ภาษาทางการ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {W}}}$สามารถกำหนดได้ด้วยตัวอักษร${\displaystyle \alpha =\{\triangle ,\square \}}$และด้วยคำที่อยู่ใน${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {W}}}$หากเริ่มต้นด้วย${\displaystyle \triangle }$และประกอบด้วยสัญลักษณ์เพียงอย่างเดียว${\displaystyle \triangle }$และ${\displaystyle \square }$.

การตีความที่เป็นไปได้ของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {W}}}$สามารถกำหนดเลขฐานสิบ '1' ให้กับ${\displaystyle \triangle }$และ '0' ถึง${\displaystyle \square }$. แล้ว${\displaystyle \triangle \square \triangle }$ภายใต้การตีความนี้ จะหมายถึง 101${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {W}}}$.

ในกรณีเฉพาะของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์และตรรกศาสตร์เชิงภาคแสดง ภาษาเชิงรูปธรรมที่พิจารณานั้นมีตัวอักษรที่แบ่งออกเป็นสองชุด ได้แก่ สัญลักษณ์เชิงตรรกะ ( ค่าคงที่เชิงตรรกะ ) และสัญลักษณ์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ แนวคิดเบื้องหลังคำศัพท์นี้คือ สัญลักษณ์ เชิงตรรกะมีความหมายเหมือนกันไม่ว่าเรื่องที่ศึกษาจะเป็นเรื่องอะไร ในขณะที่ สัญลักษณ์ ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะจะมีความหมายเปลี่ยนแปลงไปตามขอบเขตของการศึกษา

ค่าคงที่เชิงตรรกะจะมีความหมายเหมือนกันเสมอในทุกการตีความแบบมาตรฐาน ดังนั้นความหมายของสัญลักษณ์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลงไป ค่าคงที่เชิงตรรกะประกอบด้วยสัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ ∀ ("ทั้งหมด") และ ∃ ("บางส่วน"), สัญลักษณ์ตัวเชื่อมเชิงตรรกะ ∧ ("และ"), ∨ ("หรือ"), ¬ ("ไม่ใช่"), วงเล็บและสัญลักษณ์การจัดกลุ่มอื่นๆ และ (ในการตีความหลายๆ แบบ) สัญลักษณ์ความเท่าเทียมกัน =

สัญลักษณ์เชิงตรรกะบางอย่างของภาษา (นอกเหนือจากตัวบ่งปริมาณ) เป็นตัวเชื่อมฟังก์ชันความจริงซึ่งแสดงถึงฟังก์ชันความจริง — ฟังก์ชันที่รับค่าความจริงเป็นอาร์กิวเมนต์และส่งคืนค่าความจริงเป็นเอาต์พุต (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นการดำเนินการกับค่าความจริงของประโยค)

ตัวเชื่อมความหมายเชิงตรรกะช่วยให้สามารถสร้างประโยคผสมจากประโยคที่ง่ายกว่าได้ ด้วยวิธีนี้ ค่าความจริงของประโยคผสมจะถูกกำหนดเป็นฟังก์ชันความจริงบางอย่างของค่าความจริงของประโยคที่ง่ายกว่า โดยทั่วไปแล้ว ตัวเชื่อมความหมายเหล่านี้ถือว่าเป็นค่าคงที่ทางตรรกะหมายความว่า ความหมายของตัวเชื่อมความหมายเหล่านี้จะเหมือนกันเสมอ ไม่ว่าสัญลักษณ์อื่นๆ ในสูตรจะถูกตีความอย่างไรก็ตาม

นี่คือวิธีการกำหนดตัวเชื่อมทางตรรกะในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์:

• ¬Φ เป็นจริง ก็ต่อ เมื่อ Φ เป็นเท็จ
• (Φ ∧ Ψ) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ Φ เป็นจริงและ Ψ เป็นจริง
• (Φ ∨ Ψ) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ Φ เป็นจริง หรือ Ψ เป็นจริง (หรือทั้งสองเป็นจริง)
• (Φ → Ψ) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ ¬Φ เป็นจริง หรือ Ψ เป็นจริง (หรือทั้งสองเป็นจริง)
• (Φ ↔ Ψ) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ (Φ → Ψ) เป็นจริงและ (Ψ → Φ) เป็นจริง

ดังนั้น ภายใต้การตีความที่กำหนดไว้ของตัวอักษรประโยคทั้งหมด Φ และ Ψ (กล่าวคือ หลังจากกำหนดค่าความจริงให้กับตัวอักษรประโยคแต่ละตัวแล้ว) เราสามารถกำหนดค่าความจริงของสูตรทั้งหมดที่มีตัวอักษรเหล่านั้นเป็นส่วนประกอบได้ โดยขึ้นอยู่กับตัวเชื่อมทางตรรกะ ตารางต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้มีลักษณะอย่างไร สองคอลัมน์แรกแสดงค่าความจริงของตัวอักษรประโยคที่กำหนดโดยการตีความที่เป็นไปได้สี่แบบ ส่วนคอลัมน์อื่นๆ แสดงค่าความจริงของสูตรที่สร้างขึ้นจากตัวอักษรประโยคเหล่านี้ โดยกำหนดค่าความจริงแบบเวียนซ้ำ

ตอนนี้เราจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นว่าอะไรทำให้สูตรหนึ่งๆ มีความถูกต้องทางตรรกะ ลองพิจารณาสูตรF : (Φ ∨ ¬Φ) ถ้าฟังก์ชันการตีความของเราทำให้ Φ เป็นจริง ¬Φ จะกลายเป็นเท็จโดยตัวเชื่อมการปฏิเสธ เนื่องจากส่วนแยก Φ ของFเป็นจริงภายใต้การตีความนั้น ดังนั้นFจึงเป็นจริง ทีนี้ การตีความอีกแบบเดียวที่เป็นไปได้ของ Φ คือทำให้มันเป็นเท็จ และถ้าเป็นเช่นนั้น ¬Φ จะกลายเป็นจริงโดยฟังก์ชันการปฏิเสธ ซึ่งจะทำให้Fเป็นจริงอีกครั้ง เนื่องจากส่วนแยกหนึ่งของFคือ ¬Φ จะเป็นจริงภายใต้การตีความนี้ เนื่องจากการตีความทั้งสองแบบนี้เป็นการตีความทางตรรกะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวสำหรับFและเนื่องจากFเป็นจริงสำหรับทั้งสองแบบ เราจึงกล่าวว่ามันมีความถูกต้องทางตรรกะหรือเป็นสัจนิรันดร์

เมื่อกำหนดลายเซ็น σ แล้ว ภาษาเชิงรูปธรรมที่สอดคล้องกันจะเรียกว่าเซตของสูตร σ แต่ละสูตร σ สร้างขึ้นจากสูตรอะตอมิกโดยใช้ตัวเชื่อมทางตรรกะ สูตรอะตอมิกสร้างขึ้นจากเทอมโดยใช้สัญลักษณ์ภาคแสดง การนิยามเชิงรูปธรรมของเซตของสูตร σ ดำเนินไปในทิศทางตรงกันข้าม กล่าวคือ ขั้นแรก เทอมต่างๆ จะถูกประกอบขึ้นจากสัญลักษณ์ค่าคงที่และฟังก์ชันพร้อมกับตัวแปร จากนั้น เทอมต่างๆ สามารถรวมกันเป็นสูตรอะตอมิกโดยใช้สัญลักษณ์ภาคแสดง (สัญลักษณ์ความสัมพันธ์) จากลายเซ็นหรือสัญลักษณ์ภาคแสดงพิเศษ "=" สำหรับความเท่าเทียมกัน (ดูส่วน " การตีความความเท่าเทียมกัน"ด้านล่าง) สุดท้าย สูตรของภาษาจะประกอบขึ้นจากสูตรอะตอมิกโดยใช้ตัวเชื่อมทางตรรกะและตัวบ่งปริมาณ

ในการกำหนดความหมายให้กับประโยคทุกประโยคในภาษาลำดับที่หนึ่ง จำเป็นต้องมีข้อมูลต่อไปนี้

• ขอบเขตของการสนทนา^{[ a ]} ​​Dซึ่งโดยปกติแล้วจะต้องไม่ว่างเปล่า (ดูด้านล่าง)
• สำหรับสัญลักษณ์ค่าคงที่ทุกตัว จะมีองค์ประกอบของDเป็นการตีความ
• สำหรับสัญลักษณ์ฟังก์ชันn -ary ทุกตัว จะมีฟังก์ชัน n -ary จากDไปยังDเป็นการตีความ (นั่นคือ ฟังก์ชันD ⁿ  → D ) 
• สำหรับสัญลักษณ์ภาคแสดงn -ary ทุกตัว จะมีความสัมพันธ์ n -ary บนDเป็นการตีความ (นั่นคือ เซตย่อยของD ⁿ )

วัตถุที่บรรจุข้อมูลนี้เรียกว่าโครงสร้าง ( ของลายเซ็น σ) หรือ โครงสร้าง σ หรือ โครงสร้าง L (ของภาษา L) หรือ "แบบจำลอง"

ข้อมูลที่ระบุไว้ในการตีความนั้นเพียงพอที่จะให้ค่าความจริงแก่สูตรอะตอมิกใดๆ หลังจากที่ตัวแปรอิสระ แต่ละตัว (ถ้ามี) ถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบของโดเมนแล้ว ค่าความจริงของประโยคใดๆ จะถูกกำหนดแบบอุปนัยโดยใช้T-schemaซึ่งเป็นนิยามของความหมายลำดับที่หนึ่งที่พัฒนาโดย Alfred Tarski T-schema ตีความตัวเชื่อมทางตรรกะโดยใช้ตารางความจริง ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ดังนั้น ตัวอย่างเช่นφ ∧ ψจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้ง φ และ ψ เป็นจริง

สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามว่าเราจะตีความสูตรในรูปแบบ∀ x φ( x )และ∃ x φ( x ) ได้อย่างไร โดเมนของการพิจารณาเป็นตัวกำหนดช่วงของตัวบ่งปริมาณเหล่านี้ แนวคิดก็คือ ประโยค∀ x φ( x )เป็นจริงภายใต้การตีความก็ต่อเมื่อทุกกรณีการแทนที่ของ φ( x ) โดยที่xถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบบางอย่างในโดเมน เป็นจริง สูตร∃ x φ( x )จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อมีองค์ประกอบd อย่างน้อยหนึ่งตัว ในโดเมนที่ทำให้ φ( d ) เป็นจริง

กล่าวอย่างเคร่งครัดแล้ว ตัวอย่างการแทนที่ เช่น สูตร φ( d ) ที่กล่าวถึงข้างต้น ไม่ใช่สูตรในภาษาทางการดั้งเดิมของ φ เนื่องจากdเป็นองค์ประกอบของโดเมน มีสองวิธีในการจัดการกับปัญหาทางเทคนิคนี้ วิธีแรกคือการเปลี่ยนไปใช้ภาษาที่ใหญ่กว่า ซึ่งแต่ละองค์ประกอบของโดเมนจะถูกตั้งชื่อด้วยสัญลักษณ์คงที่ วิธีที่สองคือการเพิ่มฟังก์ชันในการตีความที่กำหนดค่าให้กับตัวแปรแต่ละตัวในองค์ประกอบของโดเมน จากนั้น T-schema สามารถวัดปริมาณตามการเปลี่ยนแปลงของการตีความดั้งเดิมที่ฟังก์ชันการกำหนดค่าตัวแปรนี้ถูกเปลี่ยนแปลง แทนที่จะวัดปริมาณตามตัวอย่างการแทนที่

ผู้เขียนบางคนยังยอมรับตัวแปรเชิงประพจน์ในตรรกะลำดับแรก ซึ่งจะต้องได้รับการตีความด้วย ตัวแปรเชิงประพจน์สามารถยืนหยัดได้ด้วยตัวเองในฐานะสูตรอะตอม การตีความตัวแปรเชิงประพจน์คือค่าความจริงสองค่า คือจริงและเท็จ^{[ 3 ]}

เนื่องจากการตีความลำดับแรกที่อธิบายไว้ที่นี่ถูกกำหนดไว้ในทฤษฎีเซตจึงไม่ได้เชื่อมโยงสัญลักษณ์ภาคแสดงแต่ละตัวกับคุณสมบัติ^{[ b ]} (หรือความสัมพันธ์) แต่เชื่อมโยงกับการขยายของคุณสมบัติ (หรือความสัมพันธ์) นั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง การตีความลำดับแรกเหล่านี้เป็นแบบขยาย^{[ c ]}ไม่ใช่แบบความหมาย

ตัวอย่างของการตีความ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$คุณสมบัติของภาษาLที่อธิบายไว้ข้างต้นมีดังนี้

• โดเมน: ชุดหมากรุก
• ค่าคงที่เฉพาะตัว: a: ราชาสีขาว, b: ราชินีสีดำ, c: เบี้ยของราชาสีขาว
• F(x): x คือชิ้นส่วน
• G(x): x คือเบี้ย
• H(x): x เป็นสีดำ
• I(x): x เป็นสีขาว
• J(x, y): x สามารถจับ y ได้

ในการตีความ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$ของ L:

• ประโยคต่อไปนี้เป็นประโยคที่ถูกต้อง: F(a), G(c), H(b), I(a), J(b, c)
• ประโยคต่อไปนี้เป็นประโยคเท็จ: J(a, c), G(a)

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การตีความลำดับที่หนึ่งมักจำเป็นในการระบุเซตที่ไม่ว่างเปล่าเป็นโดเมนของการสนทนา เหตุผลของข้อกำหนดนี้คือเพื่อรับประกันว่าความเท่าเทียมกัน เช่น $${\displaystyle (\phi \lor \exists x\psi )\leftrightarrow \exists x(\phi \lor \psi ),}$$ โดยที่xไม่ใช่ตัวแปรอิสระของ φ นั้น ถือว่าถูกต้องตามหลักตรรกะ ความสมมูลนี้เป็นจริงในทุกการตีความที่มีโดเมนไม่ว่างเปล่า แต่ไม่เป็นจริงเสมอไปเมื่ออนุญาตให้มีโดเมนว่างเปล่า ตัวอย่างเช่น ความสมมูล $${\displaystyle [\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]}$$ ล้มเหลวในโครงสร้างใดๆ ที่มีโดเมนว่าง ดังนั้นทฤษฎีการพิสูจน์ของตรรกะลำดับแรกจึงซับซ้อนมากขึ้นเมื่ออนุญาตให้มีโครงสร้างว่าง อย่างไรก็ตาม ผลประโยชน์ที่ได้รับจากการอนุญาตให้มีโครงสร้างว่างนั้นมีน้อยมาก เนื่องจากทั้งการตีความที่ตั้งใจไว้และการตีความที่น่าสนใจของทฤษฎีที่ผู้คนศึกษานั้นมีโดเมนที่ไม่ว่าง^{[ 4 ] [ 5 ]}

ความสัมพันธ์ที่ว่างเปล่าไม่ก่อให้เกิดปัญหาใดๆ สำหรับการตีความลำดับที่หนึ่ง เนื่องจากไม่มีแนวคิดที่คล้ายกันของการส่งผ่านสัญลักษณ์ความสัมพันธ์ข้ามตัวเชื่อมตรรกะ ซึ่งจะขยายขอบเขตของมันในกระบวนการนั้น ดังนั้นจึงยอมรับได้ที่สัญลักษณ์ความสัมพันธ์จะถูกตีความว่าเป็นเท็จโดยสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม การตีความสัญลักษณ์ฟังก์ชันจะต้องกำหนดฟังก์ชันที่ชัดเจนและสมบูรณ์ให้กับสัญลักษณ์นั้นเสมอ

ความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันมักได้รับการพิจารณาเป็นพิเศษในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งและตรรกศาสตร์ภาคแสดงอื่นๆ โดยมีแนวทางทั่วไปอยู่สองแนวทาง

แนวทางแรกคือการพิจารณาความเท่าเทียมกันไม่ต่างจากความสัมพันธ์ทวิภาคอื่นๆ ในกรณีนี้ หากมีการรวมสัญลักษณ์ความเท่าเทียมกันไว้ในลายเซ็น มักจำเป็นต้องเพิ่มสัจพจน์ต่างๆ เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันลงในระบบสัจพจน์ (ตัวอย่างเช่น สัจพจน์การแทนที่ที่กล่าวว่า ถ้าa = bและR ( a ) เป็นจริงแล้วR ( b ) ก็เป็นจริงเช่นกัน) แนวทางนี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อศึกษาลายเซ็นที่ไม่รวมความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกัน เช่น ลายเซ็นสำหรับทฤษฎีเซตหรือลายเซ็นสำหรับเลขคณิตอันดับสองซึ่งมีเพียงความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันสำหรับจำนวนเท่านั้น แต่ไม่มีความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันสำหรับเซตของจำนวน

แนวทางที่สองคือการพิจารณาสัญลักษณ์ความสัมพันธ์เท่าเทียมเป็นค่าคงที่ทางตรรกะที่ต้องได้รับการตีความโดยความสัมพันธ์เท่าเทียมที่แท้จริงในทุกการตีความ การตีความที่ตีความความเท่าเทียมในลักษณะนี้เรียกว่าแบบจำลองปกติดังนั้นแนวทางที่สองนี้จึงเหมือนกับการศึกษาเฉพาะการตีความที่เป็นแบบจำลองปกติเท่านั้น ข้อดีของแนวทางนี้คือสัจพจน์ที่เกี่ยวข้องกับความเท่าเทียมนั้นได้รับการตอบสนองโดยอัตโนมัติโดยแบบจำลองปกติทุกแบบ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องรวมไว้ในทฤษฎีลำดับที่หนึ่งอย่างชัดเจนเมื่อพิจารณาความเท่าเทียมในลักษณะนี้ แนวทางที่สองนี้บางครั้งเรียกว่าตรรกะลำดับที่หนึ่งที่มีความเท่าเทียมแต่ผู้เขียนหลายคนนำไปใช้ในการศึกษาตรรกะลำดับที่หนึ่งโดยทั่วไปโดยไม่มีการแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติม

มีเหตุผลอื่นๆ อีกเล็กน้อยที่ทำให้ต้องจำกัดการศึกษาตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งไว้เฉพาะแบบจำลองปกติ ประการแรก เป็นที่ทราบกันดีว่าการตีความลำดับที่หนึ่งใดๆ ที่ตีความความเท่าเทียมกันด้วยความสัมพันธ์สมมูลและสอดคล้องกับสัจพจน์การแทนที่สำหรับความเท่าเทียมกัน สามารถลดทอนลงเหลือ การตีความ ที่เทียบเท่ากันในเชิงพื้นฐานบนเซตย่อยของโดเมนเดิมได้ ดังนั้นจึงไม่มีความทั่วไปเพิ่มเติมมากนักในการศึกษาแบบจำลองที่ไม่ใช่แบบปกติ ประการที่สอง หากพิจารณาแบบจำลองที่ไม่ใช่แบบปกติแล้ว ทฤษฎีที่สอดคล้องกันทุกทฤษฎีจะมีแบบจำลองอนันต์ ซึ่งส่งผลกระทบต่อข้อความของผลลัพธ์ต่างๆ เช่นทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเลมซึ่งโดยปกติจะกล่าวภายใต้สมมติฐานว่าพิจารณาเฉพาะแบบจำลองปกติเท่านั้น

การขยายความของตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งพิจารณาภาษาที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งชนิดแนวคิดคือตัวแปรชนิดต่างๆ แทนวัตถุประเภทต่างๆ ตัวแปรทุกชนิดสามารถกำหนดปริมาณได้ ดังนั้นการตีความสำหรับภาษาที่มีตัวแปรหลายชนิดจึงมีโดเมนแยกต่างหากสำหรับตัวแปรแต่ละชนิด (มีตัวแปรจำนวนอนันต์ของแต่ละชนิด) สัญลักษณ์ฟังก์ชันและสัญลักษณ์ความสัมพันธ์ นอกเหนือจากจะมีจำนวนอาร์กิวเมนต์แล้ว ยังถูกกำหนดไว้ด้วยว่าอาร์กิวเมนต์แต่ละตัวต้องมาจากชนิดใดชนิดหนึ่ง

ตัวอย่างหนึ่งของตรรกะหลายประเภทคือเรขาคณิตแบบยูคลิด บนระนาบ มีสองประเภทคือ จุดและเส้น มีสัญลักษณ์ความสัมพันธ์เท่ากันสำหรับจุด สัญลักษณ์ความสัมพันธ์เท่ากันสำหรับเส้น และความสัมพันธ์การเกิดร่วมกันแบบไบนารีEซึ่งรับตัวแปรจุดหนึ่งตัวและตัวแปรเส้นหนึ่งตัว การตีความที่ตั้งใจไว้ของภาษานี้คือ ตัวแปรจุดครอบคลุมจุดทั้งหมดบนระนาบยูคลิดตัวแปรเส้นครอบคลุมเส้นทั้งหมดบนระนาบ และความสัมพันธ์การเกิดร่วมกันE ( p , l ) เป็นจริงก็ต่อเมื่อจุดpอยู่บนเส้นlเท่านั้น

เมื่อพิจารณาระบบที่เป็นทางการอย่างง่าย (เราจะเรียกระบบนี้ว่า)${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$) ซึ่งตัวอักษร α ประกอบด้วยสัญลักษณ์เพียงสามตัวเท่านั้น${\displaystyle \{\blacksquare ,\bigstar ,\blacklozenge \}}$และกฎการสร้างสูตรของมันคือ:

'สตริงของสัญลักษณ์ใดๆ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ซึ่งมีความยาวอย่างน้อย 6 สัญลักษณ์ และไม่ยาวเป็นอนันต์ เป็นสูตรของ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ไม่มีสิ่งอื่นใดที่เป็นสูตรสำเร็จของ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$.'

แผนผังสัจพจน์เดียวของ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$เป็น:

"${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ast \blacklozenge \ \blacksquare \ast }$" (ที่ไหน "${\displaystyle \ast }$" คือตัวแปรเมตาซินแทกติกที่แทนสตริงจำกัดของ "${\displaystyle \blacksquare }$"s )

สามารถสร้างบทพิสูจน์อย่างเป็นทางการได้ดังนี้:

1. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare }$
2. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$
3. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$

ในตัวอย่างนี้ ทฤษฎีบทดังกล่าวได้สร้าง "${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$" สามารถตีความได้ว่า "หนึ่งบวกสามเท่ากับสี่" การตีความอีกแบบหนึ่งคือการอ่านย้อนกลับเป็น "สี่ลบสามเท่ากับหนึ่ง" ^{[ 9 ]}