^{3}+3t^{2}\right){\boldsymbol {p}}_{1}+\left(t^{3}-t^{2}\right){\boldsymbol {m}}_{1},}$$

การประมาณค่าในช่วงใดๆทำได้โดยการแมปช่วงนั้นไปยังช่วงนั้นผ่าน การเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น ตรง (ดีกรี 1) สูตรคือ โดยที่และหมายถึงฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนดไว้ด้านล่างโปรดทราบว่าค่าแทนเจนต์ได้รับการปรับขนาดโดย เมื่อเทียบกับสมการในช่วง หน่วย${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{k},x_{k+1})}$${\displaystyle [0,1]}$$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(x)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{k}+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{k+1}+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k+1},}$$${\displaystyle t=(x-x_{k})/(x_{k+1}-x_{k})}$${\displaystyle h}$${\displaystyle x_{k+1}-x_{k}}$

สูตรที่ระบุไว้ข้างต้นจะให้เส้นทางพหุนามดีกรีสามที่ไม่ซ้ำกันระหว่างจุดสองจุดที่มีเส้นสัมผัสที่กำหนดให้

บทพิสูจน์ให้และ เป็นพหุนามดีกรีสามสองตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดให้จากนั้นกำหนดนิยามดังนี้: ${\displaystyle P,Q}$${\displaystyle R=QP,}$

${\displaystyle R(0)=Q(0)-P(0)=0,}$

${\displaystyle R(1)=Q(1)-P(1)=0.}$

เนื่องจากทั้งและเป็นพหุนามดีกรีสาม ดังนั้นจึงเป็นพหุนามดีกรีสามเป็นอย่างมากที่สุด ดังนั้นจะต้องอยู่ในรูปแบบ การคำนวณอนุพันธ์จะได้ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle R(x)=ax(x-1)(xr).}$$$${\displaystyle R'(x)=ax(x-1)+ax(xr)+a(x-1)(xr).}$$

นอกจากนี้เรารู้ว่า

${\displaystyle R'(0)=Q'(0)-P'(0)=0,}$

${\displaystyle R'(0)=0=ar,}$

1

${\displaystyle R'(1)=Q'(1)-P'(1)=0,}$

${\displaystyle R'(1)=0=a(1-r).}$

2

เมื่อนำ ( 1 ) และ ( 2 ) มารวมกัน เราจะสรุปได้ว่าและดังนั้น${\displaystyle a=0}$${\displaystyle R=0,}$${\displaystyle P=Q.}$

เราสามารถเขียนพหุนามการประมาณค่าในช่วงหน่วย (สำหรับช่วงใดๆ โปรดดูเวอร์ชันที่ปรับขนาดแล้วด้านบน ) ได้ดังนี้ โดย ที่, , , คือฟังก์ชันฐานเฮอร์ไมต์ ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถเขียนได้หลายวิธี แต่ละวิธีแสดงคุณสมบัติที่แตกต่างกัน: $${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{0}+h_{10}(t){\boldsymbol {m}}_{0}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{1}+h_{11}(t){\boldsymbol {m}}_{1}}$$${\displaystyle h_{00}}$${\displaystyle h_{10}}$${\displaystyle h_{01}}$${\displaystyle h_{11}}$

	ขยาย	แยกตัวประกอบ	เบิร์นสไตน์
${\displaystyle h_{00}(t)}$	${\displaystyle 2t^{3}-3t^{2}+1}$	${\displaystyle (1+2t)(1-t)^{2}}$	${\displaystyle B_{0}(t)+B_{1}(t)}$
${\displaystyle h_{10}(t)}$	${\displaystyle t^{3}-2t^{2}+t}$	${\displaystyle t(1-t)^{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}B_{1}(t)}$
${\displaystyle h_{01}(t)}$	${\displaystyle -2t^{3}+3t^{2}}$	${\displaystyle t^{2}(3-2t)}$	${\displaystyle B_{3}(t)+B_{2}(t)}$
${\displaystyle h_{11}(t)}$	${\displaystyle t^{3}-t^{2}}$	${\displaystyle t^{2}(t-1)}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}B_{2}(t)}$

