สมมติว่าเรามีปริมาณต่างๆ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$โดยที่หน่วยของ${\displaystyle q_{i}}$ประกอบด้วยความยาวที่ยกกำลัง${\displaystyle c_{i}}$ถ้าเดิมเราวัดความยาวเป็นเมตร แต่ต่อมาเปลี่ยนเป็นเซนติเมตร ค่าตัวเลขของ...${\displaystyle q_{i}}$จะถูกปรับขนาดใหม่ด้วยปัจจัย${\displaystyle 100^{c_{i}}}$กฎใดๆ ที่มีความหมายทางกายภาพควรจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การปรับขนาดโดยพลการของหน่วยพื้นฐานทุกหน่วย นี่คือข้อเท็จจริงที่ทฤษฎีบทพายยึดถือเป็นหลัก

เมื่อพิจารณาระบบหนึ่งแล้ว${\displaystyle n}$ตัวแปรเชิงมิติ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ใน${\displaystyle \ell }$มิติพื้นฐาน (ฐาน) เมทริกซ์มิติคือ${\displaystyle \ell \times n}$เมทริกซ์${\displaystyle M}$ของใคร${\displaystyle \ell }$แถวต่างๆ สอดคล้องกับมิติพื้นฐาน และซึ่ง${\displaystyle n}$คอลัมน์คือมิติของตัวแปร:${\displaystyle (i,j)}$รายการที่ (ที่${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$และ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$) คือพลังของ${\displaystyle i}$มิติพื้นฐานที่ th ใน${\displaystyle j}$ตัวแปรที่ th เมทริกซ์สามารถตีความได้ว่าเป็นการรับเอาการรวมกันของปริมาณตัวแปรและให้มิติของการรวมกันนั้นออกมาในแง่ของมิติพื้นฐาน ดังนั้น${\displaystyle \ell \times 1}$เวกเตอร์ (คอลัมน์) ที่ได้จากการคูณ $${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$ ประกอบด้วยหน่วยของ $${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$ ในแง่ของ${\displaystyle \ell }$หน่วยพื้นฐานอิสระ (หน่วยฐาน) ^{[หมายเหตุ 3 ]}

ถ้าเราปรับขนาดใหม่${\displaystyle i}$หน่วยพื้นฐานที่ th โดยมีปัจจัย${\displaystyle \alpha _{i}}$, แล้ว${\displaystyle q_{j}}$ได้รับการปรับขนาดใหม่โดย${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$, ที่ไหน${\displaystyle m_{ij}}$คือ${\displaystyle (i,j)}$รายการที่ th ของเมทริกซ์มิติ เพื่อแปลงสิ่งนี้ให้เป็น ปัญหา พีชคณิตเชิงเส้นเราใช้ลอการิทึม (ฐานไม่สำคัญ) ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$ซึ่งเป็นการกระทำของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$บน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เรากำหนดให้กฎทางฟิสิกส์เป็นฟังก์ชันใดๆ ก็ได้${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$โดยที่${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$เป็นชุดค่าที่อนุญาตได้สำหรับระบบทางกายภาพเมื่อ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$นอกจากนี้ เรายังต้องการ${\displaystyle f}$เพื่อให้คงสภาพเดิมภายใต้การกระทำนี้ ดังนั้นจึงลดรูปเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการแสดงให้เห็นถึงความเหมือนกันระหว่าง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$และ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$พื้นที่ (ลอการิทึม) ของกลุ่มพาย${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$.

เราสร้าง${\displaystyle n\times p}$เมทริกซ์${\displaystyle K}$ซึ่งเสาเหล่านั้นเป็นพื้นฐานสำหรับ${\displaystyle \ker {M}}$มันบอกเราถึงวิธีการฝัง${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$เข้าไปข้างใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ในฐานะแก่นแท้ของ${\displaystyle M}$นั่นคือ เรามีลำดับที่แน่นอน

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

การสลับตำแหน่งจะให้ลำดับที่แน่นอนอีกชุดหนึ่ง

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรกก่อให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมที่ต้องการ ซึ่งส่งโคเซต${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$ถึง${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$นี่เทียบเท่ากับการเขียนทูเพิลใหม่${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$เข้าไปในกลุ่มพาย${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$มาจากคอลัมน์ของ${\displaystyle K}$.

