ใน สาขา คณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงซ้อนจุดแยกสาขาของฟังก์ชันหลายค่าคือจุดที่ถ้าฟังก์ชันมีค่า -valued (มีค่า -values) ที่จุดนั้น บริเวณใกล้เคียงทั้งหมดของฟังก์ชันจะมีจุดที่มีค่ามากกว่า-values ^{​​[ 1 ]}ฟังก์ชันหลายค่าได้รับการศึกษาอย่างเข้มงวดโดยใช้พื้นผิวรีมันน์และคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของจุดแยกสาขาใช้แนวคิดนี้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

จุดแยกสาขาแบ่งออกเป็นสามประเภทใหญ่ๆ ได้แก่ จุดแยกสาขาเชิงพีชคณิต จุดแยกสาขาเชิงอดิศัย และจุดแยกสาขาเชิงลอการิทึม จุดแยกสาขาเชิงพีชคณิตมักเกิดขึ้นจากฟังก์ชันที่มีความกำกวมในการหาค่าราก เช่น การแก้สมการหาค่าโดยที่ เป็นฟังก์ชันของในกรณีนี้ จุดแยกสาขาคือจุดกำเนิด เพราะการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของคำตอบใดๆ รอบวงปิดที่มีจุดกำเนิดจะทำให้ได้ฟังก์ชันที่แตกต่างกัน กล่าวคือ มีโมโนโดร มีที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้จะมีจุดแยกสาขาเชิงพีชคณิต ฟังก์ชันก็ยังคงนิยามได้ดีว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า และในความหมายที่เหมาะสม ฟังก์ชันนั้นก็มีความต่อเนื่องที่จุดกำเนิด ซึ่งแตกต่างจากจุดแยกสาขาเชิงอดิศัยและเชิงลอการิทึม กล่าวคือ จุดที่ฟังก์ชันหลายค่ามีโมโนโดร มีที่ไม่เป็นศูนย์ และมีเอกฐานที่สำคัญในทฤษฎีฟังก์ชันเชิงเรขาคณิต การใช้คำว่า จุดแยกสาขาโดยไม่ระบุเงื่อนไขมักหมายถึงประเภทที่จำกัดกว่า คือ จุดแยกสาขาเชิงพีชคณิต^{[ 2 ]} ในด้านอื่นๆ ของการวิเคราะห์เชิงซ้อน คำศัพท์ที่ไม่มีคุณสมบัติอาจหมายถึงจุดแยกสาขาทั่วไปของประเภทเหนือธรรมชาติด้วย ${\displaystyle w^{2}=z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$

ให้เป็นเซตเปิด ที่เชื่อมต่อกัน ในระนาบเชิงซ้อนและเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกถ้าไม่เป็นค่าคงที่ เซตของจุดวิกฤตของนั่นคือ จุดศูนย์ของอนุพันธ์จะไม่มีจุดลิมิตในดังนั้น จุดวิกฤตแต่ละจุดของจึงอยู่ตรงกลางของวงกลมที่ไม่มีจุดวิกฤตอื่นใดของ อยู่ในส่วนปิดของวงกลมนั้น ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'(z)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B(z_{0},r)}$${\displaystyle f}$

ให้เป็นขอบเขตของโดยพิจารณาจากทิศทางบวกจำนวนการหมุนของเทียบกับจุดคือจำนวนเต็มบวกที่เรียกว่าดัชนีการแตกแขนงของถ้าเป็นจุดวิกฤตของฟังก์ชันวิเคราะห์ ดัชนีการแตกแขนงของมันจะมากกว่า 1 ดังนั้นจึงเรียกว่าจุดแตกแขนงของและค่าวิกฤต ที่สอดคล้องกัน เรียกว่าจุด แตกแขนง (พีชคณิต) หรือเทียบเท่ากันเป็นจุดแตกแขนงถ้ามีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ที่กำหนดในบริเวณใกล้เคียงของเช่นนั้นสำหรับจำนวนเต็มซึ่งเป็นจริงเสมอถ้าเป็นจุดวิกฤตของฟังก์ชันวิเคราะห์ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle B(z_{0},r)}$${\displaystyle f(\gamma )}$${\displaystyle f(z_{0})}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(z_{0})}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle z_{0}}$