คอลัมน์ "ขยาย" แสดงการแสดงผลที่ใช้ในคำจำกัดความข้างต้น คอลัมน์ "แยกตัวประกอบ" แสดงให้เห็นทันทีว่าและมีค่าเป็นศูนย์ที่ขอบเขต คุณสามารถสรุปเพิ่มเติมได้ว่าและมีศูนย์ที่มีความซ้ำซ้อน 2ที่ 0 และและมีศูนย์เช่นเดียวกันที่ 1 ดังนั้นจึงมีค่าความชันเป็น 0 ที่ขอบเขตเหล่านั้น คอลัมน์ "เบิร์นสไตน์" แสดงการแยกตัวประกอบของฟังก์ชันพื้นฐานเฮอร์ไมต์เป็นพหุนามเบิร์นสไตน์อันดับ 3: ${\displaystyle h_{10}}$${\displaystyle h_{11}}$${\displaystyle h_{01}}$${\displaystyle h_{11}}$${\displaystyle h_{00}}$${\displaystyle h_{10}}$$${\displaystyle B_{k}(t)={\binom {3}{k}}\cdot t^{k}\cdot (1-t)^{3-k}.}$$

โดยใช้การเชื่อมต่อนี้ คุณสามารถแสดงการประมาณค่าแบบ Hermite ลูกบาศก์ในรูปของเส้นโค้งBézier ลูกบาศก์โดยสัมพันธ์กับค่าทั้งสี่และทำการประมาณค่าแบบ Hermite โดยใช้อัลกอริทึมของ de Casteljauซึ่งแสดงให้เห็นว่าในแพทช์ Bézier ลูกบาศก์ จุดควบคุมสองจุดตรงกลางจะกำหนดเส้นสัมผัสของเส้นโค้งการประมาณค่าที่จุดภายนอกตามลำดับ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{0},{\boldsymbol {p}}_{0}+{\frac {1}{3}}{\boldsymbol {m}}_{0},{\boldsymbol {p}}_{1}-{\frac {1}{3}}{\boldsymbol {m}}_{1},{\boldsymbol {p}}_{1}}$

เราสามารถเขียนพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้ดังนี้ โดย ที่จุดควบคุมและเส้นสัมผัสคือสัมประสิทธิ์ วิธีนี้ช่วยให้สามารถประเมินค่าพหุนามที่ค่าt ต่างๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เนื่องจากสามารถคำนวณสัมประสิทธิ์คงที่ได้เพียงครั้งเดียวและนำกลับมาใช้ใหม่ได้ $${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=\left(2{\boldsymbol {p}}_{0}+{\boldsymbol {m}}_{0}-2{\boldsymbol {p}}_{1}+{\boldsymbol {m}}_{1}\right)t^{3}+\left(-3{\boldsymbol {p}}_{0}+3{\boldsymbol {p}}_{1}-2{\boldsymbol {m}}_{0}-{\boldsymbol {m}}_{1}\right)t^{2}+{\boldsymbol {m}}_{0}t+{\boldsymbol {p}}_{0}}$$

ชุดข้อมูลสำหรับสามารถประมาณค่าในช่วงได้โดยการใช้ขั้นตอนข้างต้นกับแต่ละช่วง โดยเลือกเส้นสัมผัสอย่างเหมาะสม กล่าวคือ เส้นสัมผัสสำหรับช่วงที่มีจุดปลายร่วมกันจะมีค่าเท่ากัน เส้นโค้งที่ได้จากการประมาณค่าในช่วงจะประกอบด้วยเส้นโค้งเฮอร์ไมต์แบบลูกบาศก์เป็นช่วงๆ และสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องทั่วทั้งช่วง ${\displaystyle (x_{k},{\boldsymbol {p}}_{k})}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$${\displaystyle (x_{1},x_{n})}$

การเลือกเส้นสัมผัสไม่ใช่เรื่องแปลกใหม่ และยังมีตัวเลือกให้เลือกอีกหลายแบบ

ตัวเลือกที่ง่ายที่สุดคือผลต่างสามจุด ซึ่งไม่จำเป็นต้องมีความยาวช่วงคงที่:

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right)}$

สำหรับจุดภายในและความแตกต่างด้านเดียวที่จุดปลายของชุดข้อมูล ${\displaystyle k=2,\dots ,n-1}$