ระบบหน่วยสากล กำหนดหน่วยพื้นฐานเจ็ด หน่วยได้แก่แอมแปร์เคลวินวินาทีเมตรกิโลกรัมแคนเดลาและโมลบางครั้งการแนะนำหน่วยพื้นฐานและเทคนิคเพิ่มเติมเพื่อปรับปรุงเทคนิคการวิเคราะห์มิติก็เป็นประโยชน์ (ดูการวิเคราะห์เชิงทิศทางและเอกสารอ้างอิง^{[ 9 ]} )

ตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างพื้นฐาน แต่ใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงขั้นตอนการทำงาน

สมมติว่ารถยนต์คันหนึ่งวิ่งด้วยความเร็ว 100  กม./ชม. จะใช้เวลานานเท่าใดจึงจะวิ่งได้ระยะทาง 200  กม.?

คำถามนี้พิจารณาถึง${\displaystyle n=3}$ตัวแปรที่มีมิติ: ระยะทาง${\displaystyle d,}$เวลา${\displaystyle t,}$และความเร็ว${\displaystyle v,}$และเรากำลังมองหากฎหมายบางรูปแบบอยู่${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$ตัวแปรสองตัวใดๆ ในจำนวนนี้เป็นอิสระต่อกันในเชิงมิติ แต่ตัวแปรทั้งสามตัวรวมกันนั้นไม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นจึงมี${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$ปริมาณไร้มิติ

เมทริกซ์มิติคือ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$ โดยที่แถวต่างๆ สอดคล้องกับมิติพื้นฐาน${\displaystyle L}$และ${\displaystyle T,}$และเสาตามขนาดที่พิจารณา${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$โดยที่ตัวหลังหมายถึงมิติความเร็ว องค์ประกอบของเมทริกซ์สอดคล้องกับกำลังที่มิตินั้นๆ จะถูกยกกำลัง ตัวอย่างเช่น คอลัมน์ที่สาม${\displaystyle (1,-1),}$ระบุว่า${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$แสดงโดยเวกเตอร์คอลัมน์${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$สามารถแสดงได้ในแง่ของมิติพื้นฐานดังนี้${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$เนื่องจาก${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

สำหรับค่าคงที่ไร้มิติ${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$เรากำลังมองหาเวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$โดยที่ผลคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์${\displaystyle M\mathbf {a} }$เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์${\displaystyle [0,0].}$ในพีชคณิตเชิงเส้น เซตของเวกเตอร์ที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าเคอร์เนล (หรือปริภูมิว่าง) ของเมทริกซ์มิติ ในกรณีนี้ เคอร์เนลของมันมีมิติเดียว เมทริกซ์มิติที่เขียนไว้ข้างต้นอยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูปดังนั้นจึงสามารถอ่านเวกเตอร์เคอร์เนลที่ไม่เป็นศูนย์ได้ภายในค่าคงที่การคูณ: $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

หากเมทริกซ์มิติยังไม่ลดขนาดลง เราสามารถใช้การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนกับเมทริกซ์มิติเพื่อกำหนดเคอร์เนลได้ง่ายขึ้น ดังนั้น ค่าคงที่ไร้มิติ ซึ่งแทนที่มิติด้วยตัวแปรที่มีมิติที่สอดคล้องกัน อาจเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

เนื่องจากเคอร์เนลถูกกำหนดไว้ภายในค่าคงที่ตัวคูณเท่านั้น ค่าคงที่ไร้มิติข้างต้นเมื่อยกกำลังด้วยเลขใดๆ ก็จะได้ค่าคงที่ไร้มิติอีกค่าหนึ่ง (ที่เทียบเท่ากัน)

ดังนั้น การวิเคราะห์มิติได้ให้สมการทั่วไปที่เชื่อมโยงตัวแปรทางกายภาพทั้งสามเข้าด้วยกัน: $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ หรือ การปล่อย${\displaystyle C}$แสดงถึงศูนย์ของฟังก์ชัน${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \pi =C,}$$ ซึ่งสามารถเขียนในรูปแบบที่ต้องการได้ (ซึ่งจำได้ว่าคือ)${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$) เช่น $${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

ความสัมพันธ์ที่แท้จริงระหว่างตัวแปรทั้งสามนั้นง่ายมาก${\displaystyle d=vt.}$กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีนี้${\displaystyle F}$มีรากฐานทางกายภาพที่เกี่ยวข้องเพียงประการเดียว นั่นคือ ความเป็นเอกภาพ ข้อเท็จจริงที่ว่ามีเพียงค่าเดียวของ${\displaystyle C}$จะทำเช่นนั้น และการที่มันเท่ากับ 1 นั้น ไม่ได้ถูกเปิดเผยโดยเทคนิคการวิเคราะห์มิติ

