ลูกบาศก์	คิวโบกตาเฮดรอน	ทรงแปดเหลี่ยม	ทรง แปดเหลี่ยมตัดยอด
(±1, ±1, ±1)	(0, ±1, ±1)	(0, 0, ±1)	(0, ±1, ±2)
โพลีโทปสมบูรณ์สี่รูปในสามมิติ

ในเรขาคณิตและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ของทรงหลายเหลี่ยม โพลีโทปเชิงอินทิกรัลคือโพลีโทป นูน ที่ มี จุดยอดทั้งหมดเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนจำนวนเต็ม^{[ 1 ]}กล่าวคือ เป็นโพลีโทปที่เท่ากับส่วนนูนของจุดจำนวนเต็ม^{[ 2 ]} โพ ลีโทปเชิงอินทิกรัลยังเรียกว่าโพลีโทปแลตทิซหรือโพลีโทป Z (ตามเซตZ ) กรณีพิเศษของโพลีโทปเชิงอินทิกรัลสองมิติและสามมิติอาจเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมเชิงอินทิกรัลหรือทรงหลายเหลี่ยมเชิงอินทิกรัลตามลำดับ

ซิมเพล็กซ์ปกติมิติn สามารถแสดงได้เป็นโพลีโทปจำนวนเต็มใน n ซึ่งเป็นส่วนนูนของจุดจำนวนเต็มที่มีพิกัดหนึ่งเป็นหนึ่งและที่เหลือเป็นศูนย์ ซิมเพล็กซ์จำนวนเต็มอีกประเภทที่สำคัญคือ ออร์โธสกีม n สามารถสร้างขึ้นเป็นส่วนนูนของจุดจำนวนเต็มที่มีพิกัดเริ่มต้นด้วยเลขหนึ่งติดต่อกันจำนวนหนึ่ง ตามด้วยเลขศูนย์ในพิกัดที่เหลือทั้งหมดลูกบาศก์หน่วยมิติ n ใน n มีจุดยอดเป็นจุดจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีพิกัดเป็นศูนย์หรือหนึ่งเพอร์มูตาเฮดรอนมีจุดยอดที่มีพิกัดได้มาจากการใช้การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดกับเวกเตอร์ n แอสโซซิอาเฮดรอนในการสร้างนูนของโลเดย์ก็เป็นโพลีโทปจำนวนเต็มและการเปลี่ยนรูปของเพอร์มูตาเฮดรอนเช่นกัน ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (1,2,...,n)}$

ในบริบทของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและปัญหาที่เกี่ยวข้องในการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนมักถูกอธิบายด้วยระบบอสมการเชิงเส้นที่จุดต่างๆ บนรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นต้องเป็นไปตามเงื่อนไข เมื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นจำนวนเต็ม การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสามารถนำมาใช้แก้ ปัญหา การเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มสำหรับระบบอสมการที่กำหนด ซึ่งเป็นปัญหาที่อาจยากกว่าหากไม่ใช้การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

