ในทางคณิตศาสตร์สมการไบฮาร์มอนิก เป็น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสี่ซึ่งเกิดขึ้นในสาขากลศาสตร์ต่อเนื่องรวมถึงทฤษฎีความยืดหยุ่นเชิงเส้น และการแก้ปัญหา การไหลของสโตกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใช้ในการจำลองโครงสร้างบางๆ ที่ตอบสนองต่อแรงภายนอกใน เชิงยืดหยุ่น

เขียนได้เป็น หรือ หรือ โดยที่ซึ่งเป็นกำลังสี่ของ ตัวดำเนินการ เดลและกำลังสองของตัวดำเนินการลาปลาเซียน (หรือ) เรียกว่าตัวดำเนินการไบฮาร์มอนิกหรือตัวดำเนินการไบลาปลาเซียนในพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถเขียนในมิติได้ดังนี้: เนื่องจากสูตรนี้มีการรวมดัชนี นักคณิตศาสตร์หลายคนจึงนิยมใช้สัญลักษณ์มากกว่าเพราะสัญลักษณ์แรกทำให้ชัดเจนว่าดัชนีใดของตัวดำเนินการนาบลาทั้งสี่ตัวถูกหดตัวลง $${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}$$$${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}$$${\displaystyle \nabla ^{4}}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi =\left(\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}\partial _{j}\partial _{j}\right)\varphi .}$$${\displaystyle \Delta ^{2}}$${\displaystyle \nabla ^{4}}$

ตัวอย่างเช่น ในพิกัดคาร์ทีเซียน สามมิติ สม การไบฮาร์มอนิกมีรูปแบบ ดังนี้ อีกตัวอย่างหนึ่ง ในปริภูมิพิกัดจริงnมิติที่ไม่มีจุดกำเนิด ซึ่ง แสดงให้เห็นว่า สำหรับn = 3 และn = 5 เท่านั้นเป็นคำตอบของสมการไบฮาร์มอนิ ก $${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}$$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} \right)}$$${\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$$$${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$

คำตอบของสมการไบฮาร์มอนิกเรียกว่าฟังก์ชันไบฮาร์มอนิก ฟังก์ชันฮาร์มอนิก ใดๆ ก็ เป็น ฟังก์ชันไบฮาร์มอนิกได้ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงเสมอไป

ใน ระบบพิกัดเชิงขั้วสองมิติสมการไบฮาร์มอนิกคือ ซึ่งสามารถแก้ได้โดยการแยกตัวแปร ผลลัพธ์ ที่ได้ คือ คำตอบของ มิ เชลล์$${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$$

คำตอบทั่วไปสำหรับกรณี 2 มิติคือ โดยที่, และเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกและเป็น ฟังก์ชันสังยุคฮาร์มอนิก ของ$${\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}$$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle w(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle u(x,y)}$

เช่นเดียวกับที่ฟังก์ชันฮาร์มอนิกใน 2 ตัวแปรมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันวิเคราะห์ เชิงซ้อน ฟังก์ชันไบฮาร์มอนิกใน 2 ตัวแปรก็เช่นกัน รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันไบฮาร์มอนิกใน 2 ตัวแปรสามารถเขียนได้เป็น โดย ที่และเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ $${\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}$$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle g(z)}$

• ฟังก์ชันฮาร์มอนิก

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "สมการไบฮาร์มอนิก" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ตัวดำเนินการไบฮาร์มอนิก" . MathWorld .