โดยทั่วไปแล้ว เราจะไม่สนใจตัวมันเอง แต่จะสนใจฟังก์ชันผกผัน ของมัน อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในบริเวณใกล้เคียงจุดแตกแขนงนั้นไม่มีอยู่จริง ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องกำหนดมันในความหมายแบบหลายค่าในฐานะฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วโลกเป็นเรื่องปกติที่จะใช้ภาษาที่ไม่ถูกต้องและอ้างถึงจุดแตกแขนงของฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วโลกว่าเป็นจุดแตกแขนงของฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วโลกนิยามทั่วไปของจุดแตกแขนงนั้นเป็นไปได้สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วโลกแบบหลายค่าประเภทอื่น ๆ เช่น ฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายกรอบการทำงานที่เป็นเอกภาพสำหรับการจัดการกับตัวอย่างเช่นนี้ได้ถูกนำเสนอในภาษาของพื้นผิวรีมันน์ด้านล่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในภาพทั่วไปนี้ขั้วที่มีอันดับมากกว่า 1 ก็สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นจุดแตกแขนงเช่นกัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

ในแง่ของฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วโลกผกผันจุดแยกสาขาคือจุดรอบ ๆ ที่มีโมโนโดรมีที่ไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันมีจุดแยกสาขาที่ ฟังก์ชันผกผันคือรากที่สองซึ่งมีจุดแยกสาขาที่ อันที่จริง เมื่อวนรอบวงปิดจะเริ่มต้นที่ และแต่หลังจากวนรอบวงปิดไปยังจะได้ดังนั้นจึงมีโมโนโดรมีรอบวงปิดนี้ซึ่งล้อมรอบจุดกำเนิด ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle z_{0}=0}$${\displaystyle ฉ^{-1}(w)=w^{1/2}}$${\displaystyle w_{0}=0}$${\displaystyle w=e^{i\theta }}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle e^{i0/2}=1}$${\displaystyle \theta =2\pi }$${\displaystyle e^{2\pi i/2}=-1}$

สมมติว่าgเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วโลกที่กำหนดบนดิสก์ที่มีรูพรุนรอบz แล้วgจะมีจุดแยกสาขาแบบเหนือธรรมชาติถ้าz เป็นเอกฐานที่สำคัญของgซึ่งการขยายเชิงวิเคราะห์ขององค์ประกอบฟังก์ชันรอบเส้นโค้งปิดแบบง่ายบางเส้นที่ล้อมรอบจุดz จะสร้างองค์ประกอบฟังก์ชันที่แตกต่างกัน^{[ 3 ]}

ตัวอย่างหนึ่งของจุดแยกสาขาแบบเหนือธรรมชาติคือจุดกำเนิดของฟังก์ชันหลายค่า

${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,}$

สำหรับจำนวนเต็มk  > 1 บางค่า ในที่นี้ กลุ่ม โมโนโดรมีสำหรับวงจรที่วนรอบจุดกำเนิดจะมีค่าจำกัด การต่อยอดเชิงวิเคราะห์รอบ วงจรเต็ม kวงจรจะนำฟังก์ชันกลับไปสู่ค่าเดิม

ถ้ากลุ่มโมโนโดรมีเป็นอนันต์ นั่นคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะกลับไปยังองค์ประกอบฟังก์ชันดั้งเดิมโดยการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ตามเส้นโค้งที่มีจำนวนรอบที่ไม่เป็นศูนย์รอบz แล้ว จุดz จะเรียกว่า จุด แยกสาขาลอการิทึม^{[ 4 ]}เรียกเช่นนี้เพราะตัวอย่างทั่วไปของปรากฏการณ์นี้คือจุดแยกสาขาของลอการิทึมเชิงซ้อนที่จุดกำเนิด เมื่อหมุนทวนเข็มนาฬิการอบเส้นโค้งปิดแบบง่ายที่ล้อมรอบจุดกำเนิด ลอการิทึมเชิงซ้อนจะเพิ่มขึ้น 2 π iเมื่อหมุนรอบวงที่มีจำนวนรอบwลอการิทึมจะเพิ่มขึ้น 2 π i wและกลุ่มโมโนโดรมีจะเป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