เราต้องการกำหนดระยะเวลา${\displaystyle T}$ของการแกว่งเล็กๆ ในลูกตุ้มอย่างง่ายโดยจะถือว่ามันเป็นฟังก์ชันของความยาว${\displaystyle L,}$มวลชน${\displaystyle M,}$และความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิวโลก${\displaystyle g,}$ซึ่งมีมิติเป็นความยาวหารด้วยเวลา² แบบจำลองมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

(โปรดทราบว่าเขียนในรูปของความสัมพันธ์ ไม่ใช่ในรูปของฟังก์ชัน):${\displaystyle T}$ไม่ได้เขียนไว้ที่นี่ในฐานะฟังก์ชันของ${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$)

คาบเวลา มวล และความยาวเป็นอิสระต่อกันในมิติ แต่ความเร่งสามารถแสดงได้ในรูปของเวลาและความยาว ซึ่งหมายความว่าตัวแปรทั้งสี่ตัวรวมกันนั้นไม่เป็นอิสระต่อกันในมิติ ดังนั้นเราจึงต้องการเพียงแค่${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$พารามิเตอร์ไร้มิติ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle \pi ,}$และสามารถแสดงแบบจำลองใหม่ได้ดังนี้ $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \pi }$ได้รับจาก $${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$ สำหรับค่าบางค่าของ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

มิติของปริมาณเชิงมิติมีดังนี้: $${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

เมทริกซ์มิติคือ: $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

(แถวต่างๆ สอดคล้องกับมิติ)${\displaystyle t,m,}$และ${\displaystyle \ell ,}$และคอลัมน์สำหรับตัวแปรเชิงมิติ${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$ตัวอย่างเช่น คอลัมน์ที่ 4${\displaystyle (-2,0,1),}$ระบุว่า${\displaystyle g}$ตัวแปรมีมิติของ${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$)

เรากำลังมองหาเวกเตอร์เคอร์เนล${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$โดยที่ผลคูณเมทริกซ์ของ${\displaystyle \mathbf {M} }$บน${\displaystyle a}$ส่งผลให้ได้เวกเตอร์ศูนย์${\displaystyle [0,0,0].}$เมทริกซ์มิติที่เขียนไว้ข้างต้นอยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป ดังนั้นจึงสามารถอ่านเวกเตอร์เคอร์เนลภายในค่าคงที่การคูณได้: $${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

หากยังไม่ได้ลดขนาดลง ก็สามารถใช้การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนกับเมทริกซ์มิติเพื่อกำหนดเคอร์เนลได้ง่ายขึ้น ดังนั้นจึงสามารถเขียนค่าคงที่ไร้มิติได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$ โดยสรุปแล้ว: $${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$ ซึ่งไม่มีมิติ เนื่องจากเคอร์เนลถูกกำหนดไว้ภายในค่าคงที่ตัวคูณเท่านั้น ดังนั้นหากยกกำลังค่าคงที่ไร้มิติข้างต้นด้วยกำลังใดๆ ก็ตาม ก็จะได้ค่าคงที่ไร้มิติที่เทียบเท่ากันอีกค่าหนึ่ง

ในตัวอย่างนี้ ปริมาณมิติสามในสี่เป็นหน่วยพื้นฐาน ดังนั้นปริมาณสุดท้าย (ซึ่งคือ)${\displaystyle g}$) ต้องเป็นการผสมผสานของสิ่งก่อนหน้า โปรดทราบว่าหาก${\displaystyle a_{2}}$(สัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle M}$หากค่า ) ไม่เป็นศูนย์ ก็จะไม่มีทางยกเลิกได้${\displaystyle M}$คุณค่า; ดังนั้น${\displaystyle a_{2}}$ต้องเป็นศูนย์ การวิเคราะห์มิติทำให้เราสรุปได้ว่าคาบการแกว่งของลูกตุ้มไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของมัน${\displaystyle M.}$(ในปริภูมิ 3 มิติของกำลังของมวล เวลา และระยะทาง เราสามารถกล่าวได้ว่าเวกเตอร์ของมวลเป็นอิสระเชิงเส้นจากเวกเตอร์ของตัวแปรอีกสามตัว โดยมีค่าตัวคูณปรับขนาดอยู่ด้วย)${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$(เป็นวิธีเดียวที่ไม่ใช่วิธีธรรมดาในการสร้างเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ไร้มิติ)