สปลายคาร์ดินัลบางครั้งเรียกว่าสปลายแคนอนิก^[ 4 ^{] จะ}ได้รับ^{[ 5 ]}ถ้า

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k+1}-x_{k-1}}}}$

ใช้ในการคำนวณเส้นสัมผัส พารามิเตอร์cเป็น พารามิเตอร์ ความตึงที่ต้องอยู่ในช่วง[0, 1]ในแง่หนึ่ง สามารถตีความได้ว่าเป็น "ความยาว" ของเส้นสัมผัส การเลือกc  = 1จะให้เส้นสัมผัสเป็นศูนย์ทั้งหมด และการเลือกc  = 0จะได้เส้นโค้ง Catmull–Rom ในกรณีการกำหนดพารามิเตอร์แบบสม่ำเสมอ

สำหรับเส้นสัมผัสที่เลือกไว้

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}}$

ได้เส้นโค้งแคทมุล-รอม (Catmull–Rom spline) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของเส้นโค้งคาร์ดินัล (cardinal spline) โดยสมมติว่าระยะห่างของพารามิเตอร์ สม่ำเสมอ

เส้นโค้งนี้ตั้งชื่อตามEdwin CatmullและRaphael Romข้อได้เปรียบหลักของเทคนิคนี้คือ จุดต่างๆ ตามชุดจุดดั้งเดิมยังประกอบเป็นจุดควบคุมสำหรับเส้นโค้งสปลายน์ด้วย^{[ 7 ]}ต้องใช้จุดเพิ่มเติมอีกสองจุดที่ปลายทั้งสองข้างของเส้นโค้ง การใช้งาน Catmull–Rom แบบสม่ำเสมออาจทำให้เกิดวงวนและการตัดกันเอง การใช้งานCatmull–Rom แบบคอร์ดัลและเซนทริ พีทัล ^{[ 8 ]}แก้ปัญหานี้ได้ แต่ใช้การคำนวณที่แตกต่างกันเล็กน้อย^{[ 9 ]}ในกราฟิกคอมพิวเตอร์สปลายน์ Catmull–Rom มักใช้เพื่อให้ได้การเคลื่อนไหวแบบสอดแทรกที่ราบรื่นระหว่างเฟรมหลักตัวอย่างเช่น แอนิเมชันเส้นทางกล้องส่วนใหญ่ที่สร้างจากเฟรมหลักแบบไม่ต่อเนื่องจะถูกจัดการโดยใช้สปลายน์ Catmull–Rom สปลายน์เหล่านี้ได้รับความนิยมส่วนใหญ่เนื่องจากคำนวณได้ค่อนข้างง่าย รับประกันว่าตำแหน่งเฟรมหลักแต่ละตำแหน่งจะถูกตีอย่างแม่นยำ และยังรับประกันว่าเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่สร้างขึ้นจะต่อเนื่องกันในหลายส่วน

สปลาย Kochanek –Bartelsเป็นการขยายความทั่วไปเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการเลือกเส้นสัมผัสโดยพิจารณาจากจุดข้อมูล, และโดยมีพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้สามตัว ได้แก่ ความตึง ความเอนเอียง และพารามิเตอร์ความต่อเนื่อง ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k+1}}$

หากใช้สปลายเฮอร์ไมต์ลูกบาศก์ชนิดใดชนิดหนึ่งที่ระบุไว้ข้างต้นในการประมาณค่าใน ช่วงข้อมูล โมโนโทนิกฟังก์ชันที่ได้จากการประมาณค่าในช่วงจะไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกเสมอไป แต่สามารถรักษาความเป็นโมโนโทนิกไว้ได้โดยการปรับค่าแทนเจนต์

พิจารณาพิกัดเดียวของจุดและเป็นค่าที่ฟังก์ชันf ( x ) รับที่พิกัดจำนวนเต็มx  = n  − 1, n , n  + 1 และn  + 2 ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{n-1},{\boldsymbol {p}}_{n},{\boldsymbol {p}}_{n+1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{n+2}}$

${\displaystyle p_{n}=f(n)\quad \forall n\in \mathbb {Z} .}$

นอกจากนี้ ให้ถือว่าเส้นสัมผัสที่จุดปลายถูกกำหนดให้เป็นผลต่างที่จุดกึ่งกลางของจุดที่อยู่ติดกัน: $${\displaystyle m_{n}={\frac {f(n+1)-f(n-1)}{2}}={\frac {p_{n+1}-p_{n-1}}{2}}\quad \forall n\in \mathbb {Z} .}$$

ในการประเมินค่าf ( x ) ที่แทรกเข้าไปสำหรับx ที่เป็นจำนวนจริง ขั้นแรกให้แยกxออกเป็นส่วนจำนวนเต็มnและส่วนเศษส่วนu :

