รูปหลายเหลี่ยม Birkhoff มีจุดยอดหนึ่งจุดสำหรับแต่ละการเรียงสับเปลี่ยนของรายการ^{[ 1 ]} ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบท Birkhoff–von Neumannซึ่งระบุว่าจุดสุดขั้วของรูปหลายเหลี่ยม Birkhoff คือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนและด้วยเหตุนี้เมทริกซ์สุ่มสองชั้นใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในรูปของการรวมแบบนูนของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งกล่าวไว้ในบทความปี 1946 โดยGarrett Birkhoff ^{[ 2 ]}แต่ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากันในภาษาของการกำหนดค่าเชิงโปรเจกทีฟและการจับคู่กราฟสองส่วนปกติตามลำดับ ได้รับการแสดงให้เห็นก่อนหน้านั้นมากในปี 1894 ใน วิทยานิพนธ์ของ Ernst Steinitzและในปี 1916 โดยDénes Kőnig [ ^{3 ] เนื่องจาก}พิกัดจุดยอดทั้งหมดเป็นศูนย์หรือหนึ่ง รูปหลายเหลี่ยม Birkhoff จึงเป็น รูปหลายเหลี่ยม เชิงจำนวนเต็ม${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$

ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมเบิร์คฮอฟฟ์สอดคล้องกับคู่ของการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันด้วยวัฏจักร:

${\displaystyle (\sigma ,\omega )}$เช่นนั้นจึงเป็นวัฏจักร${\displaystyle \sigma ^{-1}\omega }$

สิ่งนี้บ่งชี้ว่ากราฟของเป็นกราฟเคย์ลีย์ของกลุ่มสมมาตรนอกจากนี้ยังบ่งชี้ว่ากราฟของเป็นกราฟสมบูรณ์และดังนั้นจึงเป็น โพลีโท ปเพื่อนบ้าน${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle K_{6}}$${\displaystyle B_{3}}$

โพลีโทป Birkhoff อยู่ภายในปริภูมิย่อยเชิง เส้นตรงมิติ n ของ ปริภูมิ มิติ n ของเมทริกซ์ ทั้งหมดปริภูมิย่อยนี้ถูกกำหนดโดยข้อจำกัดความเท่าเทียมกันเชิงเส้นตรงที่ผลรวมของแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ต้องเท่ากับหนึ่ง ภายในปริภูมิย่อยนี้ โพลีโทป Birkhoff ถูกกำหนดโดยอสมการเชิงเส้นตรง หนึ่งอสมการสำหรับแต่ละพิกัดของเมทริกซ์ โดยระบุว่าพิกัดต้องไม่เป็นลบ ดังนั้น สำหรับ โพลีโทป Birkhoff จะมีด้านจำนวน ด้านพอดี^{[ 1 ]}สำหรับ โพลีโทป Birkhoff จะมีสองด้าน โดยกำหนดโดยและ${\displaystyle (n^{2}-2n+1)}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle a_{11}=a_{22}=0}$${\displaystyle a_{12}=a_{21}=0}$

รูปทรงหลายเหลี่ยมเบิร์คฮอฟฟ์เป็นทั้งรูปทรงที่จุดยอดและหน้าตัดสามารถสลับกันได้ (กล่าวคือรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานเป็นรูปทรงที่จุดยอดสามารถสลับกันได้) แต่รูปทรงนี้ไม่ใช่รูปทรงปกติสำหรับ.${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n>2}$

ปัญหาสำคัญประการหนึ่งคือการหาปริมาตรของโพลีโทป Birkhoff ซึ่งได้ทำสำเร็จแล้วสำหรับ[ ^{4 ] เป็น}${\displaystyle n\leq 10}$ที่ทราบกันว่าปริมาตรนี้เท่ากับปริมาตรของโพลีโทปที่เกี่ยวข้องกับตาราง Young มาตรฐาน[ 5 ^{]สูตรเชิง}การจัดเรียงสำหรับทั้งหมดได้รับการกำหนดไว้ในปี 2007 ^{[ 6 ]}สูตรเชิงอะซิมโทติก ต่อไปนี้ถูกค้นพบโดยRodney CanfieldและBrendan McKay : ^{[ 7 ]}${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {vol} } (B_{n})\,=\,\exp \left(-(n-1)^{2}\ln n+n^{2}-\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\ln(2\pi )+{\frac {1}{3}}+o(1)\right).}$

สำหรับค่าขนาดเล็กปริมาณได้รับการประมาณการในปี 2557 ^{[ 8 ]}ในขณะที่การประมาณการที่คล้ายกันตามมา^{[ 9 ]}${\displaystyle n\leq 15}$

การหาพหุนาม Ehrhartของโพลีโทปนั้นยากกว่าการหาปริมาตร เนื่องจากปริมาตรสามารถคำนวณได้ง่ายจากสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนาม Ehrhart พหุนาม Ehrhart ที่เกี่ยวข้องกับโพลีโทป Birkhoff เป็นที่รู้จักเฉพาะสำหรับค่าเล็กๆ เท่านั้น^{[ 4 ]} มีการคาดการณ์ว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนาม Ehrhart มีค่าไม่เป็นลบ