ในเรขาคณิตแบบยุคลิดทฤษฎีบทบันเดิลเป็นข้อความเกี่ยวกับวงกลมหกวงและจุดแปดจุดในระนาบยุคลิด ในเรขาคณิตแบบเหตุการณ์ ทั่วไป มันเป็นคุณสมบัติที่คล้ายกันซึ่งระนาบโมเบียสอาจมีหรือไม่มีคุณสมบัตินี้ก็ได้ ตามทฤษฎีบทของคาห์น ระนาบโมเบียสแบบ "รูปไข่" เท่านั้นที่จะมีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ สำหรับ ระนาบเชิงฉายสำหรับ ระนาบโมเบีย ส

ถ้าสำหรับจุดที่แตกต่างกันแปดจุดควอดรูเพิลห้าในหกควอดรูเพิลเป็นคอนไซเคิล (บรรจุอยู่ในวงจร) บนอย่างน้อยสี่วงจรควอดรูเพิลที่หกก็จะเป็นคอนไซเคิลเช่นกัน^{[ 1 ]}${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}}$${\displaystyle Q_{ij}:=\{A_{i},B_{i},A_{j},B_{j}\},\ i<j,}$${\displaystyle c_{ij}}$

ทฤษฎีบทบันเดิลไม่ควรสับสนกับทฤษฎีบทของมิเกล (ถึงแม้ว่าจะสามารถอนุมานได้จากการกลับวงกลมบนแผนภาพของจุดมิเกลของรูปสี่เหลี่ยมสมบูรณ์ก็ตาม)

ระนาบโมเบียสรูปไข่ในปริภูมิยูคลิดจริง อาจพิจารณาได้ว่าเป็นเรขาคณิตของระนาบตัดของพื้นผิวรูปไข่ เช่น ทรงกลม หรือทรงรี หรือครึ่งทรงกลมที่ติดกับครึ่งทรงรีที่เหมาะสม หรือพื้นผิวที่มีสมการเป็นต้น หากพื้นผิวรูปไข่เป็นทรงกลม จะได้แบบจำลองปริภูมิของระนาบโมเบียสจริงแบบคลาสสิกซึ่งก็คือ "เรขาคณิตวงกลม" บนทรงกลม ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$

คุณสมบัติที่สำคัญของระนาบโมเบียสรูปไข่คือการมีอยู่ของแบบจำลองพื้นที่ผ่านรูปไข่ รูปไข่ ใน ปริภูมิเชิงฉาย 3 มิติคือเซตของจุด ซึ่ง ก) ถูกตัดโดยเส้นตรงที่ 0, 1 หรือ 2 จุด และ ข) เส้นสัมผัสที่จุดใดๆ ครอบคลุมระนาบ (ระนาบสัมผัส) เรขาคณิตของรูปไข่ในปริภูมิเชิงฉาย 3 มิติคือระนาบโมเบียส เรียกว่าระนาบโมเบียสรูปไข่เซตของจุดในเรขาคณิตประกอบด้วยจุดของรูปไข่ และเส้นโค้ง ("วงจร") คือส่วนตัดระนาบของรูปไข่ การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกที่เหมาะสมแสดงให้เห็นว่าสำหรับระนาบโมเบียสรูปไข่ใดๆ จะมีแบบจำลองระนาบอยู่^{[ 2 ]}ในกรณีคลาสสิก แบบจำลองระนาบคือเรขาคณิตของวงกลมและเส้นตรง (โดยที่แต่ละเส้นตรงจะสมบูรณ์ด้วยจุดที่อนันต์) ทฤษฎีบทบันเดิลมีการตีความในระนาบและในปริภูมิ ในแบบจำลองระนาบ อาจมีเส้นตรงเข้ามาเกี่ยวข้อง การพิสูจน์ทฤษฎีบันเดิลนั้นดำเนินการภายในแบบจำลองเชิงพื้นที่

ทฤษฎีบทบันเดิลใช้ได้ในระนาบโมเบียสรูปไข่ทุกระนาบ

การพิสูจน์เป็นผลมาจากการพิจารณาดังต่อไปนี้ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าระนาบสามระนาบในปริภูมิเชิงฉายสามมิติตัดกันที่จุดเดียว:

1. ระนาบที่บรรจุวัฏจักรตัดกันที่จุดหนึ่งดังนั้น จึงเป็นจุดตัดของเส้นตรง (ในอวกาศ! )${\displaystyle c_{23},c_{34},c_{24}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A_{2}B_{2},\ A_{4}B_{4}}$
2. ระนาบที่บรรจุวัฏจักรตัดกันที่จุดหนึ่งดังนั้นจุดตัดของเส้นตรงก็คือจุดเดียวกันด้วย${\displaystyle c_{12},c_{14},c_{24}}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle A_{2}B_{2},\ A_{4}B_{4}}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือ: ก) และ ข) ตัดกันที่จุดเดียวกัน ข้อความสุดท้ายหมายความว่า: ระนาบทั้งสองมีจุดร่วมกัน ระนาบที่เกี่ยวข้องมีจุดร่วมกัน พวกมันเป็นองค์ประกอบของกลุ่มระนาบ ${\displaystyle P=P'}$${\displaystyle A_{1}B_{1},\ A_{3}B_{3}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{3},B_{3}}$${\displaystyle P}$

เจฟฟ์ คาห์นได้ แสดงให้เห็นถึงความสำคัญของทฤษฎีบันเดิล

ระนาบโมเบียสเป็นรูปไข่ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามทฤษฎีบันเดิล^{[ 3 ]}

ทฤษฎีบันเดิลนั้นคล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของเดซาร์กส์สำหรับระนาบเชิงโปรเจกทีฟ แต่ สำหรับ ระนาบโมเบียส จากทฤษฎีบทบันเดิลทำให้สามารถสรุปได้ว่า ก) ฟิลด์สกิว (วงแหวนการหาร) และ ข) ทรงรีมีอยู่จริง หากทฤษฎีบทที่เข้มงวดกว่าของมิเกลเป็นจริง ฟิลด์สกิวจะเป็นฟิลด์สลับที่ได้คู่ และทรงรีจะเป็นควอดริก

มีระนาบโมเบียสซึ่งไม่ใช่รูปไข่^{[ 4 ]}

สำหรับระนาบLaguerre รูปไข่จะมีทฤษฎีบันเดิลที่มีความหมายคล้ายคลึงกัน^{[ 5 ]}

• ฮาร์ทมันน์, เอริช. เรขาคณิตวงกลมระนาบ: บทนำสู่ระนาบโมเบียส ระนาบลากูแอร์ และระนาบมินคอฟสกี (PDF; 891 kB) ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีดาร์มสตัดท์
• Kahn, Jeff. ระนาบผกผันที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทบันเดิลวารสารทฤษฎีเชิงการจัดเรียง, ชุด A, เล่มที่ 29, ฉบับที่ 1, หน้า 1-19, กรกฎาคม 1980. doi:10.1016/0097-3165(80)90043-6

• ดับเบิลยู. เบนซ์, Vorlesungen über Geometrie der Algebren , Springer (1973)
• พี. เดมโบวสกี, เรขาคณิตจำกัด , สปริงเกอร์-เวอร์แลก (1968) ISBN 3-540-61786-8หน้า 256