แบบจำลองนี้สามารถแสดงได้ดังนี้: $${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

ดังนั้นจึงหมายความว่า${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$สำหรับศูนย์บางค่า${\displaystyle C_{i}}$ของฟังก์ชัน${\displaystyle F.}$ถ้ามีเลขศูนย์เพียงตัวเดียว ให้เรียกมันว่า${\displaystyle C,}$แล้ว${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$จำเป็นต้องมีความเข้าใจเชิงกายภาพเพิ่มเติมหรือการทดลองเพื่อแสดงให้เห็นว่ามีศูนย์เพียงตัวเดียวเท่านั้น และค่าคงที่นั้นกำหนดโดยสูตรใดสูตรหนึ่ง${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

สำหรับการแกว่งของลูกตุ้มในมุมกว้าง การวิเคราะห์จะซับซ้อนขึ้นเนื่องจากมีพารามิเตอร์ไร้มิติเพิ่มเติม คือ มุมแกว่งสูงสุด การวิเคราะห์ข้างต้นเป็นการประมาณที่ดีเมื่อมุมเข้าใกล้ศูนย์

เพื่อสาธิตการประยุกต์ใช้ ทฤษฎีบท πให้พิจารณา การใช้ พลังงานของเครื่องกวนที่มีรูปร่างที่กำหนด พลังงานPในมิติ [M · L² ^/ T³ ^]เป็นฟังก์ชันของความหนาแน่น ρ [ M/L³ ^]และความหนืดของของเหลวที่จะถูกกวนμ [M/(L · T)] รวมถึงขนาดของเครื่องกวนที่กำหนดโดยเส้นผ่านศูนย์กลาง D [L] และความเร็วเชิงมุมของเครื่องกวนn [1/T] ดังนั้น เราจึงมีตัวแปรทั้งหมดn = 5 ตัวที่แสดงถึงตัวอย่างของเรา ตัวแปร n = 5 เหล่านั้นสร้างขึ้นจาก มิติอิสระ k = 3 มิติ เช่น ความยาว: L ( หน่วยSI : เมตร ), เวลา: T ( วินาที ) และมวล: M ( กิโลกรัม )

ตามทฤษฎีบทπ ตัวแปร n = 5 สามารถลดมิติลงเหลือk = 3 เพื่อสร้างจำนวนไร้มิติอิสระp = n − k = 5 − 3 = 2 จำนวน โดยปกติแล้ว ปริมาณเหล่านี้จะถูกเลือกเป็น${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าเลขเรย์โนลด์ซึ่งอธิบายถึงลักษณะการไหลของของเหลว และ${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$ซึ่ง เป็น ค่ากำลังไฟฟ้าที่เป็นค่าไร้มิติที่อธิบายถึงตัวกวน

โปรดทราบว่าปริมาณไร้มิติทั้งสองไม่เป็นเอกลักษณ์และขึ้นอยู่กับว่า ตัวแปร n = 5 ตัวใดถูกเลือกเป็น ตัวแปรพื้นฐานอิสระเชิงมิติ k = 3 ซึ่งในตัวอย่างนี้ ปรากฏอยู่ในปริมาณไร้มิติทั้งสอง เลขเรย์โนลด์และเลขกำลังลดลงจากการวิเคราะห์ข้างต้นหาก${\textstyle \rho }$โดยเลือก , nและDเป็นตัวแปรพื้นฐาน ถ้าหากว่า${\textstyle \mu }$เมื่อเลือกค่า n และD แล้วค่าเลขเรย์โนลด์จะถูกกู้คืน ในขณะที่ปริมาณไร้มิติที่สองจะกลายเป็น${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$เราทราบว่า${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$คือผลคูณของเลขเรย์โนลด์และเลขกำลัง

ตัวอย่างของการวิเคราะห์มิติสามารถพบได้ในกรณีของกลศาสตร์ของแผ่นดิสก์หมุนที่บาง แข็ง และมีด้านขนานกัน มีตัวแปรห้าตัวที่เกี่ยวข้องซึ่งลดลงเหลือสองกลุ่มที่ไม่มีมิติ ความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยการทดลองเชิงตัวเลขโดยใช้วิธีองค์ประกอบจำกัดเป็นต้น^{[ 10 ]}

ทฤษฎีบทนี้ยังถูกนำไปใช้ในสาขาอื่นนอกเหนือจากฟิสิกส์ เช่น ในวิทยาศาสตร์การกีฬา^{[ 11 ]}