จุดแยกสาขาแบบลอการิทึมเป็นกรณีพิเศษของจุดแยกสาขาแบบอดิศัย

ไม่มีแนวคิดเรื่องการแตกแขนงที่สอดคล้องกันสำหรับจุดแยกแขนงเชิงอดิศัยและเชิงลอการิทึม เนื่องจากพื้นผิวรีมันน์ที่ครอบคลุมที่เกี่ยวข้องไม่สามารถขยายต่อไปในเชิงวิเคราะห์ไปยังพื้นผิวที่ครอบคลุมของจุดแยกแขนงนั้นได้ ดังนั้นพื้นผิวที่ครอบคลุมดังกล่าวจึงไม่มีการแตกแขนงเสมอ

• 0 เป็นจุดแยกสาขาของ ฟังก์ชัน รากที่สองสมมติว่าw  =  z¹ ^/²และzเริ่มต้นที่ 4 และเคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมี4ในระนาบเชิงซ้อนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 0 ตัวแปรตามwเปลี่ยนแปลงไปพร้อมกับการขึ้นอยู่กับzอย่างต่อเนื่อง เมื่อzเคลื่อนที่ครบหนึ่งวงกลม โดยเคลื่อนที่จาก 4 กลับไปที่ 4 อีกครั้งwจะเคลื่อนที่ครึ่งวงกลม โดยเคลื่อนที่จากรากที่สองบวกของ 4 คือ 2 ไปยังรากที่สองลบของ 4 คือ -2
• 0 ยังเป็นจุดแยกสาขาของลอการิทึมธรรมชาติ ด้วย เนื่องจากe ⁰เหมือนกับe ^{2 π i}ดังนั้นทั้ง 0 และ 2 π iจึงอยู่ในกลุ่มค่าทวีคูณของ ln(1) เมื่อzเคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมี 1 ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 0 ค่าw = ln( z ) จะเปลี่ยนจาก 0 เป็น 2 π i
• ในตรีโกณมิติเนื่องจาก tan( π /4) และ tan( 5π /4) ต่างก็เท่ากับ 1 ดังนั้นπ /4 และ5π /4 จึงเป็นหนึ่งในค่าทวีคูณของ arctan(1) หน่วยจินตภาพiและ−iเป็นจุดแยกสาขาของฟังก์ชัน arctangent arctan( z ) = (1/ 2i )log[( i  −  z )/( i  +  z )] ซึ่งสามารถสังเกตได้จากการที่อนุพันธ์ ( d / dz ) arctan( z ) = 1/(1 +  z² ⁾มีขั้ว เดี่ยว ที่จุดทั้งสองนั้น เนื่องจากตัวส่วนเป็นศูนย์ที่จุดเหล่านั้น
• ถ้าอนุพันธ์ƒ  ' ของฟังก์ชันƒ มีขั้ว เดี่ยว ที่จุดaแล้วƒจะมีจุดแยกสาขาแบบลอการิทึมที่^จุดaแต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง เพราะฟังก์ชันƒ ( z ) = zαสำหรับ α ที่เป็นจำนวนอตรรกยะจะมีจุดแยกสาขาแบบลอการิทึม และอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้จะมีจุดเอกฐานโดยที่ไม่มีขั้ว

โดยคร่าวๆ จุดแยกสาขาคือจุดที่ระนาบต่างๆ ของฟังก์ชันหลายค่ามาบรรจบกัน สาขาของฟังก์ชันก็คือระนาบต่างๆ ของฟังก์ชันนั่นเอง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันw  =  z¹ ^/²มีสองสาขา คือ สาขาหนึ่งที่รากที่สองมีเครื่องหมายบวก และอีกสาขาหนึ่งที่มีเครื่องหมายลบ เส้นตัดสาขาคือเส้นโค้งในระนาบเชิงซ้อนที่ทำให้สามารถกำหนดสาขาเชิงวิเคราะห์เดียวของฟังก์ชันหลายค่าบนระนาบนั้นได้ โดยลบเส้นโค้งนั้นออกไป เส้นตัดสาขามักจะอยู่ระหว่างจุดแยกสาขาเป็นคู่ๆ แต่ก็ไม่เสมอไป

การตัดสาขาช่วยให้สามารถทำงานกับชุดของฟังก์ชันค่าเดียวที่ "เชื่อม" เข้าด้วยกันตามการตัดสาขา แทนที่จะเป็นฟังก์ชันหลายค่า ตัวอย่างเช่น เพื่อสร้างฟังก์ชัน