${\displaystyle x=n+u,}$

${\displaystyle n=\lfloor x\rfloor =\operatorname {floor} (x),}$

${\displaystyle u=x-n=x-\lfloor x\rfloor ,}$

${\displaystyle 0\leq u<1,}$

โดยที่หมายถึงฟังก์ชันปัดเศษลงซึ่งจะส่งคืนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกิน x${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

จากนั้นสปลาย Catmull–Rom คือ^{[ 10 ]} โดยที่แสดงถึงการสลับตำแหน่งของเมทริกซ์ความเท่าเทียมกันด้านล่างแสดงถึงการประยุกต์ใช้ วิธี ของ Horner$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(n+u)&={\text{CINT}}_{u}(p_{n-1},p_{n},p_{n+1},p_{n+2})\\&={\begin{bmatrix}1&u&u^{2}&u^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-{\tfrac {1}{2}}&0&{\tfrac {1}{2}}&0\\1&-{\tfrac {5}{2}}&2&-{\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {3}{2}}&-{\tfrac {3}{2}}&{\tfrac {1}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n+2}\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-u^{3}+2u^{2}-u\\3u^{3}-5u^{2}+2\\-3u^{3}+4u^{2}+u\\u^{3}-u^{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }{\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n+2}\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}u{\big (}(2-u)u-1{\big )}\\u^{2}(3u-5)+2\\u{\big (}(4-3u)u+1{\big )}\\u^{2}(u-1)\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }{\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n+2}\end{bmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2}}{\Big (}{\big (}u^{2}(2-u)-u{\big )}p_{n-1}+{\big (}u^{2}(3u-5)+2{\big )}p_{n}+{\big (}u^{2}(4-3u)+u{\big )}p_{n+1}+u^{2}(u-1)p_{n+2}{\Big )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\big (}(-u^{3}+2u^{2}-u)p_{n-1}+(3u^{3}-5u^{2}+2)p_{n}+(-3u^{3}+4u^{2}+u)p_{n+1}+(u^{3}-u^{2})p_{n+2}{\big )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\big (}(-p_{n-1}+3p_{n}-3p_{n+1}+p_{n+2})u^{3}+(2p_{n-1}-5p_{n}+4p_{n+1}-p_{n+2})u^{2}+(-p_{n-1}+p_{n+1})u+2p_{n}{\big )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\Big (}{\big (}(-p_{n-1}+3p_{n}-3p_{n+1}+p_{n+2})u+(2p_{n-1}-5p_{n}+4p_{n+1}-p_{n+2}){\big )}u+(-p_{n-1}+p_{n+1}){\Big )}u+p_{n},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathrm {T} }$

เนื้อหานี้เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าแบบไตรคิวบิก (tricubic interpolation ) ซึ่งการปรับให้เหมาะสมอย่างหนึ่งต้องคำนวณ CINT _u ถึงสิบหกครั้ง โดยใช้ค่า uเดียวกันและค่า p ที่แตกต่างกัน

• การแทรกสอดแบบบิคิวบิก (Bicubic interpolation ) ซึ่งเป็นการขยายไปสู่สองมิติ
• การแทรกสอดแบบไตรคิวบิก (Tricubic interpolation ) ซึ่งเป็นการขยายไปสู่สามมิติ
• การแทรกสอดแบบเฮอร์ไมต์
• การประมาณค่าแบบหลายตัวแปร
• การประมาณค่าแบบสปลายน์
• การประมาณค่าแบบสปลายน์แบบไม่ต่อเนื่อง

• เส้นโค้งสไปลน์ศาสตราจารย์ โดนัลด์ เอช. เฮาส์มหาวิทยาลัยเคล็มสัน
• การแทรกสอดและการประมาณค่าแบบเฮอร์ไมต์หลายมิติโดยศาสตราจารย์ จันทราจิต บาจาจมหาวิทยาลัยเพอร์ดู
• บทนำเกี่ยวกับ Catmull–Rom Splines , MVPs.org
• สปลายแบบแทรกสอดของคาร์ดินัลและแคทมุล-รอม
• วิธีการประมาณค่าในช่วง: แบบเชิงเส้น แบบโคไซน์ แบบลูกบาศก์ และแบบเฮอร์ไมต์ (โดยใช้แหล่งกำเนิด C)
• สมการสปลายทั่วไป