โพลีเฮดราบางอันที่เกิดขึ้นจากปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงคอมบินาทอริก นั้นเป็นจำนวนเต็มโดยอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่น นี่เป็นจริงสำหรับ โพลีโทปอันดับของเซตที่มีลำดับบางส่วน ใดๆ ซึ่งเป็นโพลีโทปที่กำหนดโดยความไม่เท่ากันแบบคู่ระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกับองค์ประกอบที่เปรียบเทียบได้ในเซต^{[ 3 ]}โพลีโทปที่รู้จักกันดีอีกอันหนึ่งในการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงคอมบินาทอริกคือ โพลีโท ปการจับคู่เห็นได้ชัดว่าเราพยายามค้นหาการจับคู่ด้วยอัลกอริทึม และเทคนิคหนึ่งคือการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น โพลีโทปที่อธิบายโดยโปรแกรมเชิงเส้นที่จำกัดผลรวมของขอบที่ใช้ต่อจุดยอดนั้นเป็นจำนวนเต็มในกรณีของกราฟสองส่วนนั่นคือ มันอธิบายโพลีโทปการจับคู่ได้อย่างแม่นยำ ในขณะที่สำหรับกราฟทั่วไปนั้นไม่ใช่จำนวนเต็ม^{[ 4 ]}ดังนั้น สำหรับกราฟสองส่วน จึงเพียงพอที่จะแก้โปรแกรมเชิงเส้นที่สอดคล้องกันเพื่อให้ได้การจับคู่ ที่ถูก ต้อง อย่างไรก็ตาม สำหรับกราฟทั่วไป มีการกำหนดลักษณะเฉพาะของโพลีโทปการจับคู่อีกสองแบบ ซึ่งแบบหนึ่งใช้ประโยชน์จากความไม่เท่าเทียมกันของบลอสซัมสำหรับเซตย่อยคี่ของจุดยอด และด้วยเหตุนี้จึงอนุญาตให้ผ่อนคลายโปรแกรมจำนวนเต็มเป็นโปรแกรมเชิงเส้นในขณะที่ยังคงได้การจับคู่ที่ถูกต้อง^{[ 5 ]}การกำหนดลักษณะเฉพาะเหล่านี้มีความน่าสนใจเพิ่มเติมในอัลกอริทึมบลอสซัมที่มีชื่อเสียงของเอ็ดมอนด์ซึ่งใช้ในการค้นหาการจับคู่ดังกล่าวในกราฟทั่วไป

สำหรับโพลีโทปที่อธิบายด้วยอสมการเชิงเส้น เมื่อโพลีโทปไม่เป็นจำนวนเต็ม เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่เป็นจำนวนเต็มโดยการหาจุดยอดที่มีพิกัดไม่เป็นจำนวนเต็ม จุดยอดดังกล่าวสามารถอธิบายได้แบบเชิงการจัดเรียงโดยการระบุเซตย่อยของอสมการที่เมื่อแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้นแล้วจะมีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน และตรวจสอบว่าจุดคำตอบนี้เป็นไปตามอสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้น การทดสอบความเป็นจำนวนเต็มจึงอยู่ในชั้นความซับซ้อนcoNPของปัญหาที่สามารถพิสูจน์คำตอบเชิงลบได้ง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือcoNP- complete ^{[ 6 ]}

คุณสมบัติสำคัญหลายประการของโพลีโทปจำนวนเต็ม รวมถึงปริมาตรและจำนวนจุดยอด จะถูกเข้ารหัสโดยพหุนามเออร์ฮาร์ต^{[ 7 ]}

โพลีโทปจำนวนเต็มมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีของวาไรตี้ทอริกโดยที่โพลีโทปเหล่านี้สอดคล้องกับวาไรตี้ทอริกเชิงโปรเจกทีฟแบบโพลาไรซ์ ตัวอย่างเช่น วาไรตี้ทอริกที่สอดคล้องกับซิมเพล็ก ซ์ คือ ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ วา ไรตี้ทอริกที่สอดคล้องกับลูกบาศก์หน่วยคือการฝังเซเกรของผลคูณ -เท่าของเส้นเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle n}$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต โพลีโทปแบบแลตติสที่สำคัญอย่างหนึ่งเรียกว่าโพลีโทปแบบนิวตันซึ่งเป็นรูปทรงนูนของเวกเตอร์ที่แสดงเลขชี้กำลังของแต่ละตัวแปรในพจน์ของพหุนามตัวอย่างเช่น พหุนามมีสี่พจน์ โดย มีเวกเตอร์เลขชี้กำลัง (1,1), เวกเตอร์เลขชี้กำลัง (2,0), เวกเตอร์เลขชี้กำลัง (0,5) และเวกเตอร์เลขชี้กำลัง (0,0) โพลีโทปแบบนิวตันของพหุนามนี้คือรูปทรงนูนของจุดทั้งสี่จุด (1,1), (2,0), (0,5) และ (0,0) รูปทรงนูนนี้เป็นสามเหลี่ยมที่มีจุด (1,1) อยู่ภายในสามเหลี่ยม และจุดอีกสามจุดเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม ${\displaystyle xy+2x^{2}+y^{5}+4}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2x^{2}}$${\displaystyle y^{5}}$${\displaystyle 4}$

• โพลีโทปเดลแซนต์
• ทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดรีฟ