ในวิชาโทโพโลยีและคณิตศาสตร์โดยทั่วไปขอบเขตของเซตย่อยSในปริภูมิโทโพโลยีXคือเซตของจุดในส่วนปิดของSที่ไม่ใช่ส่วนภายในของSจุดบนขอบเขตของSเรียกว่าจุดขอบเขตของSคำว่าการดำเนินการกับขอบเขตหมายถึง การหาหรือการหาขอบเขตของเซต สัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับขอบเขตของเซตSได้แก่${\displaystyle \operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),}$ และ${\displaystyle \partial S}$.

ผู้เขียนบางคน (เช่น Willard ในGeneral Topology ) ใช้คำว่าfrontierแทนคำว่า boundary เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับคำจำกัดความที่แตกต่างกันซึ่งใช้ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและทฤษฎีของแมนิโฟลด์แม้ว่าความหมายของคำว่า boundary และ frontier จะได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง แต่บางครั้งก็มีการใช้คำเหล่านี้เพื่ออ้างถึงเซตอื่น ตัวอย่างเช่นMetric Spacesโดย ET Copson ใช้คำว่า boundary เพื่ออ้างถึงborderของHausdorffซึ่งกำหนดไว้ว่าเป็นจุดตัดของเซตกับขอบเขตของมัน^{[ 1 ]} Hausdorff ยังได้แนะนำคำว่าresidueซึ่งกำหนดไว้ว่าเป็นจุดตัดของเซตกับการปิดของขอบเขตของส่วนเติมเต็มของมัน^{[ 2 ]}

มีนิยามที่เทียบเท่ากันหลายประการสำหรับขอบเขตของเซตย่อย${\displaystyle S\subseteq X}$ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X,}$ซึ่งจะถูกระบุด้วย${\displaystyle \partial _{X}S,}$หรือเพียงแค่${\displaystyle \partial S}$ถ้า${\displaystyle X}$เป็นที่เข้าใจได้ว่า:

1. เป็นการปิดตัวลงของ${\displaystyle S}$ลบส่วนภายในของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle X}$: $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$แสดงถึงการปิดของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$แสดงถึงส่วนภายในเชิงโทโพโลยีของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle X.}$
2. มันคือจุดตัดของการปิด${\displaystyle S}$ด้วยการปิดส่วนเติมเต็ม :$${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$
3. มันคือเซตของจุด${\displaystyle p\in X}$โดยที่ทุกย่านของ${\displaystyle p}$ประกอบด้วยอย่างน้อยหนึ่งจุดของ${\displaystyle S}$และอย่างน้อยหนึ่งประเด็นที่ไม่ใช่ของ${\displaystyle S}$:$${\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}$$
4. มันคือคะแนนทั้งหมดใน${\displaystyle X}$ซึ่งไม่ได้อยู่ในทั้งภายในหรือภายนอกของ${\displaystyle S}$: $${\displaystyle \partial S~:=~X\setminus \left(\operatorname {int} _{X}S\cup \operatorname {ext} _{X}S\right)}$$ ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$หมายถึงภายในของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$หมายถึงภายนอกของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle X.}$

จุดขอบเขตของเซต คือ สมาชิกใดๆ บนขอบเขตของเซตนั้น ขอบเขต${\displaystyle \partial _{X}S}$ขอบเขตที่นิยามไว้ข้างต้นบางครั้งเรียกว่า ขอบเขตทางทอพอโลยีของเซตเพื่อแยกแยะออกจากแนวคิดอื่นที่มีชื่อคล้ายกัน เช่นขอบเขตของแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขตหรือขอบเขตของแมนิโฟลด์ที่มีมุมเป็นต้น

ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของขอบเขตของSเรียกว่าส่วนประกอบขอบเขตของS

พิจารณาเส้นจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$ด้วยโทโพโลยีปกติ (นั่นคือ โทโพโลยีที่มีเซตฐานเป็นช่วงเปิด ) และ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$เซตย่อยของจำนวนตรรกยะ (ซึ่งภายในเชิงโทโพโลยีอยู่ใน${\displaystyle \mathbb {R} }$(ว่างเปล่า) จากนั้นใน${\displaystyle \mathbb {R} }$เรามี

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

ตัวอย่างสองข้อสุดท้ายนี้แสดงให้เห็นว่าขอบเขตของเซตหนาแน่นที่มีส่วนภายในว่างเปล่าคือส่วนปิดของเซตนั้น นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าขอบเขตนั้นสามารถเป็นไปได้เช่นกัน${\displaystyle \partial S}$ของเซตย่อย${\displaystyle S}$เพื่อบรรจุเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างเปล่าของ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$นั่นคือ สำหรับภายในของ${\displaystyle \partial S}$ใน${\displaystyle X}$เซตปิด ต้องไม่ว่างเปล่า อย่างไรก็ตาม ขอบเขตของเซต ปิดจะมีส่วนภายในที่ว่างเปล่าเสมอ

สัญลักษณ์${\displaystyle \partial _{X}S}$ใช้เนื่องจากขอบเขตของเซต${\displaystyle S}$ขึ้นอยู่กับพื้นที่ทางทอพอโลยีโดยรอบอย่างสำคัญ${\displaystyle X}$นั่นคือสิ่งที่พิจารณาแล้ว ยกตัวอย่างเช่น เซต${\displaystyle S=\{r\in \mathbb {Q} \mid 0<r<{\sqrt {2}}\}}$ถือว่าเป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle \mathbb {R} }$ขอบเขตของมันคือช่วงปิด${\displaystyle [0,{\sqrt {2}}]}$ถือว่าเป็นเซตย่อยของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$(ที่ไหน${\displaystyle \mathbb {Q} }$ได้รับโทโพโลยีตามปกติ ซึ่งเป็นโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจาก${\displaystyle \mathbb {R} }$) ขอบเขตของ${\displaystyle S}$เป็น${\displaystyle \{0\}}$และถือว่าเป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle X=S}$ตัวมันเองนั้น ขอบเขตว่างเปล่า

เมื่อพิจารณาโทโพโลยีปกติบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ขอบของวงกลมปิด${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$คือวงกลมที่ล้อมรอบแผ่นดิสก์:${\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$ หากมองดิสก์เป็นชุดแทน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ด้วยโครงสร้างทางโทโพโลยีตามปกติของมันเอง นั่นคือ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$ดังนั้นขอบเขตของแผ่นดิสก์ก็คือตัวแผ่นดิสก์เอง:${\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}$

ขอบเขตของเซตปิด ; ^{[ 3 ]}ซึ่งเป็นผลมาจากสูตร${\displaystyle \partial _{X}S~=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}$ซึ่งแสดงออก${\displaystyle \partial _{X}S}$เนื่องจากเป็นจุดตัดของเซตย่อยปิดสองเซตของ${\displaystyle X.}$

เซตจะเป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อมันมีขอบเขตของตัวเองอยู่ภายใน และจะเป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อมันไม่มีส่วนใดส่วนหนึ่งทับซ้อนกับขอบเขตของตัวเอง

การปิดฉาก${\displaystyle S}$เท่ากับผลรวมของเซตกับขอบเขตของเซต:$${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial S.}$$("ไตรภาค")เมื่อกำหนดเซตย่อยใดๆ${\displaystyle S\subseteq X,}$แต่ละจุดของ${\displaystyle X}$อยู่ในเซตใดเซตหนึ่งจากสามเซตพอดี${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$และ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ$${\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}$$และเซตทั้งสามนี้ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ

จุดหนึ่ง${\displaystyle p\in X}$เป็นจุดขอบเขตของเซตก็ต่อเมื่อทุกย่านใกล้เคียงของ${\displaystyle p}$ประกอบด้วยจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดในเซตและจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดที่ไม่อยู่ในเซต ขอบเขตภายในของเซตและขอบเขตของการปิดของเซตต่างก็อยู่ในขอบเขตของเซตนั้นด้วย

เซตและส่วนเติมเต็มของเซตมีขอบเขตเดียวกัน: $${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).}$$ชุดหนึ่ง${\displaystyle U}$เป็น เซตย่อย เปิดที่มีความหนาแน่นสูง ของ${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}$

ภายในขอบเขตของเซตปิดนั้นว่างเปล่า^{[ 4 ]} ดังนั้น ภายในขอบเขตของการปิดของเซตจึงว่างเปล่า ภายในขอบเขตของเซตเปิดก็ว่างเปล่าเช่นกัน^{[ 5 ]} ดังนั้น ภายในขอบเขตของภายในของเซตจึงว่างเปล่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle S\subseteq X}$เป็นเซตย่อยแบบปิดหรือแบบเปิดของ${\displaystyle X}$ดังนั้นจึงไม่มีเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าอยู่เลย${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$โดยที่${\displaystyle U}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X.}$ ข้อเท็จจริงนี้มีความสำคัญต่อคำจำกัดความและการใช้งานของเซตย่อยที่ไม่มีความหนาแน่นที่ใดเลยเซตย่อยที่เบาบางและปริภูมิแบร์

เซตหนึ่งจะเป็นขอบเขตของเซตเปิดบางเซตก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและไม่มีจุดหนาแน่นที่ใดเลยขอบเขตของเซตหนึ่งจะว่างเปล่าก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นทั้งเซตปิดและเซตเปิด (กล่าวคือเซตปิด-เปิด )

สำหรับชุดใดๆ ก็ตาม${\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}$ที่ไหน${\displaystyle \,\supseteq \,}$หมายถึงเซตย่อยที่มีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อขอบเขตของ${\displaystyle S}$ไม่มีจุดภายใน ซึ่งจะเป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle S}$เซตนั้นอาจเป็นเซตปิดหรือเซตเปิด เนื่องจากขอบเขตของเซตเป็นเซตปิด${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$สำหรับชุดใดๆ${\displaystyle S.}$ ดังนั้น ตัวดำเนินการขอบเขตจึงสอดคล้องกับคุณสมบัติการไม่เปลี่ยนแปลงใน รูปแบบที่อ่อน ลง

ในการอธิบายขอบเขตของแมนิโฟลด์หรือซิมเพล็กซ์และคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล ของพวกมัน มักจะพบข้ออ้างที่ว่าขอบเขตของขอบเขตนั้นว่างเปล่าเสมอ อันที่จริง การสร้างโฮโมโลยีเอกฐานนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้อย่างมาก คำอธิบายสำหรับความไม่สอดคล้องกันที่เห็นได้ชัดคือ ขอบเขตทางทอพอโลยี (ซึ่งเป็นหัวข้อของบทความนี้) เป็นแนวคิดที่แตกต่างเล็กน้อยจากขอบเขตของแมนิโฟลด์หรือคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล ตัวอย่างเช่น ขอบเขตของวงกลมเปิดที่มองว่าเป็นแมนิโฟลด์นั้นว่างเปล่า เช่นเดียวกับขอบเขตทางทอพอโลยีที่มองว่าเป็นเซตย่อยของตัวมันเอง ในขณะที่ขอบเขตทางทอพอโลยีที่มองว่าเป็นเซตย่อยของระนาบจริงคือวงกลมที่ล้อมรอบวงกลม ในทางกลับกัน ขอบเขตของวงกลมปิดที่มองว่าเป็นแมนิโฟลด์คือวงกลมที่ล้อมรอบ เช่นเดียวกับขอบเขตทางทอพอโลยีที่มองว่าเป็นเซตย่อยของระนาบจริง ในขณะที่ขอบเขตทางทอพอโลยีที่มองว่าเป็นเซตย่อยของตัวมันเองนั้นว่างเปล่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขอบเขตทางทอพอโลยีขึ้นอยู่กับปริภูมิแวดล้อม ในขณะที่ขอบเขตของแมนิโฟลด์นั้นไม่เปลี่ยนแปลง

• โปรดดูการอภิปรายเรื่องขอบเขตในแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม
• ขอบเขตของแมนิโฟลด์– ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีลักษณะคล้ายคลึงกับปริภูมิยุคลิดในระดับท้องถิ่นหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• จุดล้อมรอบ– แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ 
• การปิด (โทโพโลยี) – จุดทั้งหมดและจุดลิมิตในเซตย่อยของปริภูมิโทโพโลยี 
• ภายนอก (โทโพโลยี) –เซตเปิดที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่ทับซ้อนกับเซตที่กำหนดให้
• ภายใน (โทโพโลยี) – เซตย่อยเปิดที่ใหญ่ที่สุดของเซตที่กำหนดให้ 
• เซตที่ไม่มีความหนาแน่น– เซตทางคณิตศาสตร์ที่มีส่วนปิดซึ่งมีภายในว่างเปล่า 
• ทฤษฎีความหนาแน่นของเลเบส– ทฤษฎีในการวิเคราะห์สำหรับการกำหนดลักษณะเชิงวัดและคุณสมบัติของขอบเขต 
• พื้นผิว (โทโพโลยี) – แมนิโฟลด์สองมิติ