${\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,}$

สำหรับฟังก์ชันค่าเดียว เราจะทำการตัดสาขาตามช่วง [0, 1] บนแกนจริง โดยเชื่อมต่อจุดสาขาทั้งสองของฟังก์ชัน แนวคิดเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับฟังก์ชัน√zได้เช่นกัน แต่ในกรณีนั้น เราต้องพิจารณาว่าจุดที่อนันต์เป็นจุดสาขา 'อื่น' ที่เหมาะสมที่จะเชื่อมต่อจาก 0 ตัวอย่างเช่น ตามแกนจริงลบทั้งหมด

วิธีการตัดกิ่งอาจดูเหมือนไม่มีเหตุผล (และมันก็เป็นเช่นนั้น) แต่ก็มีประโยชน์มาก ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีฟังก์ชันพิเศษคำอธิบายที่ไม่เปลี่ยนแปลงของปรากฏการณ์กิ่งได้รับการพัฒนาใน ทฤษฎี พื้นผิวรีมันน์ (ซึ่งเป็นต้นกำเนิดทางประวัติศาสตร์) และโดยทั่วไปในทฤษฎีการแตกแขนงและโมโนโดรมีของฟังก์ชันพีชคณิตและ สมการ เชิง อนุพันธ์

ตัวอย่างทั่วไปของการตัดสาขาคือลอการิทึมเชิงซ้อน ถ้าจำนวนเชิงซ้อนแสดงในรูปเชิงขั้วz  =  r e ^{i θ}แล้วลอการิทึมของzคือ

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta .\,}$

อย่างไรก็ตาม มีความกำกวมที่เห็นได้ชัดในการกำหนดมุมθ : การเพิ่มจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นผลคูณของ2π ให้กับ θจะให้มุมที่เป็นไปได้อีกมุมหนึ่ง สาขาของลอการิทึมคือฟังก์ชันต่อเนื่องL ( z ) ที่ให้ลอการิทึมของzสำหรับทุกzในเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันในระนาบเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สาขาของลอการิทึมมีอยู่ในส่วนประกอบของรังสีใดๆ จากจุดกำเนิดไปยังอนันต์: เส้นตัดสาขาตัวเลือกที่นิยมใช้ของเส้นตัดสาขาคือแกนจริงลบ แม้ว่าการเลือกส่วนใหญ่จะเป็นเรื่องของความสะดวกก็ตาม

ลอการิทึมมีการไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดที่ 2πi เมื่อข้ามเส้นแบ่งสาขา เราสามารถทำให้ลอการิทึมต่อเนื่องได้โดยการต่อระนาบเชิงซ้อนจำนวนนับไม่ถ้วนที่เรียกว่า"แผ่น " เข้าด้วยกัน ตามเส้นแบ่งสาขา ในแต่ละแผ่น ค่าของลอการิทึมจะแตกต่างจากค่าหลักด้วยผลคูณของ 2πi พื้นผิวเหล่านี้ถูกต่อเข้าด้วยกันตามเส้นแบ่งสาขาในลักษณะเฉพาะเพื่อให้ลอการิทึมต่อเนื่อง ทุกครั้งที่ตัวแปรเคลื่อนที่รอบจุดกำเนิด ลอการิทึมจะเคลื่อนไปยังสาขาที่แตกต่างกัน

เหตุผลหนึ่งที่การตัดสาขาเป็นคุณลักษณะทั่วไปของการวิเคราะห์เชิงซ้อนก็คือ การตัดสาขาอาจมองได้ว่าเป็นผลรวมของขั้วจำนวนอนันต์ที่เรียงตัวอยู่ตามแนวเส้นตรงในระนาบเชิงซ้อนที่มีเศษเหลือเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle f_{a}(z)={1 \over za}}$

เป็นฟังก์ชันที่มีขั้วเดี่ยวที่z  =  aเมื่อทำการอินทิเกรตเหนือตำแหน่งของขั้ว:

${\displaystyle u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over za}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)}$

กำหนดฟังก์ชันu ( z ) โดยมีรอยตัดจาก -1 ถึง 1 รอยตัดนี้สามารถเคลื่อนย้ายได้ เนื่องจากเส้นการอินทิเกรตสามารถเลื่อนได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงค่าของการอินทิเกรต ตราบ ใดที่เส้นนั้นไม่ผ่านจุดz

