ในทางคณิตศาสตร์การประมาณค่าแบบเบิร์คฮอฟฟ์ (Birkhoff interpolation)เป็นส่วนขยายของ การประมาณค่า แบบพหุนาม (Polynomial interpolation ) หมายถึงปัญหาการหาพหุนามดีกรี n ที่ มีค่าเฉพาะ อนุพันธ์บางตัวเท่านั้นณ จุดที่กำหนด: ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle P^{(n_{i})}(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{สำหรับ }}i=1,\ldots ,d,}$

โดยที่จุดข้อมูลและจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบจะถูกกำหนดไว้ แตกต่างจากการแทรกสอดแบบ Hermiteตรงที่สามารถระบุอนุพันธ์ของที่จุดบางจุดได้โดยไม่ต้องระบุอนุพันธ์ล่างหรือพหุนามเอง ชื่อนี้อ้างอิงถึงGeorge David Birkhoffซึ่งเป็นผู้ศึกษาปัญหานี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2449 ^{[ 1 ]}${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle P(x)}$

ตรงกันข้ามกับการแทรกสอดแบบ Lagrangeและการแทรกสอดแบบ Hermiteปัญหาการแทรกสอดแบบ Birkhoff ไม่ได้มีคำตอบเดียวเสมอไป ตัวอย่างเช่น ไม่มีพหุนามกำลังสองใดที่และในทางกลับกัน ปัญหาการแทรกสอดแบบ Birkhoff ที่กำหนดค่าของและจะมีคำตอบเดียวเสมอ^{[ 2 ]}${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(-1)=P(1)=0}$${\displaystyle P^{(1)}(0)=1}$${\displaystyle P^{(1)}(-1),P(0)}$${\displaystyle P^{(1)}(1)}$

ปัญหาสำคัญในทฤษฎีการแทรกสอดของ Birkhoff คือการจำแนกปัญหาที่มีคำตอบเดียวSchoenberg ^{[ 3 ]}กำหนดปัญหาดังต่อไปนี้ ให้แทนจำนวนเงื่อนไข (ดังข้างต้น) และให้เป็นจำนวนจุดแทรกสอด เมื่อกำหนดเมทริกซ์ซึ่งรายการทั้งหมดเป็นหรือ โดยที่ รายการ เป็นพอดีปัญหาที่เกี่ยวข้องคือการหาค่า ที่ทำให้ ${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d\times k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle P^{(j)}(x_{i})=y_{i,j}\qquad \forall (i,j)/e_{ij}=1}$

เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์เหตุการณ์ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เหตุการณ์สำหรับปัญหาการประมาณค่าในช่วงที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้านี้มีดังนี้: ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {and} \qquad {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$

คำถามต่อไปคือ: ปัญหาการประมาณค่าแบบ Birkhoff ที่มีเมทริกซ์เหตุการณ์ที่กำหนดให้จะมีคำตอบเดียวสำหรับทุกการเลือกจุดประมาณค่าหรือไม่? ${\displaystyle E}$

กรณีที่มีจุดแทรกสอดได้รับการแก้ไขโดยGeorge Pólyaในปี พ.ศ. 2474 ^{[ 4 ]}ให้แทนผลรวมของรายการในคอลัมน์แรกของเมทริกซ์เหตุการณ์: ${\displaystyle k=2}$${\displaystyle S_{m}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle S_{m}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}e_{ij}.}$

ดังนั้น ปัญหาการแทรกสอดของ Birkhoff ที่มีจะมีคำตอบเดียวก็ต่อเมื่อ เท่านั้นSchoenberg แสดงให้เห็นว่านี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าทั้งหมดของ ${\displaystyle k=2}$${\displaystyle S_{m}\geqslant m\quad \forall m}$${\displaystyle k}$

พิจารณาฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนโดยที่. ให้เห็นว่าไม่มีพหุนามกำลังสองของการประมาณค่าแบบ Birkhoff ที่ทำให้ โดยที่: เนื่องจากเราอาจเขียนพหุนามได้เป็น(โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ) โดยที่เป็นเพียงสัมประสิทธิ์การประมาณค่า อนุพันธ์ของพหุนามการประมาณค่าคือ. ซึ่งหมายความว่า อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเรื่องไร้สาระ เนื่องจากไม่จำเป็นต้องเป็น. เมทริกซ์เหตุการณ์กำหนดโดย: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle P^{(1)}(c)=f^{(1)}(c)}$${\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle P(x)=A(xc)^{2}+B}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle P^{(1)}(x)=2A(xc)^{2}}$${\displaystyle P^{(1)}(c)=0}$${\displaystyle f^{(1)}(c)}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}_{3\times 3}}$

พิจารณาฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนและกำหนดให้โดยที่ จะเห็นได้ว่ามีพหุนามกำลังสองของการประมาณค่าแบบ Birkhoff อยู่จริง โดยที่และสร้างพหุนามการประมาณค่าของที่จุด โดย ที่ ดังนั้นพหุนาม : คือพหุนามการประมาณค่าแบบ Birkhoff เมทริกซ์เหตุการณ์กำหนดโดย: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle x_{0}=a,x_{2}=b}$${\displaystyle x_{1}\in [a,b]}$${\displaystyle P(x_{1})=f(x_{1})}$${\displaystyle P^{(1)}(x_{0})=f^{(1)}(x_{0}),P^{(1)}(x_{2})=f^{(1)}(x_{2})}$${\displaystyle f^{(1)}(x)}$${\displaystyle x_{0},x_{2}}$${\displaystyle \displaystyle P_{1}(x)={\frac {f^{(1)}(x_{2})-f^{(1)}(x_{0})}{x_{2}-x_{0}}}(x-x_{0})+f^{(1)}(x_{0})}$${\displaystyle \displaystyle P_{2}(x)=f(x_{1})+\int _{x_{1}}^{x}\!P_{1}(t)\;\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}_{3\times 3}}$

กำหนดให้จำนวนธรรมชาติและฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนมีพหุนาม หรือไม่ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: และสำหรับโดยที่ ? จงสร้าง พหุนามลากรางจ์/ นิวตัน (พหุนามประมาณค่าแบบเดียวกัน แต่รูปแบบการคำนวณและการแสดงผลแตกต่างกัน) ที่สอดคล้องกับ เงื่อนไข สำหรับ แล้วพหุนามจะเป็นพหุนามประมาณค่าเบิร์คฮอฟฟ์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้น เมทริกซ์เหตุการณ์กำหนดโดย: ${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle P(x_{0})=f(x_{0})}$${\displaystyle P^{(1)}(x_{i})=f^{(1)}(x_{i})}$${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$${\displaystyle x_{0},x_{1},\cdots ,x_{N}\in [a,b]}$${\displaystyle P_{N-1}(x)}$${\displaystyle P_{N-1}(x_{i})=f^{(1)}(x_{i})}$${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$${\displaystyle \displaystyle P_{N}(x)=f(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}\!P_{N-1}(t)\;\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}_{N\times N}}$

กำหนดให้จำนวนธรรมชาติและฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนมีพหุนาม ใดบ้างที่ทำให้: และสำหรับ? สร้างเป็นพหุนามประมาณค่าในช่วงของที่และ โดยที่ กำหนด จากนั้น กำหนดค่าการวนซ้ำ แล้วคือพหุนามประมาณค่าในช่วงของ Birkhoff เมทริกซ์เหตุการณ์กำหนดโดย: ${\displaystyle N}$${\displaystyle 2N}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle P^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)}$${\displaystyle P^{(k)}(b)=f^{(k)}(b)}$${\displaystyle k=0,2,\cdots ,2N}$${\displaystyle P_{1}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x=b}$${\displaystyle P_{1}(x)={\frac {f^{(2N)}(b)-f^{(2N)}(a)}{b-a}}(x-a)+f^{(2N)}(a)}$${\displaystyle \displaystyle P_{k+2}(x)={\frac {f^{(2N-2k)}(b)-f^{(2N-2k)}(a)}{b-a}}(x-a)+f^{(2N-2k)}(a)+\int _{a}^{x}\!\int _{a}^{t}\!P_{k}(s)\;\mathrm {d} s\;\mathrm {d} t}$${\displaystyle P_{2N+1}(x)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1&0\cdots \\1&0&1&0\cdots \\\end{pmatrix}}_{2\times N}}$