แนวคิดของจุดแยกสาขา (branch point) ถูกกำหนดขึ้นสำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ƒ: X  →  Yจากพื้นผิวรีมันน์ แบบกระชับที่เชื่อมต่อกัน Xไปยังพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับY (โดยปกติ คือ ทรงกลมรีมันน์ ) เว้นแต่ว่าฟังก์ชัน ƒ จะเป็นค่าคงที่ ฟังก์ชันนี้จะเป็นแผนที่ครอบคลุม (covering map)ไปยังภาพของมันที่จุดเกือบทั้งหมด ยกเว้นจุดจำนวนจำกัด จุดบนXที่ ƒ ไม่สามารถเป็นแผนที่ครอบคลุมได้เรียกว่าจุดแตกแขนง (ramification point) ของ ƒ และภาพของจุดแตกแขนงภายใต้ ƒ เรียกว่าจุดแยกสาขา (branch point)

สำหรับจุดใดๆP  ∈  XและQ  = ƒ( P ) ∈  Yจะมีพิกัดท้องถิ่นเชิง โฮโลมอร์ฟิก zสำหรับXที่อยู่ใกล้PและwสำหรับYที่อยู่ใกล้Qซึ่งฟังก์ชัน ƒ( z ) จะกำหนดโดย

${\displaystyle w=z^{k}}$

สำหรับจำนวนเต็มk บาง จำนวน จำนวนเต็มนี้เรียกว่าดัชนีการแตกแขนงของPโดยปกติดัชนีการแตกแขนงจะมีค่าเท่ากับหนึ่ง แต่ถ้าดัชนีการแตกแขนงไม่เท่ากับหนึ่ง แสดงว่าPเป็นจุดแตกแขนงตามนิยาม และQเป็นจุดแยกสาขา

ถ้าYเป็นเพียงทรงกลมรีมันน์ และQอยู่ในส่วนจำกัดของYแล้ว ก็ไม่จำเป็นต้องเลือกพิกัดพิเศษใดๆ ดัชนีการแตกแขนงสามารถคำนวณได้โดยตรงจากสูตรปริพันธ์ของโคชีให้ γ เป็นวงวนที่หาความยาวได้ง่ายในXรอบจุดPดัชนีการแตกแขนงของ ƒ ที่จุดPคือ

${\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.}$

อินทิกรัลนี้คือจำนวนครั้งที่ ƒ(γ) หมุนรอบจุดQดังที่กล่าวมาข้างต้นPเป็นจุดแตกแขนง และQเป็นจุดแยกสาขา ถ้าe  > 1

ในบริบทของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแนวคิดของจุดแยกสาขาสามารถขยายไปสู่การแมปปิ้งระหว่างเส้นโค้งเชิงพีชคณิต ใด ๆ ได้ ให้ ƒ: X  →  Yเป็นมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเชิงพีชคณิต โดยการดึงฟังก์ชันตรรกยะบนY กลับ ไปยังฟังก์ชันตรรกยะบนX K ( X ) จะเป็นส่วนขยายฟิลด์ของK ( Y ) ดีกรีของ ƒ ถูกกำหนดให้เป็นดีกรีของส่วนขยายฟิลด์นี้ [ K ( X ): K ( Y )] และ ƒ จะเรียกว่าเป็นฟิลด์จำกัดหากดีกรีเป็นจำกัด

สมมติว่า ƒ มีค่าจำกัด สำหรับจุดP  ∈  Xดัชนีการแตกแขนงe ถูกกำหนดดังนี้ ให้Q  = ƒ( P ) และให้tเป็นพารามิเตอร์การทำให้เป็นเอกรูปเฉพาะที่ ณ จุดPกล่าวคือtเป็นฟังก์ชันปกติที่กำหนดในบริเวณใกล้เคียงของQโดยที่t ( Q ) = 0 ซึ่งอนุพันธ์ของ t ไม่เป็นศูนย์ การดึงกลับtโดย ƒ จะกำหนดฟังก์ชันปกติบนXจากนั้น

${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$

โดยที่v คือค่าประเมินในวงแหวนเฉพาะที่ของฟังก์ชันปกติที่Pนั่นคือe คือลำดับที่ ƒ หายไปที่Pถ้าe  > 1 แล้ว ƒ จะเรียกว่าแตกแขนงที่Pในกรณีนั้นQเรียกว่าจุดแตกแขนง ${\displaystyle t\circ f}$